Ondelettes de bord ` a divergence nulle

2

j1

ψ

₀

(2

j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₁

(2

j2

x

₂

−k

₂

)

2

^j2

ψ

₁

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₀

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

Ainsi, quand j = (j

1

, j

2

) et k = (k

1

, k

2

) d´ecrivent Z

2

, la famille de fonctions {Ψ

^an_rot,j,k

}

forme une base d’ondelettes de l’espace H

_rot,0

(R

2

).

3.4 Ondelettes de bord `a divergence nulle

Les constructions d’ondelettes sur l’intervalle sont bien connues et ont fait l’objet de

nombreux travaux [MP95, CL97, Mas96, DKU96a]. Dans le contexte de la th`ese, on s’y

int´eresse afin de v´erifier la compatibilit´e entre ondelettes `a divergence nulle et ondelettes

de bord. On pr´esente ci-dessous une construction ´el´ementaire par lifting de la base

d’onde-lettes. Il apparaˆıt alors que les ondelettes `a divergence nulle s’adaptent parfaitement pour

permettre la construction d’ondelettes de bord `a divergence nulle.

Apr`es des consid´erations d’ordre g´en´eral, on verra un exemple explicite d’ondelettes

de bord `a divergence nulle, toujours avec les ondelettes splines d’ordres 1 et 2.

En pr´esence de bords, les m´ethodes de p´enalisation pr´esentent des limites, lors du

seuillage, et manquent souvent de pr´ecision. Elles sont souvent utilis´ees lorsqu’il est

diffi-cile de faire autrement, par exemple dans le cas du couplage fluide-structure [KVGJ04].

Cependant, pour des probl`emes plus th´eoriques, comme la cavit´e entrain´ee [Urb94] par

exemple, il est int´eressant de construire des ondelettes de bord qui assurent des conditions

de nullit´e au bord par la fonction ou ses d´eriv´ees, et permettent une meilleure

approxima-tion.

La construction d’ondelettes sur l’intervalle introduite bri`evement la partie 2.1 fait

l’objet d’un exemple explicite de construction, dans le cas de deux AMR li´ees par une

relation de d´erivation comme dans la proposition 3.1.1.

Il est possible de modifier une ondelette et de l’adapter `a un bord – c’est-`a-dire la

rendre nulle au-del`a d’un certain point – en lui ajoutant des fonctions d’´echelle du mˆeme

niveau. Il faut toutefois s’assurer que l’ondelette conserve son nombre de moments nuls

apr`es cette op´eration. Cela est particuli`erement important pour les ondelettes `a divergence

nulle ´etant donn´e que l’ordre 2 pour l’ondelette ψ

₀

implique l’ordre 1 pour l’ondelette ψ

₁

,

d’apr`es les relations de la proposition 3.1.1.

Il faut aussi noter qu’en dimension au moins deux d’espace, lorsqu’on passe du niveau

−1 au niveau 0, la complexit´e de la g´eom´etrie fait que deux cas peuvent se pr´esenter :

- le bord se situe sur un nœud entier plus 1/2.

En effet, on ne peut s’interdire un bord pouvant occuper des emplacements divers sous

peine de se voir condamner `a ne traiter que des g´eom´etries extrˆemement simplifi´ees. Donc,

lors de la d´ecomposition en ondelettes 2D, il faudra aussi prendre en compte l’adaptation

aux bords, du maillage qui deviendra de plus en plus grossier.

Les manipulations d´ecrites ci-dessous se font dans le contexte du Lifting Scheme de

W. Sweldens [Swe95], et consistent `a ajouter `a l’ondelette ψ des fonctions d’´echelle ϕ

_k

=

ϕ(· −k), afin que le r´esultat ψ+P

k

a

_k

ϕ

_k

ait les propri´et´es voulues.

3.4.1 Exemple avec des ondelettes splines lin´eaires et quadratiques

Afin de rendre les calculs plus lisibles, on travaille en normalisationL

∞

pour les

onde-lettes.

On cherche donc ici `a transformer la base d’ondelettes splines lin´eaires de (V

_j⁰

) de

la figure 3.1, pour inclure dans les ondelettes la condition de nullit´e au bord. Quand on

int´egrera ces ondelettes on trouvera alors automatiquement les ondelettes splines

quadra-tiques de bord correspondantes pour l’AMR (V

_j¹

), qui v´erifieront la propri´et´e de d´erivation

des AMR de la proposition 3.1.1.

- Si le bord est situ´e en 0, l’ondelette ψ

0

la plus `a gauche, qui vaut :

ψ

₀

(x) = 2ϕ

₀

(2x−1)−¹

2^ϕ

⁰

^(x)−¹

2^ϕ

⁰

^(x−1)

est remplac´ee par une nouvelle ondelette ψ

^b₀

que l’on pose ´egale `a :

ψ

₀^b

(x) =ψ

₀

(x) +¹

2^ϕ

⁰

^(x)−ϕ

₀

(x−1) + ¹

2^ϕ

⁰

^(x−2)

Cette transformation est repr´esent´ee dans la figure 3.4.

Le calcul du coefficient de cette ondelette reste inchang´e : d

^b

= d. En revanche, les

coefficients c

₁

et c

₂

des fonctions d’´echelle ϕ

₀

(x−1) et ϕ

₀

(x−2) subissent une l´eg`ere

correction : c

₁

=c

₁

+d

b

etc

₂

=c

₂

−1/2d

b

.

- Si le bord est situ´e en−1/2, on utilise l’ondeletteψ

^b₀

d´efinie ci-dessus plus une autre

ondelette encore `a gauche de celle-ci qui correspond en fait `a une fonction d’´echelle

trans-form´ee en ondelette par le d´eplacement du bord. On d´efinit donc une nouvelle ondelette

de bord ψ

^bb₀

:

ψ

^bb₀

(x) = 2ϕ

0

(2x)−2ϕ

0

(2x−1)−¹₂ϕ

0

(x−1) +¹

2^ϕ

⁰

^(x−2)

L’ondelette obtenue est repr´esent´ee sur la figure 3.5.

Concernant les coefficients, on commence par poser d

bb

= 1/2c

_−1,0

. Puis, on fait comme

si le bord s’´etait d´ecal´e et on pose : c

₋1,0

= c

0,0

−2d

^bb

. Enfin, apr`es les op´erations de

transform´ee en ondelettes sur ce niveau, on corrige les coefficients des fonctions d’´echelle

ϕ

₀

(x−1) etϕ

₀

(x−2) :c

₁

=c

₁

+ 1/2d

bb

etc

₂

=c

₂

−1/2d

bb

.

Les ondelettes ψ

^b₁

et ψ

₁^bb

obtenues par int´egration des ondelettes ψ

^b₀

et ψ

^bb₀

sont

repr´esent´ees sur la figure 3.6.

On aborde ici une autre construction. Si on souhaite construire une fonction d’´echelle

de bord afin de ne pas avoir `a d´eplacer le bord lors de la d´ecompostion en ondelette, il est

-1.5 2 x 0 3 -0.5 1 0 1.5 1 -1 -1 0.5

Fig. 3.4 – Transformation de l’ondelette spline lin´eaire standard (en rouge) en ondelette

de bord `a gauche (en vert), le bord ´etant situ´e en 0.

2 1 x 0 -1 3 -2 2 1 0 -1

Fig. 3.5 – Nouvelle ondelette de d´ecalage de bord (en violet) construite de toutes pi`eces

`

a partir des fonctions d’´echelle (de diff´erentes couleurs), le bord se d´epla¸cant de−1/2 `a 0.

n´ecessaire d’introduire une fonction d’´echelle de bord qui sera “d´eform´ee” pour v´erifier les

conditions au bord. Il faudra alors tenir compte de cette d´eformation dans la construction

de l’ondelette de bord afin de garantir les deux moments nuls.

1 0.5 0 -0.5 1.5 -1 x 3 2 0 1 -1

Fig. 3.6 – Ondelettes splines quadratiques obtenues en int´egrant les fonctions splines

lin´eaires, en jaune l’ondelette spline quadratique standard, en vert quand le bord est en 0

et en rouge quand il se d´eplace de −1/2 `a 0.

On donne ici les op´erations `a effectuer sur les bases splines (seulement sur l’AMR spline

lin´eaireV

0

, l’AMR spline quadratiqueV

1

s’obtenant par int´egration deV

0

). On fait donc

appel `a une fonction d’´echelle de bord qui ressemble en tout point `a une fonction d’´echelle

normale – c’est une fonction chapeau lin´eaire par morceaux valant 1 en son nœud et 0

sur les nœuds autour – sauf qu’elle est asym´etrique et a d’un cˆot´e une demi-largeur deα

(0 < α≤1) au lieu de 1. On appelle cette fonction de bordϕ

^α

, et on consid´erera un bord

`

a gauche du domaine.

Lorsque l’on regarde ce que devient la transform´ee en ondelettes, il faut apporter

quelques modifications de type lifting scheme. Comme dans le cas o`u le bord est d´eplac´e

d’une ´echelle `a l’autre, on a deux cas soit le nœud le plus `a gauche avant le bord reste en

0 soit il se d´eplace de −1/2 vers 0.

- Si le nœud pr´ec´edent ´etait d´ej`a en 0 alors interviennent

ϕ

^α

(x) =ϕ

^2α

(2x) +¹

2^ϕ(2x−1) au lieu de ϕ(x) = ¹

2^{ϕ(2x+ 1) +ϕ(2x) +}

1

2^ϕ(2x−1)

et

ψ

^{b α}

(x) =a ϕ

^α

(x) + 2ϕ(2x−1) +b ϕ(x−1)

au lieu de

ψ(x) =−¹

2^{ϕ(x) + 2ϕ(2x}−1)−¹

2^ϕ(x−1)

avec aetb des r´eels d´ependant deα, choisis de telle sorte `a conserver les 2 moments nuls

de l’ondelette. Les calculs faits en maple donnent comme valeurs de a, b :

- Si le nœud le plus `a gauche passe de−1/2 `a 0, la fonction d’´echelle de bord devient :

ϕ

¹⁺2^α

(x) = ^α

2^ϕ

α

(2x+ 1) +ϕ(2x) + ¹

2^ϕ(2x−1)

on utilise l’ondelette de bord ψ

^b1+2^α

d´efinie pr´ec´edemment au nœud 1/2, plus l’ondelette

au nœud −1/2 :

ψ

^bbα

(x−1) = 2ϕ

^α

(2x+ 1) +a ϕ

¹⁺2^α

(x) +b ϕ(x−1)

o`u de nouveau a et b sont des r´eels choisis tels que l’ondelette ψ

bb α

ait deux moments

nuls. Le calcul donne :

a=−²⁽_(α^α_{+ 3) (}^{+ 1) (}_α^α_{+ 5)}^{+ 8)} et b=−^{3 (}_{2 (}^α_α^{+ 1)}_{+ 5)}

Comme on le voit, le nombre de possibilit´es de constructions d’ondelettes sur l’intervalle

est grand, mais la complexit´e croˆıt `a mesure des exigences.

3.4.2 Ondelettes de bord 2D

Une fois obtenues les ondelettes de bord ψ

₀^bi

, avec i un param`etre de reconnaissance

(selon que l’on a d´efini diff´erentes ondelettes, ou que l’on se place `a droite ou `a gauche)

dans l’AMR (V

_j⁰

), et leurs pendantsψ

^b₁ⁱ

dans (V

_j¹

), on construit les ondelettes de bord `a

divergence nulle qui, par exemple en dimension 2 prennent pour forme :

Ψ

^b_divⁱ⁽¹_j,^,_k⁰⁾

(x

1

, x

2

) =

²

j2

ψ

bi 1

(2

j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₀

(2

j2

x

₂

−k

₂

)

−2

^j1

ψ

^b₀ⁱ

(2

^j1

x

1

−k

1

)ψ

1

(2

^j2

x

2

−k

2

)

Ψ

^b_nⁱ_j,⁽¹_k^,0)

(x

₁

, x

₂

) =

²

j1

ψ

₁^bi

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₀

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

2

j2

ψ

bi 0

(2

j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₁

(2

j2

x

₂

−k

₂

)

quand le bord est rencontr´e dans la direction x

₁

,

Ψ

^b_divⁱ⁽⁰_j,^,_k¹⁾

(x

₁

, x

₂

) =

²

j2

ψ

₁

(2

j1

x

₁

−k

₁

)ψ

bi 0

(2

j2

x

₂

−k

₂

)

−2

^j1

ψ

₀

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₁^bi

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

Ψ

^b_nⁱ_j,⁽⁰_k^,1)

(x

₁

, x

₂

) =

²

j1

ψ

₁

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

₀^bi

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

2

j2

ψ

₀

(2

j1

x

₁

−k

₁

)ψ

bi 1

(2

j2

x

₂

−k

₂

)

dans la direction x

₂

, et enfin

Ψ

^b_divⁱ⁽¹_j,^,_k¹⁾

(x

₁

, x

₂

) =

²

j2

ψ

^bi1 1

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

^bi2 0

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

−2

j1

ψ

^bi1 0

(2

j1

x

₁

−k

₁

)ψ

^bi2 1

(2

j2

x

₂

−k

₂

)

Ψ

^b_nⁱ_j,⁽¹_k^,1)

(x

₁

, x

₂

) =

²

j1

ψ

^bi1 1

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

^bi2 0

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

2

^j2

ψ

^bi1 0

(2

^j1

x

₁

−k

₁

)ψ

^bi2 1

(2

^j2

x

₂

−k

₂

)

si on est dans un coin.

3.5 Les transform´ees en ondelettes `a divergence nulle et en

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