Transform´ees en ondelettes ` a divergence nulle de champs incompressibles 3D107

On applique ici la transform´ee en ondelettes `a divergence nulle sur un champ p´eriodique

en dimension 3, issu d’une simulation num´erique DNS (pour Direct Numerical Simulation)

d’une turbulence isotrope d´ecroissant librement, r´ealis´ee par G.-H. Cottet et B. Michaux.

D´ecomposition en ondelettes isotropes `a div nulle en anisotrope

0 10

⁻⁵

10

⁻⁴

10

⁻³

10

⁻²

Fig.5.3 – Coefficients des ondelettes `a divergence nulle isotropes (`a gauche) et anisotropes

(`a droite) du champ de vitesse de la figure 5.2 (`a droite)..

On pourra trouver les d´etails de cette simulation dans l’article [CMOV02].La condition

initiale est un champ de vitesse gaussien sur 128

³

points de collocation.

La figure 5.4 repr´esente les isosurfaces `a 40% du maximum de la vorticit´e pour cette

simulation 3D. Le nombre de Reynolds bas´e sur la micro-´echelle de Taylor est initialement

98 et d´ecroˆıt `a 26 `at= 8 (voir la r´ef´erence [CMOV02] pour plus de d´etails).

Fig.5.4 – Isosurfaces `a 40% du maximum de la vorticit´e apr`es 5 cycles des grandes ´echelles

d’une simulation num´erique en code spectral [CMOV02].

La d´ecomposition en ondelettes `a divergence nulle isotropes du champ de vitesse

cor-respondant a ´et´e calcul´ee avec l’algorithme d´ecrit dans la partie 3.5.1 pour la dimension 3,

et le tableau des coefficients est repr´esent´e sur les figures 5.5 et 5.6. Comme il est expliqu´e

dans la partie 3.5.1, les ondelettes `a divergence nulle isotropes 3D Ψ

^ε_{div 1,j,k}

et Ψ

^ε_{div 2,j,k}

sont

des dilat´es-translat´es (dilat´e par le param`etrej, translat´e par le param`etrek) d’ondelettes

g´en´eratrices au nombre de 14 (ε∈Ω

∗

={0,1}

3

\ {(0,0,0)}).

La figure 5.5 montre les coefficients d’ondelettes `a divergence nulle jusqu’`a l’´echelle 2

⁻⁶

(j= 6), les ondelettes ayant ´et´e renormalis´ees en normeL

2

. A gauche sont repr´esent´es les

coefficientsd

^div_1j,k

tandis qu’`a droite on a les coefficientsd

^div_2j,k

. Ces deux cubes suffisent pour

repr´esenter les trois composantes de la vitesse avec la condition de divergence nulle. Les

cubes de la figure 5.6 repr´esente une isosurface des coefficients d’ondelettes `a la plus petite

´echelle 2

−7

(j= 7) pour seulement les deux ondelettes g´en´eratrices : Ψ

⁽¹_{div 2}^,0,0)

qui contient

les structures horizontales (tourbillons horizontaux), et Ψ

⁽⁰_{div 1}^,0,1)

qui montre les structures

verticales.

Fig. 5.5 – Isosurface 0.2 du tableau 3d des coefficients d’ondelettes `a divergence nulle

isotropes associ´ees `a Ψ

^ε_{div 1,j,k}

(`a gauche) et `a Ψ

^ε_{div 2,j,k}

(`a droite), en valeurs absolues.

5.3 Compression

Les propri´et´es de compression de des ondelettes `a divergence nulle sont comparables

`

a celles des ondelettes usuelles. Sauf qu’en plus, elles pr´esentent l’avantage de conserver

de fa¸con exacte la condition de divergence nulle quelque soit le degr´e d’approximation.

Et qu’ainsi, pour cette AMR, les forts coefficients aux grandes ´echelles correspondent aux

Fig. 5.6 – Isosurface 0.06 du tableau 3d des coefficients d’ondelettes `a divergence nulle

isotropes associ´ees aux ondelettes de plus petite ´echelle Ψ

⁽¹_{div 2}^,0,0)_,J,k

(`a gauche) et Ψ

⁽⁰_{div 1}^,0,1)_,J,k

(`a droite), en valeurs absolues.

structures coh´erentes de l’´ecoulement. Il est `a noter que l’´etude de la compression est

aussi tr`es utile pour pr´evoir le nombre de coefficients dont on aura besoin dans un sch´ema

num´erique adaptatif.

5.3.1 Exemple : r´egularit´e d’un champ turbulent 2D

On reprend les propri´et´es d’approximation non lin´eaire des ondelettes vues dans la

partie 2.5, pour caract´eriser la r´egularit´e d’un champ turbulent `a l’aide des ondelettes

`

a divergence nulle. Pour cela, on utilise des ondelettes splines biorthogonales de degr´e 1

et 2 `a divergence nulle isotropes. Comme dans cette exp´erience, les ondelettes duales ψ

∗

0

et ψ

₁^∗

ont respectivement deux et trois moments nuls, on ne peut ´evaluer la r´egularit´e

de champs ayant une r´egularit´e de Besov plus grande que deux. Autrement, il suffit de

prendre d’autres ondelettes ayant un plus haut degr´e de reproduction polynomiale.

La figure 5.7 repr´esente la compression obtenue pour un champ de vitesse en 1024

²

.

La courbe repr´esente l’erreur L

2

,ku−Σ

_N

(u)k

L2

, en fonction du nombreN de coefficients

retenus, en ´echelle log-log. Le taux de convergence mesur´e approximativement donne une

r´egularit´e de Besov s (= 2 p avec p la pente de la courbe) ≈ 1.35. Ce qui signifie que

ce champ de vitesse appartient `a l’espace de Besov B

_q^s,q

avec s= 1,35 et q = 0,85 (voir

d´efinition 1.4.2 des espaces de Besov et la paragraphe 2.5 sur l’approximation non lin´eaire).

En regardant de plus pr`es la figure 5.7 on remarque trois zones diff´erentes :

- D’abord, les ondelettes aux grandes ´echelles parviennent tant bien que mal `a isoler

la structure grossi`ere du flot qui est tr`es irr´eguli`ere. Aussi, la compression progresse-t-elle

lentement et de fa¸con irr´eguli`ere.

- Puis on observe une d´ecroissance lin´eaire de l’erreur en ´echelle logarithmique (ce qui

signifie que l’erreur est en O(

_N¹p

)), `a mesure que l’on progresse dans la structure

turbu-lente du champ. C’est dans cette zone que l’on peut ´evaluer la r´egularit´e de l’´ecoulement,

autrement dit son degr´e de turbulence.

- Enfin, la derni`ere partie correspond `a une d´ecroissance abrupte due au fait que les

donn´ees sont discr`etes.

On remarquera aussi sur la figure 5.7, qu’avec seulement 1.2% des coefficients, l’erreur

est de 1% de la norme L

²

. C’est `a dire qu’on r´ecup`ere 99,99% de l’´energie.

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ number of coefficients L2 error slope: p = 0.67

Fig. 5.7 – ErreurL

2

issue d’une approximation non lin´eaire en ondelettes, en ne gardant

que les N plus grands termes de la d´ecomposition en ondelettes `a divergence nulle d’un

champ turbulent 1024×1024 : on trace en log-log l’erreur L

²

en fonction du nombreN

de coefficients retenus.

En 2D, il est aussi possible d’utiliser une compression sur le champ de vorticit´e qui est

un champ scalaire. Les r´esultats correspondent de nouveau aux pr´evisions th´eorique de la

partie 2.5. Il est de plus possible alors d’utiliser des ondelettes orthogonales et de r´ealiser

un d´ebruitage rigoureux. Mais lorsqu’on passe en dimension 3 la condition de divergence

nulle n’est plus respect´ee apr`es le seuillage des coefficients (voir §2.5.1).

5.3.2 Etude de la compression pour un champ turbulent 3D^´

On effectue un traitement similaire sur la d´ecomposition en ondelettes du champ

turbu-lent 3D obtenue dans la partie 5.2. Contrairement au cas 2D, comme la r´esolution est tr`es

faible (128

³

au lieu de 1024

²

), la d´etection de la partie lin´eaire de la courbe est d´elicate.

Cependant, la courbe pr´esente en une r´egion m´ediane, o`u elle tend `a ˆetre lin´eaire, une

pente correspondant `a la r´egularit´e de Besov s (= 3 p) ≈ 1.45 (o`u p est la pente de la

courbe en ´echelle logarithmique, voir figure 5.8).

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ number of coefficients L2 error slope: p=0.48

Fig.5.8 – ErreurL

2

de compression en vitesse du champ turbulent 3D dont la vorticit´e est

repr´esent´ee sur la figure 5.4, en fonction du nombre de coefficients d’ondelettes `a divergence

nulle isotropes retenus, en ´echelle log-log.

5.4 D´ecomposition de Helmholtz par ondelettes du terme

Dans le document Ondelettes pour la simulation des écoulements fluides incompressibles en turbulence (Page 110-115)