Transformée en ondelettes

Malgré la capacité remarquable des filtres de Gabor à décomposer le spectre fréquentiel de l’image, les attributs texturaux extraits de ces filtres peuvent être corrélés en raison de la non-orthogonalité des filtres. Il peut dès lors s’avérer difficile de déterminer si une similarité observée entre échelles d’analyse est due aux propriétés de l’image ou à la redondance inhérente à la représentation. En outre, à chaque échelle d’application des filtres de Gabor, les paramètres définissant ces filtres doivent être modifiés. Ces contraintes sont levées par l’utilisation des ondelettes [Mallat, 1989]. Celles-ci offrent en effet un cadre d’analyse multi-échelles uniforme (une seule paramétrisation pour toutes les Figure 1.5 : Exemple de banc de filtres de Gabor appliqué sur le spectre de fréquence avec 4 échelles et

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échelles) et permettent de décomposer l’image en sous-bandes orthogonales et indépendantes limitant ainsi la redondance d’informations.

La transformée en ondelettes décompose l’image en faisant appel à une série de fonctions créées par translation et changement d’échelle d’une fonction d’origine



(1.6)

où s et u représentent respectivement le facteur d’échelle et le facteur de translation. La décomposition en ondelettes d’une image f(x,y) est alors le produit de convolution entre l’image f(x,y) et les fonctions d’ondelettes ψs,u : (1.7)

Cette décomposition permet de calculer les coefficients d’ondelettes ci,j et autorise également la reconstruction de l’image f(x,y) à partir des coefficients ci,j.

En pratique, l’utilisation de la décomposition en ondelettes sur une image discrète à deux dimensions revient à appliquer le produit de filtres passe-haut (H) et passe-bas (L) à une dimension. Dans l’analyse multi-résolutions définie par [Mallat, 1989], une approche de décomposition appelée transformée en ondelettes discrète (DWT) est proposée. Celle-ci consiste à décomposer l’image en quatre sous-bandes sous-échantillonnées d’un facteur 2 (ondelettes dyadiques) à chaque échelle de décomposition. Ces sous-bandes sont le résultat de combinaisons entre filtre haut et filtre passe-bas : LL, LH, HL, HH. La sous-bande LL ou sous-bande d’approximation est une version moyennée de l’image d’origine alors que les sous-bandes HL, LH et HH ou sous-bandes de détails contiennent les hautes fréquences de l’image respectivement dans la direction de x (horizontale), dans la direction de y (verticale) ou dans les deux directions x et y (diagonale). Pour obtenir le niveau d’échelle de décomposition suivant, la sous-bande LL est à nouveau filtrée et sous-échantillonnée (Figure 1.6). Généralement, l’essentiel de l’information texturale étant lissée par l’application du filtre passe-bas, seules les sous-bandes de détails HL, LH et HH sont exploitées dans l’analyse texturale.

Figure 1.6 : Exemple de décomposition par ondelettes. Image d’origine (gauche), Schéma de décomposition de l’image par DWT avec 2 échelles de décomposition (centre), Résultat de la

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Plusieurs familles d’ondelettes discrètes peuvent être utilisées. Celles-ci offrent diverses formes de compromis entre régularité de la fonction et aspect plus ou moins compact de son support. Parmi ces familles, les filtres de Daubechies [Daubechies, 1992] demeurent l’une des bases d’ondelettes les plus utilisées pour l’analyse de textures en raison de leur propriété quasi-fractale, de la grande variété des fonctions qu’ils autorisent et de l’orthogonalité des sous-bandes produites. Les différents filtres de cette famille sont définis par leur nombre de moments nuls. On parle ainsi de filtres de Daubechies 2 (db2), 4 (db4), 6 (db6), 8 (db8), etc. On parle aussi d’ondelettes de Haar pour désigner le cas particulier des filtres Daubechies à un seul moment nul. D’autres familles de fonctions telles que les

Coiflet et les Symlet sont également régulièrement utilisées et se différencient des filtres de Daubechies par leur aspect symétrique et l’étendue de leur support (Figure 1.7).

La DWT (transformée en ondelettes discrète) proposée par [Mallat, 1989] est une méthode standard d’application des ondelettes en analyse de textures. Toutefois, la DWT est limitée en deux points : la sélectivité directionnelle et l’invariance en translation [Selesnik et al., 2005]. Celle-ci ne permet en effet que trois directions d’analyse ce qui peut limiter la capacité de détection de certains contours. Ce constat a mené d’autres chercheurs à proposer de nouvelles formes de décomposition inspirées de la DWT. Citons par exemple la décomposition par paquets d’ondelettes dans laquelle, à chaque échelle, les sous-bandes sont sélectionnées pour la décomposition suivante créant ainsi une extension arborescente de la DWT [Chang & Kuo, 1993] ; la décomposition en ondelettes complexes par arbre dual (DT-CWT) pour laquelle la partie réelle et imaginaire du signal sont décomposées en parallèle selon des filtres distincts permettant de considérer six orientations d’analyse [Selesnik et al., 2005] ; les frames d’ondelettes qui considèrent un facteur de translation continu aboutissant à une

Figure 1.7 : Exemple des différentes familles d’ondelettes. Le nombre à côté du nom de la fonction d’ondelettes correspond au nombre de moments nuls de la fonction. Le graphique haut gauche illustre

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représentation du domaine fréquentiel et à des sous-bandes non-décimées [Unser, 1995]. L’ensemble de ces alternatives à la DWT permettent une meilleure invariance à la translation de la décomposition ainsi qu’à un découpage plus fin dans les orientations considérées. Néanmoins, les sous-bandes obtenues par ces transformations ne sont plus orthogonales et l’information texturale extraite de ces sous-bandes peut être redondante. Plus récemment, des formes adaptatives de la transformée en ondelettes ont également été introduites pour l’analyse de textures orientées ou présentant des caractéristiques géométriques singulières non prises en compte par les transformées classiques (ridgelets [Do & Vetterli, 2003], curvelets [Arivazhagan et al., 2006], contourlets [Po & Do, 2006], etc.).

Dans des applications de classification, la distribution des coefficients d’ondelettes est décrite pour chaque sous-bande en extrayant des attributs tels que l’énergie moyenne, l’entropie [Laine & Fan, 1993] ou des moments d’ordre 3 et 4 (skewness et kurtosis). Par exemple, [Lucieer & van der Werff, 2007] exploitent ce type d’attributs pour classifier le couvert végétal sur une image QuickBird en appliquant la décomposition sur des fenêtres glissantes et en combinant les attributs obtenus avec les bandes spectrales de l’image. De même, [Fukuda & Hirosawa, 1999] extraient l’énergie de sous-bandes d’ondelettes non-décimées pour réaliser une classification supervisée d’images SAR polarimétriques acquise sur des zones agricoles. Dans une autre étude, un indice textural dérivé d’un opérateur de détection de lignes est obtenu à partir de sous-bandes d’ondelettes et permet de détecter des parcelles de vigne dans une image aérienne à 0,25 m de résolution [Ranchin et al., 2001].

D’autres auteurs analysent le contenu des sous-bandes en utilisant les descripteurs d’Haralick dérivés de matrice de co-occurrence calculés sur les sous-bandes comme proposé par [Thyagarajan et al., 1994]. Ainsi, [Ruiz et al., 2004] calculent un ensemble de quatre descripteurs (variance, homogénéité, contraste et corrélation) sur chaque sous-bande obtenue par DWT avec 3 échelles de décomposition pour la classification d’images QuickBird acquises sur des zones forestières. Pour une application en classification de zones urbaines, [Ouma et al., 2010] ont adapté la GLCM pour définir un opérateur de détection de crêtes appliqué sur les sous-bandes d’une DWT sur deux échelles. Cette approche de mesure d’attributs de co-occurrence sur ondelettes (Wavelet Co-occurrence Features – WCFs dans la suite) a également été testée dans un contexte de recherche d’images par leur contenu dans [Van de Wouwer et al., 1999]. Elle est exploitée dans la suite de ce rapport comme méthode de comparaison au même titre que les GLCMs.

D’autre part, les décompositions en ondelettes sont également exploitées dans des contextes de segmentation d’image [Arivazhagan & Ganesan, 2003 ; Charalampidis & Kasparis, 2002 ; Lo et al., 2007]. Toutefois, ce type d’application concerne surtout des images de textures artificielles et peu d’exemples de segmentation basée sur les ondelettes existent pour les images satellites optiques. Citons néanmoins l’étude menée par [Van Coillie et al., 2008] qui utilise des attributs texturaux issus de sous-bandes d’ondelettes comme critère de fusion ou de séparation de régions pour la délimitation de peuplements forestiers.

L’extraction d’attributs tels que l’énergie ou l’entropie des sous-bandes reste une approche basique de caractérisation de la distribution des coefficients d’ondelettes. Récemment, de nombreuses recherches ont été menées sur l’utilisation de modèles probabilistes afin de caractériser plus finement l’histogramme de cette distribution. Ces approches sont décrites dans la partie suivante.

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