Remplacer le tableau de points par une structure plus ´econome en

Motivations

`

A grille fix´ee, le calcul du noyau de viabilit´e du syst`eme dynamique discret fini est it´eratif (3.27) : le sous-ensemble finiK<sub>h</sub><sup>n+1</sup> deXh obtenu `a l’´etapen+ 1d´epend du sous-ensemble finiK_hⁿcalcul´e `a l’´etape pr´ec´edente. Le programme construit et m´emorise une structure qui

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 61

repr´esente le sous-ensemble fini de X_h initialK0

h. Puis, `a chaque ´etape, il modifie ce sous-ensemble en retirant certains points selon la r`egle d´ecrite par (3.27).

Lors du raffinement, pour passer d’une grille de pas h `a une grille de pas h/2 (3.28), le programme fait ´evoluer cette structure en ajoutant de nouveaux ´el´ements `a la grille grossi`ere. Le programme actuel d´evelopp´e par Patrick Saint-Pierre permet de calculer des noyaux de viabilit´e en dimension 2 ou 3. Pour repr´esenter un sous-ensemble deX<sub>h</sub>, il utilise un tableau de dimension 2 ou 3 de bool´eens pour indiquer si un point de la grille r´eguli`ere appartient ou non au sous-ensemble. Nous avons d´efini et impl´ement´e une structure plus ´econome en m´emoire, adapt´ee `a la dimensionn,n ´etant bien sˆur born´e en pratique par la taille m´emoire du syst`eme sur lequel le programme est utilis´e.

Dans le programme d´evelopp´e par Saint-Pierre, le nombre de case par dimension du tableau est ´egal `a la pr´ecision maximale demand´ee d`es l’initialisation. Nous proposons une structure qui permet une allocation dynamique de la m´emoire.

La repr´esentation des sous-ensembles deXh

La grilleX_h est d´efinie parX_h :=h∗_Zn. SoitDun sous-ensemble fini deX_h. Pour tout i= 1, . . . , n, posonsA:= (a₁h, . . . , a_nh)∈X_havec a_ih= min (d1,...,dn)∈D(d_i) etB := (b1h, . . . , bnh)∈Xh avec bih= max (d1,...,dn)∈D(di), alors D ⊂ ({A}+h∗(_Zⁿ)⁺)∩({B}+h∗(_Zⁿ)⁻) ⊂ {A}+h∗M ^(3.32) avecM = Qn

i=1{0,1, . . . , c_i}et c_i = b_i −a_i. SoitD_M ⊂ M tel queD = {A}+h∗D_M, D_M est isomorphe `aD.

Les noyaux de viabilit´e ne sont pas convexes a priori. Nous avons n´eanmoins constat´e que, pour la plupart des noyaux de viabilit´e discrets finis calcul´es dans des travaux existants⁵, il existe des directions j ∈ {1, . . . , n} telles que les ensembles (ViabF(K) ∩T

i6=j{x_i =

x0

i})_x0∈_Rn poss`edent moins de deux composantes connexes. En particulier, il existe une di-rection pour laquelle ces ensembles ont une seule composante connexe lorsque le noyau est

5Voir [87, Doyen et Saint-Pierre (1997)][81, Aubinet al.(2001)][93, Martin (2004)][94, Bonneuil et Saint-Pierre (2005)].

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´egal `a l’´epigraphe ou `a l’hypographe d’une fonction6. Partant de cette constatation, nous avons choisi d’impl´ementer une structure hybride pour repr´esenter D_M ⊂ M, l’une des coordonn´ees ´etant trait´ee diff´eremment des n −1 autres : une suite de d´ebuts et fins d’in-tervalles est m´emoris´ee, ces ind’in-tervalles concernent la derni`ere coordonn´ee et `a chaque valeur

(m₁, . . . , mn−1)desn−1premi`eres coordonn´ees correspond une sous-suite de bornes d’in-tervalles repr´esentantD_M ∩T

i=0,...,n−1{l_i =m_i}.

Lesn−1premi`eres coordonn´ees. SoitMⁿ⁻1 = Qn−1

i=1{0,1, . . . , c_i} ⊂ _Nn−1. Pour traiter les n −1 dimensions de fac¸on similaire, nous avons choisi comme ´el´ement de base l’hypercube de dimensionn−1,Hn−1 :={0,1}n−1.

Soitmⁿ⁻1 ∈Mⁿ⁻1, l’application qui `amⁿ⁻1 = (m₁, . . . , m_n−1)associe

((p₁, . . . , p_n−1),(q₁, . . . , q_n−1))

avec

p_i := E(^mi

2 )

q_i := m_i−2p_i ^(3.33) est injective (Ed´esigne la partie enti`ere).

Les scalairesp_i d´eterminent le num´ero n_c de l’hypercube auquel mⁿ⁻1 ∈ Mⁿ⁻1 est associ´e (Fig.3.4) : n_c = n−2 X j=1 (p_j ∗ n−1 Y k=j+1 (E(^ck 2^{) + 1)) +pn−1+ 1,}

et les scalairesq_i le num´ero,n_s, du sommet de l’hypercube num´eron_c correspondant `amⁿ⁻¹ (Fig.3.5) : n_s = n−1 X j=1 q_j ∗2^n−1−j.

La derni`ere coordonn´ee. Soitm := (m<sub>1</sub>, . . . , m<sub>n</sub>)appartenant `aM.

Les coordonn´ees (m1, . . . , mn−1) de m ´etant fix´ees, lorsque mn varie de 0 `a cn, m parcourt l’ensemble

M ∩ ^\

i=0,...,n−1

{l_i =m_i}.

Si le chiffre 0 est associ´e au casm /∈D_M et le chiffre 1 au cas contrairem∈D_M, l’in-formation `a m´emoriser est une suite appartenant `a{0,1}cn+1. Partant de la constatation d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent concernant le faible nombre de composantes connexes dans une telle suite, nous avons choisi d’utiliser comme codage les nombres de 0 et de 1 cons´ecutifs.

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 63

FIG. 3.4 – Recouvrement deM3par des cubes.

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 64

Par exemple, la suite 000001111111111111110000110000 est cod´ee par les quatre nombres 5,15,4,2. Dans ce cas, le codage que nous proposons n’est pas avantageux, cependant, lorsque la longueur de la suite augmente tout en ayant peu de composantes connexes, il le devient.

Pour coder une suite de(c_n+ 1)0 ou 1, – il faut c_n + 1 bits7 ou E(^cn+1

8 ) + 1 octets8 (E d´esigne la partie enti`ere) en codant successivement chaque ´el´ement de la suite,

– dans le codage que nous proposons, nous comptons le nombre de 0 cons´ecutifs,n1 0, le nombre de 1 cons´ecutifs,n1

1,...,nS

0,nS

1, avecS nombre de composantes connexes de l’ensemble des 1. Chacun desni

0etni

1est major´e parc_n+ 1, son codage en base 2 n´ecessite au plusE(log₂(c_n+1)+1)bits. Le codage complet utilise, par cons´equent, E(log₂(c_n) + 1)∗2∗Sbits soit

E(^{E(log2(cn) + 1)}∗2∗S

8 ^{) + 1}

octets.

FIG. 3.6 – Nombre d’octets n´ecessaires au codage en fonction de la longueur de la suite avec une ´echelle logarithmique. En pointill´es rouges, le codage classique. En courbes pleines noires, le codage que nous proposons : chaque courbe correspond `a une valeur du nombre de composantes connexes de l’ensemble des 1.

La figure3.6montre que pour des valeurs faibles du nombre de composantes connexes, le codage que nous proposons n´ecessite moins de taille m´emoire d`es que la longueur de la suite augmente.

7Le bit repr´esente la plus petite unit´e de m´emoire utilisable sur un ordinateur. Cette m´emoire ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1.

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 65

Repr´esentation sch´ematique de la structure en dimension n (Fig.3.7)

Le nombre d’hypercubes est li´e auxci par la formule :N = Qn−1

j=1 E(^cj

2) + 1. La longueur des chaˆınes binaires vautL=cn+ 1.

FIG. 3.7 – Sch´ema de la structure en dimensionn. .

Les op´erations sur les sous-ensembles deXhn´ecessaires `a la r´ealisation de l’algorithme

`

A l’´etapen+ 1de l’algorithme, certains pointsxdeKn

h sont retir´es si G(x)∩K_hⁿ =∅.

Deux proc´edures sont n´ecessaires : une proc´edure de test d’appartenance `aKn

h et une proc´edure de retrait d’un point.

Quant `a l’op´eration de raffinement, elle utilise la mˆeme proc´edure dans lesn−1premi`eres dimensions, d’o`u l’int´erˆet de l’agencement `a base d’hypercube de dimensionn−1. Une autre proc´edure r´ealise le raffinement dans la derni`ere dimension.

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 66

Cette proc´edure doit renvoyer le label associ´e `a un point m = (m1, . . . mn) ∈ M : 1 si le point appartient `aDM, 0 sinon.

Comme d´ecrit dans le paragraphe pr´ec´edent, la proc´edure utilise lesn−1premi`eres coor-donn´ees pour d´eterminer le num´ero de l’hypercube auquel le point appartient, puis le num´ero du sommet de l’hypercube sur lequel le point est situ´e. Enfin, le(m<sub>n</sub>+ 1)<sup>eme`</sup> bit de la chaˆıne binaire associ´ee `a ce sommet est ´egal au label dem.

Proc´edure de retrait d’un point

Retirer un point m ´equivaut `a modifier son label de 1 `a 0. Comme dans la proc´edure pr´e-c´edente, lesn−1premi`eres coordonn´ees de m permettent de d´eterminer la chaˆıne binaire `a l’int´erieur de laquelle le label dem est cod´e. Le(m_n+ 1)`eme bit de cette chaˆıne doit ˆetre modifi´e de 1 `a 0. Il faut distinguer deux cas :

– si la modification du 1 en 0 ne change pas le nombre de composantes connexes, la modification du code ne porte que sur deux nombres.

Par exemple, la chaˆıne 00011110011100 est cod´ee par 3,4,2,3. La chaˆıne obtenue en remplac¸ant le premier 1 (soulign´e) par 0 est cod´ee par 4,3,2,3.

– si la modification de ce 1 en 0 augmente de 1 le nombre de composantes connexes, deux nombres du code sont modifi´es et deux sont ajout´es. Par exemple, la chaˆıne 00011110011100 est cod´ee par 3,4,2,3. La chaˆıne obtenue en remplac¸ant le deuxi`eme 1 (soulign´e) par 0 est cod´ee par 3,1,1,2,2,3.

Proc´edure de raffinement

SoitDun sous-ensemble fini deX_h, la proc´edure de raffinement construit une repr´esentation de l’ensemble[D+α(h)B]sur la grilleXh

2 := ^h₂ ∗_Zn. Cette op´eration est n´ecessaire pour appliquer le principe de raffinement (3.31). Concr`etement, les labels des points qui apparte-naient `a la grille plus grossi`ere ne sont pas modifi´es, les labels des nouveaux sont d´eduits de ceux des anciens suivant la r`egle : le label d’un nouveau point vaut 0 si tous ses points voisins (distance en norme du sup≤ h

2) ont le label 0, et 1 sinon.

Les n−1 premi`eres dimensions se traitent de fac¸on identique. Il faut dans chacune de ces dimensions d´edoubler chacun des hypercubes qui paventM<sup>n−</sup>1 comme illustr´e dans la figure3.8 pour des hypercubes de dimension 3. Les chaˆınes binaires associ´ees aux sommets des hypercubes qui appartenaient `a la grille plus grossi`ere ne sont pas modifi´es, les chaˆınes binaires associ´ees aux nouveaux sommets sont d´eduites des chaˆınes binaires associ´ees aux anciens sommets en respectant la r`egle ´enonc´ee au paragraphe pr´ec´edent. La figure3.9illustre les chaˆınes binaires `a conserver et celles `a cr´eer lorsque les hypercubes sont de dimension 3. Dans le cas g´en´eral, lorsque la dimension de l’espace des ´etats estn, les hypercubes sont alors de dimensionn−1, les intuitions issues du cas particulier de la dimension 4 se g´en´eralisent

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 67

FIG. 3.8 – D´edoublement des hypercubes de dimension 3 successivement dans les trois di-mensions. Le nombre de cubes est multipli´e par2³.

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 68

FIG. 3.9 – D´edoublement des hypercubes de dimension 3 dans la directionj. Repr´esent´es par des carr´es peins, les sommets dont les chaˆınes binaires associ´ees sont conserv´ees, en carr´es vides, ceux dont les chaˆınes binaires associ´ees doivent ˆetre cr´e´ees.

ais´ement. Nous d´efinissons la r´eunion de deux chaˆınes binaires :

D´efinition 3.2.1.1 La r´eunion de deux chaˆınes binaires est la chaˆıne binaire dont chaque bit est ´egal au maximum des bits de mˆeme rang de chacune des deux chaˆınes.

Lors d’un raffinement dans la dimensionj ∈ {1, . . . , n−1}, chaque hypercubeH se scinde en deux hypercubesh₁eth₂comme illustr´e dans la figure3.9.

– Pour calculer les chaˆınes binaires associ´ees aux sommets deh₁, les chaˆınes binaires de Hsuffisent.

– Les sommets deh₁ repr´esent´es par des carr´es pleins correspondent aux sommets de H, les chaˆınes associ´ees sont donc ´egales `a celles des sommets deH.

– Les sommets deh₁ repr´esent´es par des carr´es vides ne correspondent `a aucun som-met deH. La chaˆıne binaire associ´ee est la r´eunion des deux chaˆınes binaires as-soci´ees `a deux sommets deH. Par exemple, la chaˆıne binaire associ´ee au sommets₁ deh1 est la r´eunion des chaˆınes binaires associ´ees aux sommetsSetS^ˆdeH. – Pour calculer les chaˆınes binaires associ´ees aux sommets de h2, il faut connaˆıtre les

chaˆınes associ´ees aux sommets deHet deH^¯ hypercube image deH par la translation de vecteur nul sur toutes les composantes sauf laj^`emequi vaut 2.

CHAPITRE 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL DE NOYAUX DE VIABILIT ´E 69

H, les chaˆınes associ´ees sont donc ´egales `a celles des sommets deH.

– Les sommets deh₂ repr´esent´es par des carr´es vides ne correspondent `a aucun som-met deH. La chaˆıne associ´ee est la r´eunion de deux chaˆınes binaires, l’une associ´ee `a un sommet deH et l’autre `a un sommet deH. Par exemple, la chaˆıne binaire as-^¯ soci´ee au sommets₂ deh₂ est la r´eunion des chaˆınes binaires associ´ees au sommet

ˆ

Sde H etS^¯deH.^¯

Dans la neme` dimension, le raffinement correspond `a une op´eration sur des chaˆınes bi-naires. Par exemple, apr`es raffinement, la chaˆıne 00011110011100 devient

0000011111111100011111110000 et son code 3,4,2,3 devient 5,9,3,7. De mani`ere g´en´erale, le code. . . n^j₀, n^j₁. . .devient. . .(2∗n1

0−1),(2∗n1

1+ 1). . ..

Le raffinement consiste `a effectuer les proc´edures de raffinement dans chacune des n directions. Le r´esultat ne d´epend pas de l’ordre dans lequel ces op´erations sont effectu´ees.

La structure que nous avons impl´ement´ee permet une repr´esentation des ensembles finis deXh plus ´econome en m´emoire qu’un tableau de points, et une allocation dynamique de la m´emoire lors du raffinement en particulier. Elle permet ´egalement d’effectuer rapidement les op´erations sur ces ensembles n´ecessaires aux calculs de noyaux discrets finis, tests d’appar-tenance et retraits de points, et au raffinement.

Ces tests d’appartenance concernent les successeurs des points par la dynamique discr`ete. L’ordre dans lequel ces tests sont effectu´es peut ´egalement permettre de gagner du temps.