Traitement des collisions

, (11.82c) d~vp2(t) dt = −_S¹ tp2 {A21· [~vp1(t) − ~u(~xp1(t), t)] + A22· [~vp2(t) − ~u(~xp2(t), t)] + ^a L₀^{G2 : E} ∞  . (11.82d)

Le tenseur des taux de déformation doit être évalué au niveau de la particule p2. Ce système de 12 équations différentielles est encore plus compliqué à résoudre que celui présenté pour les particules isolées. Dans nos simulations, nous utilisons la même technique employée pour la recherche des trajectoires relatives déterminées en écoulement linéaire. Cette méthode d’inté-gration est présentée dans l’annexe E. Le pas de temps utilisé dans les simulations reste fixé tout au long du calcul. Par contre, si la détermination des vitesses et des positions des particules en interaction nécessite plus de précision, l’intégration du système d’équations correspondant est fait pour des pas de temps intermédiaires.

Après avoir intégré les équations de mouvement, il est nécessaire dans un premier temps de vérifier si les nouvelles positions des particules se trouvent dans le domaine de simulation. Dans le cas où les particules sortent de ce domaine, il est nécessaire de changer leurs positions en res-pectant les conditions de périodicité. Dans un deuxième temps, les particules peuvent changer de cellule de repérage d’un pas de temps à l’autre. Il faut donc alors modifier les tableaux numpartet parbox en conséquence.

11.3.4 Traitement des collisions

Les collisions ne peuvent se produire qu’entre des particules en interaction hydrodyna-mique. Par conséquent, les chocs sont à prendre en compte uniquement dans la procédure d’in-tégration de particules en interaction. Les forces pour un couple de particules sont valides pour toutes les distances entre les particules. Elles deviennent très grandes pour les faibles écarts. Ce dernier point entraîne que le nombre de calculs pour des pas de temps intermédiaires est plus grand lorsque les particules sont proches. Afin d’être assuré de bien localiser le choc, il est possible d’estimer l’instant du choc. Ainsi, pour deux particules en interaction d’indices p1 et p2, en supposant que leurs vitesses ne changent pas, l’instant de la collision peut être évalué par la résolution de l’équation suivante :

Cette dernière relation se transforme en équation du second degré pour la variable ∆tp1p2. Un choc se produira durant l’intervalle [tn; tn + ∆t]si ∆tp1p2 ≤ ∆t. De plus seules les valeurs positives sont retenues. Dans le cas où l’équation donne deux solutions réelles positives, ∆tp1p2

est pris comme étant le minimum de ces deux solutions. L’estimation de ∆tp1p2nous permet de fixer le pas de temps intermédiaire à utiliser dans l’intégration des vitesses et positions de deux particules en interaction.

Lorsqu’un choc a été localisé, il est nécessaire de modifier les vitesses des deux particules en vertu des principes de conservation de la quantité de mouvement. Cette simulation n’ayant pour but, dans un premier temps, que la détermination du taux de collision, les gouttes sont supposées subir que des chocs élastiques. Il n’y a aucune coalescence. Si les vitesses des particules après choc sont notées avec un prime, on a :

~v_p1⁰ = ~v_p1− ~p, (11.84a) ~v0

p2 = ~v_p2+ ~p, (11.84b)

avec ~p =^h(~vp1− ~vp2) · ~ki ~k et ~k = ~xp1− ~xp2

k~xp1− ~xp2k^. (11.84c) A chaque fois qu’un choc est localisé, le nombre de chocs, noté Nchoc, est incrémenté. Pour chaque pas de temps, ce dernier permet d’estimer la fréquence de collision, J, à l’aide de la relation suivante :

J = ^{N choc}

∆t ^. (11.85)

J subit des fluctuations en fonction du temps qui sont liées à la mise en équilibre des parti-cules. Il donc nécessaire de faire le calcul de J seulement quand les particules ont atteint leur état stationnaire statistiquement. De plus, le calcul doit être répété un grand nombre de fois afin d’obtenir une grandeur représentative. Sundaram et Collins [137] préconisent d’attendre au moins des temps égaux à deux fois l’échelle intégrale temporelle eulérienne de la turbulence avant d’obtenir une bonne estimation de la fréquence de collision. Ensuite la multiplication de J avec le nombre de particules par unité de volume donne le taux de collision.

Le manque de temps dans le cadre de ce travail n’a pas permis d’obtenir des résultats dans ces simulations. Des difficultés dans l’obtention d’un champ de turbulence homogène et iso-trope ont fortement ralenti notre progression. Le travail a surtout consisté à optimiser les temps de calcul des modules propres aux particules. Nous avons réussi à obtenir des temps de cal-cul similaires entre la partie réservée à la simulation de la turbulence et celle au transport des gouttes. Il va de soit que cette étude doit être poursuivie dans l’avenir.

11.4 Conclusion

La troisième partie de ce mémoire a été consacrée à la détermination des taux de colli-sion en écoulements turbulents. Après avoir rappelé les notions fondamentales sur la dispercolli-sion de particules, une présentation des modèles existants a été effectuée. Le manque d’universa-lité dans les divers expressions du taux de collision témoigne de la difficulté à appréhender la détermination de J12t.

Nous avons alors poursuivi notre étude en recherchant le taux de collision. Il est fait usage d’un formalisme emprunté à la théorie cinétique des gaz. La difficulté réside dans la

détermina-tion de la foncdétermina-tion de distribudétermina-tion de paire. Cette dernière a été obtenue en utilisant des nodétermina-tions de probabilités conditionnelles et une hypothèse de normalité sur le champ de vitesse de la phase continue. Le taux de collision déterminé en absence de force de pesanteur se révèle être d’une plus grande universalité que les modèles disponibles dans la littérature. Une comparaison avec les résultats numériques de Sundaram et Collins [137] nous a permis de contrôler le bien fondé de notre modèle. De plus, le taux de collision a été déterminé en présence du champ de gravité. Ainsi, nous avons pu généraliser l’expression obtenue initialement par Abrahamson [2]. Par contre, ces considérations sont faites en négligeant totalement les interactions hydrody-namiques. Leur introduction dans la recherche d’expression analytique du taux de collision est difficilement réalisable. Une simulation numérique semble être une alternative pour le calcul du taux de collision. Ainsi, une méthode numérique a été mise au point permettant d’étudier la dispersion de particules dans un écoulement turbulent homogène et isotrope. Par contre, des difficultés dans l’obtention du champ de vitesse nous ont empêché d’obtenir des résultats dans cette simulation.

L’expression du taux de collision déterminée en présence du champ de gravité va être uti-lisée dans la dernière partie de ce mémoire. Le but est de voir l’influence de la turbulence sur l’élargissement d’un spectre de gouttes.

Application à la coalescence de gouttes

dans les nuages

Equation d’évolution granulométrique

d’un nuage

Jusqu’à maintenant seuls les aspects collisionnels ont été étudiés. Mais la collision peut entraîner la coalescence entre deux gouttes à la suite de leur choc. Il ressort que la granulo-métrie d’un nuage va évoluer en temps. La coalescence n’est pas le seul phénomène physique entraînant une variation du spectre de goutte.

En effet, la rupture de gouttes en d’autres plus petites intervient également. L’éclatement a lieu pour des nombres de Weber, We = ρU2L/σ, critiques. U et L sont des grandeurs ca-ractéristiques. Ce nombre adimensionnel peut s’exprimer à l’aide des nombres de Reynolds et capillaire sous la forme :

We = ReCa. (17.1)

La détermination du nombre de Weber critique n’est pas chose facile. Elle dépend du phéno-mène conduisant à la rupture des gouttes. Les forces de tension superficielle doivent résister aux forces visqueuses ou aux efforts inertielles du fluide comme le signalent Sevik et Park [129]. Dans le cas où les forces visqueuses dominent (petites gouttes par rapport à l’échelle de Kolmo-gorov), Hinze [61] indique une valeur de nombre de Weber critique de 1, 2. Par contre, lorsque les forces inertielles sont prépondérantes, Sevik et Park [129] donnent des valeurs comprises entre 5 et 11. Plus récemment, Kocamustafaogullari et al. [81] précisent que les nombres de Weber critiques doivent être inférieurs à 12, 2.

Le manque de consensus entre les divers auteurs montre bien les difficultés rencontrées dans l’étude de l’éclatement de gouttes. Cependant, nous voyons que les nombres de Weber critiques sont compris approximativement entre 1 et 12. Or, dans le cadre de nos applications, les valeurs des nombres capillaires restent très faibles. Comme les nombres de Reynolds relatifs aux gouttes sont petits, Wereste relativement modéré et inférieur aux valeurs critiques.

En fait, les zones de nombre de Weber pour lesquelles interviennent le fractionnement sont différentes de celles où s’effectuent les phénomènes de collision-coalescence. Les éclatements prennent naissance lorsque le déséquilibre dynamique entre les deux phases est important ou lors de la présence de fort cisaillement du champ de vitesse. De plus, lorsque le nombre capil-laire est important, la déformation des gouttes l’est aussi. Or, cette dernière empêche la coales-cence de se faire comme le précise Chesters [26]. Par conséquent, le fractionnement n’est pas prise en compte dans le cadre de cette étude.

La condensation entraîne également une variation granulométrique. Les taux de condensa-tion varient avec la taille des gouttes. Néanmoins, l’élargissement du spectre de gouttes n’est généralement pas expliqué par la condensation. En effet, le taux de condensation est inverse-ment proportionnel au rayon des particules. Il s’ensuit que plus les dimensions des inclusions sont grandes plus les taux de condensation diminuent. L’élargissement est donc fortement limité [76]. Par la suite, la condensation est également négligée.

Ce chapitre est consacré dans un premier temps à l’établissement de l’équation de population dans un cadre relativement général. Par suite, l’étude est limitée au cas homogène. La méthode numérique choisie permettant de résoudre ce type d’équation est alors exposée.

17.1 Formulation complète de l’équation de population

Commençons, dans un premier temps, par voir l’établissement de l’équation de population décrivant l’évolution dynamique d’un nuage. Cette dernière s’apparente à une équation de type Boltzmann appliquée à une fonction de distribution de probabilité. Dans un premier temps, l’espace des phases est introduit. L’établissement de l’équation décrite par la fonction de dis-tribution est donnée dans un deuxième temps. Enfin, la forme générale du terme source lié à la coalescence est établie.