3.1 L’algorithme de viabilit´e de Saint-Pierre
3.1.2 Th´eor`emes de convergence des approximations par des noyaux de
Saint-Pierre (1994) pose tout d’abord le probl`eme de l’approximation par des noyaux de viabilit´e de syst`emes dynamiques discrets obtenus par des sch´emas de discr´etisation [79]. Dans le sch´ema de discr´etisation d’Euler, par exemple, pour un ρ > 0 fix´e, `a l’inclusion diff´erentielle continue (3.1) est associ´e le sch´ema discret :
( xn+1−xn
ρ ∈ F(xn) pour toutn≥1,
x0 = x0 ∈K. (3.2)
SoitGρla correspondance d´efinie parGρ= 1 +ρF, le syst`eme (3.2) peut ˆetre r´e´ecrit : xn+1 ∈Gρ(xn)pour toutn ≥0. (3.3) Le noyau de viabilit´e discret deK pourGρ, dynamique discr`ete, est d´efini comme le noyau de viabilit´e continu et not´e ViabGρ(K).
Les d´efinitions de convergence d’ensembles utilis´ees sont celles de Painlev´e-Kuratowski. SoitA(s)des sous-ensembles deRnparam´etr´es pars∈S o`uSest un espace m´etrique :
D´efinition 3.1.2.1 La limite sup´erieure deA(s)lorsques →¯sest l’ensemble
{x∈Rn|lim inf
s→¯s dA(s)(x) = 0}.
Cette limite sup´erieure est not´ee Limsup
s→¯s
A(s).
D´efinition 3.1.2.2 La limite inf´erieure deA(s)lorsques→¯sest l’ensemble
{x∈Rn|lim
s→¯sdA(s)(x) = 0}.
Cette limite inf´erieure est not´ee Liminf
s→s¯
A(s).
2Une correspondance non triviale F : X X est Marchaud si F est semi-continue sup´erieurement, `a valeurs non vides, convexes, compactes et `a croissance lin´eaire.
CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 52
D´efinition 3.1.2.3 Lorsque les limites sup´erieure et inf´erieure deA(s)co¨ıncident,A(s) pos-s`ede une limite lorsques→s¯not´ee Lim
s→¯s
A(s).
Nous supposons queF est une correspondance born´ee :
∃M ≥0,∀x∈X,∀y ∈F(x),||y|| ≤M. (3.4)
Pour toutρ >0, soitFρune approximation deF satisfaisant les conditions suivantes :
Fρ :X X est semi-continue sup´erieurement, `a valeurs non vides, convexes et compactes (3.5) Graph(Fρ)⊂Graph(F) +φ(ρ)Bavec lim
ρ→0φ(ρ) = 0+, (3.6)
∀x∈X, [
||y−x||≤M ρ
F(y)⊂Fρ(x). (3.7)
Soit Kρ une suite, ´eventuellement constante, de sous-ensembles de X telle que K = Limsup
ρ>0
Kρ.
SoitΓρ =1+ρFρ. L’ensemble ViabΓρ(Kρ)est le noyau de viabilit´e discret deKρpour
Γρ. LorsqueF est Marchaud et Fρ v´erifie (3.5), (3.6) et (3.7), la limite quand ρtend vers 0 des noyaux de viabilit´e ViabΓρ(Kρ)est ´egale au noyau de viabilit´e de K pour la dynamique continueF :
Theor`eme 3.1.2.1 SoientF une correspondance Marchaud born´ee parM etKun ensemble ferm´e. SoitFρune approximation deF v´erifiant (3.5), (3.6) et (3.7) etΓρ:=1+ρFρ. Alors, pour toutρ >0,
ViabF(K)⊂ViabΓρ(Kρ)
et
Lim
ρ→0
ViabΓρ(Kρ) =ViabF(K)
Remarque — La d´emonstration de l’inclusion Limsup
ρ→0
ViabΓρ(Kρ) ⊂ ViabF(K)
utilise les hypoth`eses (3.5) et (3.6) et le th´eor`eme d’Ascoli-Mazur. La convexit´e des images est cruciale. L’inclusion ViabF(K)⊂ViabΓρ(Kρ)est une cons´equence de l’hypoth`ese (3.7).
LorsqueF est Lipschitz, il existe une suite particuli`ereΓρv´erifiant les conditions (3.5) et (3.6) et telle que la limite des noyaux discrets soit ´egale au noyau continu :
CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 53
Theor`eme 3.1.2.2 Soient F une correspondance Marchaud et l-Lipschitz et K un sous-ensemble ferm´e deXtel queM := supx∈Ksupy∈F(x)kyk<+∞.
Consid´eronsFρ:=F + M l2 ρBetΓρ:= 1 +ρFρ, alors,
Lim
ρ→0
ViabΓρ(K) = ViabF(K). (3.8)
Nous ajoutons la proposition suivante qui est une version locale du th´eor`eme de Saint-Pierre (1994) :
Theor`eme 3.1.2.3 SoientF une correspondance Marchaud born´ee parM et l-Lipschitz et
K un sous-ensemble ferm´e deX. Soitα >0etM, l:X →R+telles que
∀x∈K,∀x0 ∈ B(x, α) sup
y∈F(x0)
kyk ≤M(x) (3.9)
et
F(x0)⊂F(x) +l(x)kx0−xkB. (3.10)
Soitρ >0, tel que
ρM ≤α . (3.11) Consid´eronsFρ(x) :=F(x) + M(x2)l(x)ρBetΓρ := 1 +ρFρ, alors, Lim ρ→0 ViabΓρ(K) = ViabF(K). (3.12)
Preuve — Fρsatisfait (3.5) et (3.6) avecφ(ρ)≤M lρ. Par cons´equent,
Limsup
ρ→0
ViabΓρ(K)⊂ViabF(K).
Montrons maintenant que ViabF(K) ⊂ ViabΓρ(K). Soit x0 ∈ ViabF(K). Soit x(.) une ´evolution viable issue dex0. Soitρtel queM ρ≤α. Posonsxn:=x(nρ).
xn+1−xn = x(nρ+ρ)−x(nρ) = Rρ 0 x0(nρ+τ)dτ (3.13) Or, x0(nρ+τ)∈F(x(nρ+τ)) et x(nρ+τ)−x(nρ) = Z τ 0 x0(nρ+σ)dσ (3.14)
CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 54 avec x0(nρ+σ)∈F(x(nρ+σ)) et kF(x(nρ+σ))k ≤M donc, |x(nρ+τ)−x(nρ)| ≤ M τ ≤M ρ≤α , (3.15) d’apr`es la condition (3.11).
Ainsi, d’apr`es les d´efinitions (3.9) et (3.10),
F(x(nρ+τ)) ⊂ F(x(nρ)) +l(x(nρ))|x(nρ+τ)−x(nρ)| ⊂ F(x(nρ)) +l(x(nρ))M(x(nρ))τB. (3.16) D’o`u, xn+1−xn∈ρF(x(nρ)) +l(x(nρ))M(x(nρ))ρ 2 2B, (3.17) Ainsi xn+1 ∈ Γρ(xn) et comme l’´evolution x(.) est viable, ∀n ≥ 0, xn ∈ K et x0 ∈ ViabΓρ(K). —
3.1.3 Th´eor`emes de convergence des approximations par des noyaux de
viabilit´e de syst`emes dynamiques discrets finis
`
A touth∈IR, Saint-Pierre associeXhun ensemble d´enombrable de parties deXtel que :
∀x∈X, ∃xh ∈Xh tel que d(x, xh)≤α(h) (3.18)
avec
lim
h→0α(h) = 0. (3.19)
L’ensembleXh est appel´e grille. Cette grille peut ˆetre un ensemble de points ou une famille d’intervalles ou de courbes d´efinies analytiquement. Dans la suite, nous consid´erons queXh est une grille de points.
SoitGh :Xh → Xh une correspondance finie et un sous-ensemble Kh ⊂Dom(Gh). Le syst`eme dynamique discret fini associ´e `aGhest :
xnh+1 ∈Gh(xnh)pour toutn≥0. (3.20)
CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 55
SoientF est une correspondance Marchaud,(Fρ)ρune famille de correspondances v´eri-fiant les conditions (3.5), (3.6) et (3.7) etΓρ:= 1 +ρFρ.
Soit Γρ,h := Xh Xh une famille de correspondances finies `a valeurs non vides telle que pour toutρ >0et pour touth >0:
Graph(Γρ,h)⊂Graph(Γρ) +ψ(ρ, h)Bavec lim
ρ→0,hρ→0 ψ(ρ, h) ρ = 0 + , (3.21) ∀xh ∈Xh, [ ||y−xh||≤α(h) [Γρ(y) +α(h)B]∩Xh ⊂Γρ,h(xh). (3.22)
SoitKun sous-ensemble ferm´e deX etKh sa projection sur la grilleXh d´efinie par
Kh := (K +α(h)B)∩Xh
.
L’ensemble ViabΓρ,h(Kh)est le noyau de viabilit´e discret fini de Kh pourΓρ,h. Lorsque F est Marchaud,Fρv´erifie (3.5), (3.6) et (3.7) etΓρ,hv´erifie (3.21) et (3.22), la limite quand ρet hρ tendent vers 0 des noyaux de viabilit´e ViabΓρ,h(Kh)est ´egale au noyau de viabilit´e de K pour la dynamique continueF :
Theor`eme 3.1.3.1 SoitF une correspondance Marchaud.
SoitFρune approximation deF v´erifiant (3.5), (3.6) et (3.7) etΓρ:=1+ρFρ. SoitΓρ,h une approximation deΓρv´erifiant (3.21) et (3.22).
SoitK un ensemble ferm´e etKh := (K+α(h)B)∩Xh.
Alors, pour toutρ >0,
ViabF(K)⊂ViabΓρ,h(Kh) +α(h)B
et
Lim
ρ→0,hρ→0
ViabΓρ,h(Kh) = ViabF(K)
LorsqueF est Lipschitz et que(Xh)h∈R+ est une suite de grilles deX, Saint-Pierre (1994) a montr´e qu’une suite particuli`ere de correspondances finies, Γρ,h est telle que la limite des noyaux de viabilit´e discrets finis est ´egale au noyau de viabilit´e du syst`eme continu :
Theor`eme 3.1.3.2 Soit F : X X une correspondance Marchaud et l-Lipschitz, K un sous-ensemble ferm´e de Dom(F)satisfaisantM := supx∈Ksupy∈F(x)kyk<∞.
CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 56
SoitΓρ:=1+ρF + M l
2 ρ2Betk:= 1 +ρl.
SupposonsM etlsont non nuls et queρethsont choisis tels que :
α(h)≤ M l 2 ρ 2 . (3.23) SoientΓkM lρ2 ρ :X →XetΓkM lρρh 2 :Xh →Xh tels que : ΓkM lρρ 2(x) := Γρ(x) +kM lρ2B ΓkM lρρh 2(xh) := ΓkM lρρ 2(xh)∩Xh. SoitKhM lρ2 := (K+M lρ2B)∩Xh, alors, ViabF(K) = Lim ρ,h→0 (ViabΓρ(K) +α(h)B)∩Xh (3.24) et ViabF(K) = Lim ρ,h→0 Viab ΓkM lρρh 2(KhM lρ2). (3.25)