1.4 Application de la fonction trace
1.4.1 En traitement du signal
Dans le cadre du traitement du signal, la problématique majeure est de réussir à isoler des perturbations (vent, parole, nuage,. . .) d’un signal additif reçu par une cible. En effet, ces perturbations, également appelées bruit, peuvent provenir soit du système, soit de l’environnement extérieur à celui-ci (brouilleur, échos de sol ou de mer, environnement urbain, interférences, . . .). Dans ce cadre, le bruit en général est considéré comme étant un processus aléatoire. Un besoin commun dans le traitement de signal est de générer des signaux additifs qui ressemblent à divers types du bruit aléatoire.
Représentation statistique du signal
Le modèle statistique du signal additif est représenté sous la forme suivante :
X = m + ε, (1.13)
où X représente le signal de sortie qui est obtenu comme une fonction linéaire du signal d’entrée m et du bruit ε.
Dans de nombreuses études menées depuis des dizaines d’années, les méthodes d’analyse et les algorithmes associés supposent que le bruit est modélisé comme un bruit Gaussien blanc simple (c’est un bruit qui suit une loi normale) dont les statistiques et les caractéris-tiques spectrales sont bien connues [110]. Mais, la réalité est très loin de cette hypothèse. En particulier, il existe un bruit impulsif. Contrairement au bruit blanc Gaussien, il est impulsif, non statistique standard et généralement non-stationnaire, non gaussien, avec un comportement de haute fréquence et complexe.
Dans notre travail, nous proposons une méthode pour approximer la loi de Bruit en se basant sur la fonction trace.
Simulation
Nous supposons dans notre étude de simulation, que la distribution du signal d’entré de vecteur moyen m connu et la distribution du vecteur bruit ε appartient à une FEN
infiniment divisible engendrée par une mesure µ ∈ M(R2). C’est à dire (ε ∼ Pθ,µ).
Nous utilisons les estimateurs proposés de tr(kµ00(θ)) = tr(VF(m(θ))), pour les quatre
FENs infiniment divisibles représentées dans le TAB.1.3 (Gamma-Gaussienne, Gaussienne, Inverse-Gaussienne, Gamma), afin de déterminer la loi du bruit ε.
Considérons un échantillon aléatoire {ε1, . . . , εn} de loi Pθ,µ. Nous adoptons l’approche Boostrap non paramétrique [21] avec une petite modification au niveau de la création de B échantillons Boostrap à partir de l’échantillon initial. C’est à dire, au lieu de créer chaque nouvel échantillon à partir d’un tirage avec remise de l’échantillon initial, nous le remplaçons par une autre méthode définie comme suit : Chaque fois, nous perturbons
l’échantillon initial en ajoutant une variable aléatoire u uniforme sur (0, 1)2, c’est à dire
en créant un nouvel échantillon {ε∗1, · · · , ε∗n} avec ε∗
i = εi+ ui.
Pour chaque nouvel échantillon obtenu, nous calculons l’estimateur empirique, tr(VF(ε)) =
trep, correspondant à chaque FEN infiniment divisible (Gamma-Gaussienne, Gaussienne, Inverse-Gaussienne, Gamma).
Pour déterminer l’estimateur de la distribution du bruit ε, nous avons choisi comme critère de comparaison l’erreur quadratique moyenne (EQM) définie par :
EQM(trtp, trep) = 1 B N X j=1 tr(VF(m∗(θ))) − tr(VF(ε∗ j))2, (1.14)
où m∗(θ) = m(θ) + (0.5, 0.5)tet tr(VF(m(θ)))) = trtp représente la trace de la matrice de
variance-covariance de la loi Pθ,µ avec des valeurs exactes de ces paramètres.
Nous répétons cette expérience pour différentes valeurs de θ.
Nous avons généré les données selon les quatre lois (Gamma-Gaussienne, Gaussienne, Inverse-Gaussienne, Gamma) en choisissant les valeurs des paramètres suivants :
• a = 2 pour le modèle Gamma,
• n = 5000 la taille de l’échantillon pour chaque loi, • B = 100 le nombre de Boostrap,
Les résultats obtenus sont présentés dans les tableaux TAB 1.5, TAB 1.6, TAB 1.7 et TAB 1.8.
Comme première expérience, nous avons supposé que la loi Pθ,µest une Gamma-Gaussienne.
Le Tableau TAB 1.5, indique que la valeur de l’EQM est minimale lorsque nous calculons avec l’estimateur de la fonction trace d’une loi Gamma-Gaussienne, pour différentes va-leurs de θ. Par suite, la loi du bruit ε est qualifiée par Gamma-Gaussienne.
Dans la seconde expérience, la loi de Pθ,µ est Gaussienne de moyenne θ et de matrice de
variance-covariance Σ = 1 ρ
ρ 1
!
, avec ρ = 0.3. Nous répétons la même procédure que précédemment. Le Tableau TAB 1.6 indique que la valeur de l’EQM calculée avec l’esti-mateur de la loi Gaussienne est plus faible que celles calculées pour les autre lois. Alors, la loi du bruit ε est Gaussienne.
Dans la troisième expérience, nous avons répété la même procédure avec une loi Inverse Gaussienne. Le Tableau TAB 1.7 indique que la loi du bruit ε est Inverse Gaussienne. Dans la dernière expérience, nous avons répété la même procédure avec une loi Gamma. le Tableau TAB 1.8 indique que la loi du bruit ε est Gamma.
Le choix de cinq valeurs différentes de θ ne nous permet pas d’affirmer que les résultats obtenus sont efficaces. Pour cette raison, nous avons généralisé notre étude pour différentes valeurs de θ obtenues de façon aléatoire pour chaque loi considérée et nous avons répété la même procédure que précédemment. Dans ce cas, notre étude de simulation montre que la loi du bruit ε dans le cas d’un modèle Gaussien converge vers une loi Gamma-Gaussienne avec un pourcentage égal à 97%. Puis, le bruit ε dans le cas d’un modèle Gaussien converge vers une loi Gaussienne, avec un pourcentage égal à 100%. Dans le cas d’un modèle Inverse Gaussien, la loi du bruit ε converge vers une loi Inverse Gaussienne
avec un pourcentage égal à 96%. Enfin, la loi du bruit ε dans le cas d’un modèle Gamma converge vers une loi Gamma avec un pourcentage égal à 97%.
θ1 θ2 trtp EQM(trtp, tr(BGG)) EQM(trtp, tr(BG)) EQM(trtp, tr(BIG)) EQM(trtp, tr(BGa))
−3 2 12 0.0138 0.3874 6.5072 0.2682
−2 1 3.11 0.0027 0.2174 1.2993 0.1809
−10 2.5 0.59 0.0070 0.1924 1.3064 0.1834
−1 0 5.55 0.0158 0.2906 4.099 0.2916
−10 3 1.02 0.0011 0.1247 0.1327 0.0840
Tab. 1.5 – Différentes valeurs des EQM selon le modèle Gamma-Gaussien bivarié.
θ1 θ2 trtp EQM(trtp, tr(BGG)) EQM(trtp, tr(BG)) EQM(trtp, tr(BIG)) EQM(trtp, tr(BGa))
0 0 2 0.1013 0.02874 0.1650 0.1526
1 2 2 0.7921 0.0069 1.3393 0.6441
−1 4 2 1.8007 0.0213 1.3064 1.8550
5 4 2 24.0158 0.0290 148.0990 23.2916
30 5 2 350.2154 0.0059 13 × 103 347.1600
θ1 θ2 trtp EQM(trtp, tr(BGG)) EQM(trtp, tr(BG)) EQM(trtp, tr(BIG)) EQM(trtp, tr(BGa)) −2 1 0.57 0.1766 0.2874 0.01850 0.2526 −1 0 0.97 0.3150 0.4148 0.2331 0.4416 −3 1.5 0.58 0.1453 0.2813 0.0142 0.2457 −5 3 11 2.1586 2.3687 1.9343 2.2696 −15 5 2.41 0.3519 0.6159 0.1608 0.4067
Tab. 1.7 – Différentes valeurs des EQM selon le modèle Inverse Gaussien bivarié.
θ1 θ2 trtp EQM(trtp, tr(BGG)) EQM(trtp, tr(BG)) EQM(trtp, tr(BIG)) EQM(trtp, tr(BGa))
−1.6 −5 6.13 0.4991 0.4632 33.1650 0.3152
−1 −3 28 1.7300 1.92575 201.3393 0.7411
−4 −4 3.98 0.4815 0.5213 3.3064 0.2758
−1.5 −10 4.13 0.3982 0.2907 32.2767 0.1447
−10 −5 2.11 0.3982 0.3255 0.3896 0.2004
Tab. 1.8 – Différentes valeurs des EQM selon le modèle Gamma bivarié.