Le th´eor`eme principal est le suivant.
Th´eor`eme 5.10 ( ”GAGA” ) Soit F un champ alg´ebrique propre. Alors le foncteur
Coh(F ) −→ Coh(Fan) F 7→ Fan
est une ´equivalence de cat´egories. Preuve:
Lemme 5.11 Soit f : F −→ F′ un morphisme propre et repr´esentable de champs alg´ebriques, et F un faisceau coh´erent sur F . Alors le mor-phisme naturel
Rif∗an(Fan) −→ Rif∗(F )an est un isomorphisme.
Preuve:Comme ceci est local sur (F′)an
et, le lemme est une cons´equence directe de [SGA 1, XII 4.2]. 2
Lemme 5.12 Soit p : F −→ M le projection d’un champ alg´ebrique sur son espace de modules, et F un faisceau coh´erent sur F . Alors le morphisme naturel
pan∗ (Fan) −→ p∗(F )an est un isomorphisme.
Preuve: Soit U −→ M un recouvrement ´etale alg´ebrique tel que FU
soit un champ quotient sur U. En localisant sur U, on peut donc supposer que F = [X/H], avec H un groupe fini op´erant sur un sch´ema X. Le faisceau F est alors donn´e par un faisceau coh´erent FX sur X, muni d’une action de H.
Soit q : X −→ X/H la projection. D’apr`es le lemme pr´ec´edent on a alors
q∗an(FXan) ≃ q∗(FX)an
De plus cet isomorphisme est un isomorphisme ´equivariant de H-faisceaux analytiques coh´erents sur Xan/H. En prenant les invariants sous H on obtient
pan∗ (FXan) ≃ qan∗ (FXan)H ≃ (q∗(FX)an)H ≃ (q∗(FX)H)an ≃ p∗(FX)an 2
Revenons `a la preuve du th´eor`eme. Elle suit exactement le mˆeme sch´ema que la preuve donn´ee dans [SGA 1, XII 4.4].
(1) Le foncteur est pleinement fid`ele:
Soit F un faisceau coh´erent sur F . Alors, comme p∗ est un foncteur exact, on a un isomorphisme canonique
Hi(F, F ) ≃ Hi(M, p∗F )
De plus, M est un espace alg´ebrique propre, et p∗F un faisceau coh´erent sur M, donc le th´eor`eme GAGA pour les espaces alg´ebriques ( [SGA 1, XII 4.4] ) nous dit que le morphisme naturel
Hi(M, p∗F ) −→ Hi(Man, (p∗F )an) est un isomorphisme. De plus le lemme 5.12 implique que
Hi(Man, (p∗F )an) ≃ Hi(Man, pan
∗ (Fan)) Or
Hi(Man, pan
∗ (Fan)) ≃ Hi(Fan, Fan) On obtient donc l’isomorphisme cherch´e
Si F et G sont deux faisceaux coh´erents sur F , on dispose du fais-ceau coh´erent HomOF(F , G) sur F . Nous pouvons donc lui appliquer l’isomorphisme pr´ec´edent avec i = 0
HomOF(F , G) ≃ H(F, HomOF(F , G)) ≃ H(Fan, HomOF(F , G)an) Or
H0(Fan, HomOF(F , G)an) ≃ HomOF an(Fan, Gan) Ceci ach`eve la preuve de l’assertion (1).
(2) Le foncteur est essentiellement surjectif:
Commen¸cons par le cas o`u F = X × BH est une gerbe triviale de groupe fini H et d’espace de modules X un sch´ema propre. Alors un faisceau coh´erent F sur Fan est donn´e par un faisceau coh´erent FX sur Xan muni d’une action du groupe H. D’apr`es le th´eor`eme GAGA pour X, on sait qu’il existe un faisceau coh´erent MX sur X tel que FX ≃ Man
X . L’action de H est alors donn´ee par une repr´esentation
H −→ AutOXan(ManX)
Or, une seconde application du th´eor`eme GAGA implique que AutOXan(ManX ) ≃ AutOX(MX)
On munit ainsi MX d’une action de H, ce qui d´efinit le faisceau coh´erent M sur F tel que Man ≃ F .
Passons au cas g´en´eral. Soit F un faisceau analytique coh´erent sur Fan. On raisonne par r´ecurrence sur la dimension d du support de F .
Soit A l’id´eal annulateur de F dans OFan. En se restreignant au ferm´e d´efini par A, on peut supposer que le support de F est F .
Soit I l’id´eal de Freddans F , et k un entier tel que Ik= . On dispose de la filtration suivante
0 ֒→ Ik−.F ֒→ . . . I.F ֒→ F
dont les quotients successifs sont des images directes de modules coh´erents sur Fred par l’immersion canonique Fred֒→ F . Remarquons alors qu’une extension analytique de faisceaux coh´erents alg´ebrisables est alg´ebrisable. En effet, le fait que le foncteur d’analytification G 7→ Gan soit exact et pleinement fid`ele, et la formule
HomOF(F , G)an ≃ HomOF an(Fan, Gan) montre que
On peut donc se restreindre au cas o`u F est r´eduit.
D’apr`es [D-M, Thm. 4.12], on peut trouver un sch´ema projectif X normal, et un morphisme propre et g´en´eriquement ´etale
X −→ F
Soit FX = F ×MX le champ induit sur X, et F0 la normalisation de FX. Alors, d’apr`es 1.22, on sait que F0 est une gerbe triviale sur X. Notons q : F0 −→ F la projection. Alors q∗F est un faisceau analytique coh´erent sur Fan
0 , qui est alg´ebrisable d’apr`es la premi`ere partie. Ecrivons Man ≃ q∗F
avec M un faisceau coh´erent sur F0. On consid`ere le faisceau coh´erent sur Fan q∗(Man). Il est alg´ebrisable d’apr`es le lemme 5.11. De plus, par la formule de la projection, on a
q∗q∗F ≃ F ⊗OF an q∗(OFan )
Comme q est g´en´eriquement un changement de base par un revˆetement ´etale de l’espace de modules, on sait que q∗OF est g´en´eriquement iso-morphe `a Om
F. Cet isomorphisme g´en´erique donne lieu `a un diagramme de faisceaux coh´erents sur F
N u // v q∗OF Om F
o`u u et v sont des isomorphismes g´en´eriques. Consid´erons le diagramme obtenu sur Fan en tensorisant par F , et en compl´etant avec les noyaux et conoyaux 0 K 0 //K //N ⊗ F v u //q∗(OFan ) ⊗ F //C //0 Fm C 0
Comme u et v sont des isomorphismes sur un ouvert Zariski dense, on conclut que Ki et Ci ont un support de dimension strictement plus petit que d, et sont donc alg´ebrisables par r´ecurrence. De plus, on a vu que
q∗(OFan
) ⊗ F ≃ (q∗M)an
Ainsi, on en d´eduit que N ⊗ F est alg´ebrisable comme extension de fais-ceaux coh´erents alg´ebrisables. La colonne verticale nous dit alors que Fm est alg´ebrisable. On termine en remarquant par exemple, que F est le noyau du morphisme Fm −→ Fm, qui d´eplace les facteurs d’un cran vers la droite. 2
On d´eduit de ce th´eor`eme, les corollaires habituels.
Corollaire 5.13 Soit F un champ alg´ebrique propre. Alors le foncteur G 7→ Gan
induit une bijection entre les sous-champs alg´ebriques ferm´es de F , et les sous-champs analytiques ferm´es de Fan
Preuve: Le foncteur d’analytification induit une bijection entre les faisceaux coh´erents d’id´eaux de OF, et les faisceaux coh´erents d’id´eaux de OFan. 2
Corollaire 5.14 Soit F un champ alg´ebrique propre. Alors le foncteur G 7→ Gan
induit une ´equivalence de la cat´egorie homotopique des champs alg´ebriques finis et repr´esentables sur F , et celle des champs analytiques finis et repr´esentables sur Fan.
Preuve:En effet, le foncteur en question induit une ´equivalence entre la cat´egorie des faisceaux en OF-alg`ebres coh´erentes et celle des faisceaux en OFan-alg`ebres coh´erentes. 2
Corollaire 5.15 Soit F et G deux champs alg´ebriques propres. Alors le foncteur d’analytification induit un foncteur pleinement fid`ele de la cat´egorie homotopique des champs alg´ebriques propres, vers celle des champs analytiques.
Preuve: Il faut remarquer qu’un morphisme f : Fan −→ Gan
est d´etermin´e `a homotopie pr`es par son graphe γf : Fan −→ Fan× Gan