2.4 Conclusion générale
3.1.1 Transfert de matière
Les conditions de travail qu'elles soient sous vide ou sous atmosphère, modient
considé-rablement les transferts de matière entre le silicium liquide et son environnement.
3.1.1.1 Évaporation du silicium sous vide
Sous vide le silicium liquide est en équilibre avec sa pression de vapeur saturante. En
intégrant l'équation de Clausius -Clapeyron 2.3, on obtient la relation suivante :
P
´eq=P
r´efexp
∆Hv R 1 Tref´ − 1 T´eq(3.1)
avec P
´eqla pression de vapeur saturante (en bar), P
ref´la pression de référence (en bar),
∆H
vl'énergie de vaporisation (enJ.mol
−1),T
r´efla température de référence (enK) etT
´eqla
température d'équilibre (enK). En appliquant cette équation avec les propriétés du silicium
données en Annexe A.1, on obtient la gure 3.1. Les valeurs obtenues par l'intermédiaire du
logiciel FACTSAGE et de la base de données ROCA donnent des résultats similaires. On
observe une augmentation de la pression de vapeur de 2.10
−7mbar à 5,5.10
−4mbar pour
une température allant respectivement de 1600 à 2200K. Si on travaille à une température
proche de la température de fusion, par exemple à 1700K, la pression de vapeur saturante
est de l'ordre de1.10
−6mbar (Fig. 3.1).
1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3
Temperature (K)
Pression (bar)
Clausius−Clapeyron FactsageFigure 3.1: Pression de vapeur saturante du silicium entre 1600 et 2000K calculée avec
l'équation de Clausius-Clapeyron.
Ceci nous permet de calculer grâce à la relation de Hertz-Knudsen (Eq. 3.2), la masse de
silicium évaporée dans l'enceinte. Que ce soit dans le cas du modèle de Clausius Clapeyron,
ou de la base ROCA, on observe qu'un temps de 700s sut pour évaporer totalement un
échantillon de silicium de diamètre initial1,2cm (équivalent à une masse initiale de 2,3g).
On se place ici dans le cas limite où l'évaporation n'est pas limitée c'est à dire pourΥ
evap´= 1
(Fig. 3.2).
v
´evap= Υ
evap´P
eq´.10
5p
2πM RT
eq´(3.2)
avecΥ
evap´le coecient d'évaporation,M la masse molaire (enkg.mol
−1) etv
´evapla vitesse
d'évaporation enmol.m
−2s
−1.
101 102 103 10−2 10−1 100 101
Temps (s)
Masse perdue (g)
Clausius−Clapeyron FactsageFigure 3.2: Comparaison de l'équation de Clausius-Clapeyron et la base de donnée ROCA
sous FACTSAGE de la masse de silicium perdue au cours du temps. Les calculs ont été
réalisés pour un échantillon de diamètre initial 1,2cm porté à une température de 1700K
sous vide. Le calcul a été réalisé dans les conditions limites où le coecient d'évaporation est
égal à 1.
3.1.1.2 Évaporation du silicium sous Argon
La présence d'argon peu limiter l'évaporation du silicium si sa pression est supérieure à
la pression d'équilibre du silicium. Pour cela, on peut appliquer la première loi de Fick :
J
A=−D
AB.∇C
A(3.3)
AvecJ
Ale ux de diusion de l'espèceA(enmol.m
−2s
−1),C
Ala concentration de l'espèce
A (en mol.m
−3) et D
ABle coecient de diusion de l'espèce A dans l'espèce B (en m
2s
−1).
Il est aussi possible de formuler le problème de façon à prendre en compte les transferts de
matière dus à la convection naturelle. Pour cela, il est nécessaire de calculer le coecient
d'échange global ¯h=Sh.D
AB/Ltel que J
A=h(C
A,s−C
A,∞) avec C
A,sla concentration de
l'espèce A à la surface et C
A,∞la concentration de l'espèce A au loin. L est la dimension
caractéristique et Sh représente le nombre de Sherwood global qui peut être déni, dans le
cas d'une sphère, par l'expression suivante [73] :
Sh= 2 + 0,589Ra
1/4 Lh
1 + (0,469/P r)
9/16i
4/9pour P r ≥0,7et Ra ≤10
11(3.4)
où Ra
Lreprésente le nombre de Rayleigh déni par :
Ra
L= gβ
∗
(C
s−C
∞)L
3avec g le coecient d'accélération de la pesanteur égal à 9.81 m.s
−2, β
∗le coecient
d'expansion massique (enm
3.mol
−1),νla viscosité cinématique (enm
2.s
−1) etα
∗la diusivité
massique (enm
2.s
−1).P r représente le nombre de Prandlt tel queP r=ν/α
∗. Le coecient
de dilatation massique peut être écrit sous la forme suivante, dans le cas d'un gaz idéal :
β
∗=−1
ρ
∂ρ
∂C
P,T' 1
C (3.6)
oùρ représente une variable de densité qui est fonction de la pression. Les coecients α
∗et ν sont inversement proportionnels à la pression, on peut donc écrire dans les conditions
de pression et de température standard :
Ra
L= ∆C
C
gL
3P
2α
∗0
ν
0(3.7)
oùP représente la pression (en P a) montrant ainsi, que :
Sh∝2 +P
1/2(3.8)
De même, le coecient de diusion est inversement proportionnel à P ce qui nous permet
d'écrire :
J
A∝ 2 +P
1/2