2.2 Lois multivariées
2.2.3 Performance des estimateurs
, (2.21) bb = Y21 + Y2(1 + Y2) S2 Y2 , (2.22) b c = 2 +Y1(1 + Y1) S2 Y1 . (2.23)
2.2.3 Performance des estimateurs
Dans cette section, nous étudions la performance des estimateurs obtenus par la MMV et la MM sur deux modèles bivariées (Bêta de première espèce et Bêta de deuxième espèce). Les estimateurs peuvent être comparés sur la base de différents critères : le biais, la variance, l’erreur quadratique moyenne et la convergence. Le biais mesure l’écart entre la vraie valeur de la quantité à estimer et la valeur que l’estimateur prend en espérance. La variance quantifie la variabilité autour de l’espérance. Idéalement, un bon estimateur possède un petit biais voire nul, et une petite variance. Il n’est pas possible de réduire simultanement le biais et la variance d’un estimateur, ce qui amène à la définition de l’erreur quadratique moyenne (EQM) qui exprime la combinaison de ces deux quantités.
On definit l’EQM de l’estimateur bθ d’un paramètre inconnu θ par :
EQM (bθ) = E[kbθ − θk2].
Dans de nombreuses études, il est nécessaire de disposer d’échantillons de tailles quel-conques de variables de lois connues. Pour cela, nous faisons appel à la simulation qui
consiste à construire à l’aide d’un programme de calcul une suite de nombres x1, . . . , xn, chacun suivant la loi voulue indépendamment les uns des autres. Pour créer de tels
échan-tillons, il est nécessaire de disposer a priori d’un générateur de nombres aléatoires ui
uniformément répartis sur l’intervalle [0, 1]. Cette méthode nous permet d’estimer le pa-ramètre θ de la loi, et de faire une étude comparative des performances des méthodes d’estimation MMV et MM. La mesure de performance est obtenue en calculant l’EQM de l’estimateur du paramètre θ. Classiquement, cette quantité est estimée à partir d’un certain nombre de réalisations d’un échantillon suivant la loi donnée. Pratiquement, l’estimation du paramètre θ est obtenue de la façon suivante : d’abord nous générons un échantillon de taille n, ensuite nous estimons le paramètre θ par les deux méthodes MMV et MM. Cette étape est réalisée N fois afin de calculer la variation de l’EQM en fonction de la taille de l’échantillon. Afin d’apprécier le comportement de ces estimateurs, nous présentons dans la suite quelques résultats de simulation sur des modèles de lois Bêta de première espèce et de lois Bêta de deuxième espèce. Comme les estimateurs des paramètres du modèle des lois Gaussiennes obtenus par la MMV et la MM sont identiques, nous ne présentons pas des résultats de simulations concernant ce modèle.
Modèle de lois Bêta de première espèce
Nous avons généré des réalisations de lois Bêta bivariées de première espèce pour différentes valeurs de a, b et c. Cette expérience a été réalisée pour un échantillon de taille n et pour un nombre de simulations N = 1000. Nous présentons dans les figures FIG.2.4.a, FIG.2.4.b et FIG.2.5 la variation de l’EQM en fonction de la taille n de l’échantillon .
cette figure représentent la variation de l’EQM pour a = 0.105.
FIG.2.4.b est obtenue en fixant a = 3 et c = 10 et en variant b. Les deux courbes dans cette figure représentent la variation de l’EQM pour b = 2.5.
FIG.2.5 est obtenue en fixant a = 3 et b = 10 et en variant c. Les deux courbes dans cette figure représentent la variation de l’EQM pour c = 45. Les courbes représentées par "◦" correspondent à la variation de l’EQM en fonction de n obtenues par la MM. Les courbes représentées par "4" correspondent à la variation de l’EQM en fonction n obtenues par la MMV. D’après ces trois figures, nous remarquons que les estimateurs des paramètres a, b et c obtenus par la MMV sont plus performants que ceux obtenus par la MM.
(a) EQM du paramètre a.
(b) EQM du paramètre b.
Fig. 2.5 – L’EQM en fonction de n pour le paramètre c. Modèle de lois Bêta de deuxième espèce
Nous avons généré des réalisations de lois Bêta bivariées de deuxième espèce pour diffé-rentes valeurs de a, b et c. Cette expérience a été réalisée pour un échantillon de taille n et pour un nombre de simulations N = 1000. Nous présentons dans les figures FIG.2.6.a, FIG.2.6.b et FIG.2.7 la variation de l’EQM en fonction de la taille de l’échantillon n. FIG.2.6.a est obtenue en fixant b = 3 et c = 2.3 et en variant a. Les deux courbes dans cette figure représentent la variation de l’EQM pour a = 1.5.
FIG.2.6.b est obtenue en fixant a = 4 et c = 9 et en variant b. Les deux courbes dans cette figure représentent la variation de l’EQM pour b = 4.
FIG.2.7 est obtenue en fixant a = 10 et b = 20 et en variant c. Les deux courbes dans cette figure représentent la variation de l’EQM pour c = 45.
Les courbes représentées par "◦" correspondent à la variation de l’EQM en fonction de n obtenues par la MM. Les courbes représentées par "4" correspondent à la variation de l’EQM en fonction de n obtenues par la MMV. D’après ces trois figures, nous remarquons que les estimateurs des paramètres a, b et c obtenus par la MMV sont plus performants que ceux obtenus par la MM.
(a) EQM du paramètre a
(b) EQM du paramètre b
Fig. 2.6 – L’EQM en fonction de n pour les paramètres a et b.
Fig. 2.7 – L’EQM en fonction de n pour le paramètre c.
Afin de généraliser la performance de ces deux méthodes d’estimations sur d’autres mo-dèles de lois multivariées, nous proposons dans la suite de ce chapitre un nouveau modèle
de lois basé sur la loi de Riesz.