D´evissage des gerbes r´eductives

Bien que l’on ne sache pas d´emontrer de r´esultats analogues `a 2.15 pour le cas des champs d’Artin, il existe un r´esultat pour les gerbes born´ee par des groupes r´eductifs.

Rappelons que tout sch´ema constant tordu quasi-isotrivial sur un sch´ema normal, est isotrivial ( c’est un corollaire de [SGA 3 II, X 5.13] ) ( i.e. trivial apr`es un changement de base ´etale et fini ).

Soit X un espace alg´ebrique normal, et H −→ X un espace alg´ebrique en groupes r´eductifs ( [SGA 3 III, XIX 2.7] ). On se propose de ”cal-culer” G(F )Q, o`u F est une gerbe sur X born´ee par H.

Pour cela nous construisons l’espace des caract`eres de F . Sans perte de g´en´eralit´e on pourra supposer X connexe. Soit r le rang r´eductif de H. Notons Tmax(F ) le sous-champ ouvert et ferm´e de DF des sous-groupes de type multiplicatif de type Zr. Ainsi, Tmax(F ) est le ”champ des tores maximaux de F ”. Nous noterons X_F^∗,max = X_F^∗ ×_DF Tmax(F ).

Lemme 2.28 Le champ X_F^∗,max est une gerbe born´ee par H, sur un es-pace alg´ebrique MX_F^∗, tel que la projection naturelle

p : MX_F^∗ −→ X fasse de MX∗

F un espace constant tordu et quasi-isotrivial sur X ( [SGA 3 II, X 7] ).

De plus, pour tout point g´eom´etrique x de X, la fibre de p au-dessus de x s’identifie `a l’ensemble des caract`eres invariants par conjugaison, d’un tore maximal de Hx⊗ k(x)sp.

Preuve:Comme ceci est local sur Xet, il suffit de traiter le cas o`u F est une gerbe triviale born´ee par H. On peut aussi supposer que H admet un tore maximal T ֒→ H, diagonalisable sur X. Alors X<sub>F</sub><sup>∗,max</sup> est ´equivalent au quotient [(H/N (T)) × Zr/H] ( o`u N (T) est le normalisateur de T dans H ) ou encore au quotient [X × Zr/H], o`u H op`ere sur Zr par conjugaison `a travers l’identification

HomGp/X(T, Gm) ≃ Z^r 2

Th´eor`eme 2.29 Soit Z(H) le centre de H. Si la classe d´efinie par F dans H2

et(X, Z(H)) est de torsion, alors il existe un isomorphisme dans HoSp

ψ_F : G(F )Q≃ G(MX_F^∗)Q

Preuve: Le principe de la d´emonstration consiste a construire f : Y −→ X, une normalisation de X dans une extension galoisienne de K(X). Alors d’apr`es le th´eor`eme de descente on a

f^∗ : G(F )Q≃ G(FY)^Gal_Q

o`u Gal est le groupe de galois de Y sur X, et FY = F ×X Y . De plus, comme le carr´e suivant est cart´esien

Y ^f //X Tmax(FY) OO //Tmax(F ) OO on a aussi f^∗ : G(MX_F^∗)Q ≃ G(MX_(F^∗ _Y))^Gal_Q

On construira alors ψ_F `a l’aide de ψ_FY et du carr´e commutatif G(F )Q f∗  ψF //G(MX∗ F)Q f∗  G(FY)_{Q ψ} FY //G(MX^∗(FY))Q

Il suffira pour cela de v´erifier que la construction est compatible avec les changements de bases ´etales.

Comme X est normal, il existe un revˆetement galoisien Y −→ X, tel que le sch´ema en groupes OutX(H), soit constant sur Y ( [SGA 3 III, XXIV 4.16] et [SGA 3 III, XXIV 1.3 (ii)] ). Par l’argument ci-dessus,

on peut donc supposer que le sch´ema des automorphismes ext´erieurs, Out_X(H) est constant sur X.

Soit Z(H) le centre de H. Comme H est r´eductif, alors Z(H) est un groupe de type multiplicatif de type fini. Or comme X est normal, il existe un revˆetement galoisien Y −→ X, tel que la restriction de Z(H) sur Y soit le produit direct d’un tore d´eploy´e et d’un groupe constant fini. On peut donc aussi supposer que Z(H) ≃ (Gm/X)r× Z, avec Z un groupe fini.

Soit a ∈ H1(Xet, OutX(H)) le lien de F ( [S2] ). Comme OutX(H) est constant et X normal, toute classe dans H1(Xet, OutX(H)) devient triviale apr`es un revˆetement galoisien Y −→ X. Ainsi, on peut sup-poser que F est d´etermin´ee par sa classe b ∈ H2(Xet, Z(H)) ( [S2] ), qui est de torsion par hypoth`ese. Elle provient donc d’un ´el´ement dans H2

et(Xet, µr

n× Z), correspondant `a une gerbe de groupe µn

n× Z sur X_et. Etant un champ de Deligne Mumford, on sait qu’il existe un revˆetement ramifi´e galoisien Y −→ X, qui la trivialise. Ainsi, on peut supposer que F ≃ X × BH.

Enfin, comme H est r´eductif sur X, qui est normal, le th´eor`eme d’isotrivialit´e ( [SGA 3 III, XXIV 4.16] ), permet de se ramener au cas o`u H admet un tore maximal d´eploy´e sur H, que nous noterons alors T֒→ H, et M son groupe des caract`eres.

Construisons un morphisme

χ : G(F ) −→ G(X × M)^W

o`u W est le groupe de Weil de T. On proc`ede de la fa¸con suivante. En choisissant une section de F −→ M, on peut identifier F `a un quotient [M/H], et donc Coh(F ) `a la cat´egorie des faisceaux coh´erents sur M munis d’une action de H. Nous noterons Coh(M, H) cette cat´egorie. Par restriction, on dispose d’un foncteur exact

Res : Coh(M, H) −→ Coh(M, T)

De plus le groupe W op`ere par automorphismes int´erieurs sur T, et donc sur la cat´egorie Coh(M, T). Le foncteur de restriction Res de-vient alors une pseudo-transformation naturelle de W -pseudo-foncteurs, Coh(M, H) ´etant vu comme un diagramme trivial. Par les proc´ed´es de strictification 6.3, on en d´eduit un morphisme de spectres de K-th´eorie

G(F ) −→ holim_WG(BT × X) =: G(BT × X)W

Or, on sait que la cat´egorie Coh(BT × X) est canoniquement ´equivalent `a la cat´egorie L

MCoh(X). Ainsi, on a des isomorphismes canoniques dans HoSp

G(BT × X)^W ≃ (_

M

Mais, on sait que le morphisme r : X × M −→ (X × M)/W = MX_F^∗ induit un isomorphisme

r^∗ : G(MX_F^∗)Q ≃ G(X × M)^W_Q Ainsi, on a construit le morphisme cherch´e

ψF : G(F )Q −→ G(MX_F^∗)Q

Par construction, ce morphisme est clairement compatible aux change-ments de base ´etales sur X. Ainsi, l’existence de ψF est d´emontr´ee. Pour voir que c’est une ´equivalence faible, une localisation sur Xet ( 2.4 ), permet de se ramener au cas o`u F est triviale, et H poss`ede un tore maximal d´eploy´e. On utilise alors une localisation sur X ( 2.2 ), et un raisonnement par r´ecurrence noeth´erienne, pour ce ramener au cas o`u X = Speck, le spectre d’un corps. Par une autre application de la de-scente ( 2.4 ), on peut aussi supposer que k est s´eparablement clos. Et comme une extension purement ins´eparable induit un isomorphisme en G-th´eorie rationnelle, on peut mˆeme supposer que k est alg´ebriquement clos.

Alors, la cat´egorie Coh(F ) est semi-simple, car H est r´eductif. De plus, comme k est alg´ebriquement clos, l’anneau des endomorphismes d’un objet simple est isomorphe `a k. On sait alors que

G(F )Q≃ _

S(Coh(F ))

G(Speck)Q

o`u S(Coh(F )) est l’ensemble des classes d’isomorphie d’objets simples de Coh(F ). Ceci implique, que le morphisme de Kunneth

G_(F ) ⊗ Gq(Speck) −→ Gq(F ) est un isomorphisme. On se ram`ene donc `a d´emontrer que

ch : G_(F )Q −→ Q[M]W

x 7→ ch(x)

qui `a une repr´esentation associe son caract`ere, est un isomorphisme. Ce qui est bien connu. 2

Remarquons que l’hypoth`ese concernant la torsion de l’´el´ement dans H2

et(X, Z(H)), est de torsion est v´erifi´ee lorsque X est lisse, on encore lorsque H est semi-simple.

3 Chapitre 3 : Cohomologie `a coefficients dans les

caract`eres et th´eor`emes de

Grothendieck-Riemann-Roch

Ce chapitre est consacr´e aux th´eor`emes de Riemann-Roch. On y d´emontre essentiellement deux types de formules, les formules de type Lefschetz-Riemann-Roch, et celles de type Grothendieck-Riemann-Roch. Dans le premier cas ( 3.16, 3.25 ), ces formules explicitent le com-portement des morphismes de d´evissage ( 2.15, 2.23, 2.27 ), par rapport aux images directes. Lorsque le champ est un quotient d’un sch´ema par un automorphisme d’ordre fini, nous retrouvons la formule de Lefschetz-Riemann-Roch de [B-F-M]. Plus g´en´eralement, si le champ est un quo-tient par un sch´ema en groupes affine, nous retrouvons la formule des traces de Lefschetz pour les faisceaux coh´erents d´emontr´ee dans [Th3, 6.4]. Remarquons que lorsque l’on applique ces formules `a des sch´emas, on trouve que l’identit´e commute avec les images directes, ce qui n’est pas une grande d´ecouverte.

Les formules de Grothendieck-Riemann-Roch ( 3.21, 3.33 ), quant `a elles, explicitent le comportement du caract`ere de Chern en K-cohomologie par rapport aux images directes. Dans le cas o`u on les applique `a des sch´emas, on retrouve les formules de Grothendieck-Riemann-Roch d´emontr´ees dans [G, 4.1]. Cependant, appliqu´ees au morphisme struc-tural d’un champ alg´ebrique sur un corps, elles ne donnent pas de formule de Hirzebruch-Riemann-Roch.

On peut alors dire que le cas le plus int´eressant est lorsque l’on com-pose les formules de Grothendieck-Riemann-Roch, avec celles de Lefschetz-Riemann-Roch. On obtient, dans ce cas, le th´eor`eme de Grothendieck-Riemann-Roch sous sa forme finale ( 3.23, 3.36, 3.37 ), qui permet de calculer des caract´eristiques d’Euler de faisceaux coh´erents, au moins dans le cas des champs de Deligne-Mumford.

Notons que nous n’avons r´eussi `a d´emontrer les th´eor`emes de Riemann-Roch pour des morphismes non-repr´esentables de champs alg´ebriques d’Artin, que dans le cas des champs qui admettent des quotients g´eom´etriques uniformes. Cette restriction nous est impos´ee par le manque de r´esultats concernant les quasi-enveloppes de Chow de morphismes propres, ana-logues `a 1.21 ( mais dans un cadre relatif ).

Notons aussi que le th´eor`eme de Riemann-Roch est d´emontr´e en toute g´en´eralit´e en utilisant la cohomologie `a coefficients dans les repr´esentations, et non celle `a coefficients dans les caract`eres. Il se trouve que cette derni`ere n’est pas bien adapt´ee au cas des morphismes non repr´esentables, et que le th´eor`eme serait faux, mˆeme pour les cas les plus simples.

Bien que cela multiplie les notations et les ´enonc´es nous avons tenu `a donner les formules pr´ec´edentes s´epar´ement avant de les composer, car les

deux formules nous semblent s´epar´ement int´eressantes. Le lecteur pourra se convaincre par exemple de l’utilit´e de la formule de Grothendieck-Riemann-Roch en K-cohomologie dans l’´etude de la topologie orbifold des champs de Deligne-Mumford ( 3.44 ).

3.1 Cohomologie des champs alg´ebriques

Nous commencerons ce chapitre par des pr´eliminaires sur la coho-mologie des champs alg´ebriques. Cela nous semble n´ecessaire, car nous ne savons d´efinir des images directes que sous certaines hypoth`eses con-cernant la th´eorie cohomologique utilis´ee. Nous expliciterons donc de quelles propri´et´es nous avons besoin, et donnerons deux exemples de th´eorie cohomologique v´erifiant ces hypoth`eses.

On supposera, sauf exception au paragraphe 3.2.3, que S = Speck, avec k un corps.