Th´ eor` eme ergodique

D´efinition 5.1.1 Une transformationT : (Ω,A)→(Ω,A) d´efinie sur l’espace probabilis´e(Ω,A,P) est dite bijective bimesurable etP-invariante si elle est bi-jective, mesurable, d’inverse mesurable et si P(T(A)) =P(A)pour toutA∈ A.

On note I = {A ∈ A / T(A) = A} la sous-tribu de A form´ee des ´el´ements invariants parT. Une transformation est ergodique si, de plus, A∈ I implique P(A) = 0 ou1.

Remarquons queI ={A∈ A/ T(A) =A}est une sous-tribu de A.

Lien avec les processus stationnaires. Soit X = (Xn)_n∈Z un processus r´eel stationnaire d´efini sur l’espace probabilis´e (Ω,A,P). Alors la loi imagePX

est une probabilit´e sur R^Z,B(R^Z)

. La tribu B(R^Z) est celle engendr´ee par les pav´es ´el´ementairesA=Q

k∈ZAko`uAk=Rsauf pour un ensemble fini d’indices k.

La transformationT d´efinie parT(x)i= (xi+1) pourx= (xi)i∈Zv´erifieT(A) = Q

k∈ZAk+1, elle est bijective, bimesurable etP-invariante ; on l’appelle op´erateur de d´ecalage.

On noteJ =X⁻¹(I), la tribu image deI parX.

LorsqueT est ergodique,i.e.P(A) = 0 ou 1 quandA∈ J on dit que le processus X = (X_n)_n∈Z est ergodique.

Ce cadre sera celui dans lequel nous utiliserons ces notions.

41

Proposition 5.1.1 SoitT une transformation bijective bimesurable etP-invariante et soitf : (Ω,A)→(R,B_R), une application mesurable telle queEf²<∞, alors

Rn(f) = 1 n

n

X

k=1

f ◦T^{k L}

2

−→_n→∞E^If.

Preuve de la proposition 5.1.1. Soit C l’adh´erence dans L²(Ω,A,P) de l’en-veloppe convexe de {f ◦T^k / k ∈ Z}. Alors, par le th´eor`eme de projection orthogonale (voir par exemple, Doukhan, Sifre, th´eor`eme 3.81, page 124, vo-lume 1, 2001), il existe un uniquef ∈C v´erifiantkfk2= inf{kgk2/ g∈C}. Si on d´emontre quekRn(f)k2 →_n→∞kfk2, la preuve du th´eor`eme de projection implique aussikRn(f)−fk2 →_n→∞0. De plusRn(f) =f +R_n−1(f)◦T. Par suite

kf◦T−fk2≤ kf◦T−Rn−1(f)◦Tk2+ 1

nkfk2+kRn(f)−fk2. LaP-invariance deT implique alors que le premier terme du membre de droite de cette in´egalit´e vautkf−Rn−1(f)k2→0 et donc quef◦T =f. Par suite,fest I-mesurable. Comme R_n(f)→f dansL², on en d´eduit aussi que E^IR_n(f)→ E^If =f. Notons alors queE^IR_n(f) =E^If pour conclure.

Pour prouver kRn(f)k2 →n→∞ kfk2, soit g =P

|j|≤kajf ◦T^j ∈C une com-binaison convexe, telle que kgk2 ≤ kfk2+. Par invariance de T, notons que kRn(g)k2≤ kgk2≤ kfk2+. D’autre part,

kRn(f−g)k2=k

k

X

j=−k

aj(Rn(f)−Rn(f◦T^j))k2≤

k

X

j=−k

ajkRn(f)−Rn(f◦T^j)k2

alors, en utilisant l’invariance, kR_n(f)−R_n(f◦T^j)k₂≤ 1 n

k+j

X

i=k+1

(kf◦T^jk₂+kf◦T^−jk₂)≤ 2j

nkfk₂ (5.1) Par suite kRn(f −g)k2 ≤P

|j|≤k 2ja_j

n kfk2 ≤ ^2k_nkfk2 →n→∞ 0. On en d´eduit quekfk2≤lim sup_nkRn(f)k2≤ kfk2+et le r´esultat suit.

Corollaire 5.1.1 Si on suppose seulement queE|f|<∞, R_n(f)−→^L1 _n→∞E^If.

Preuve.Il existe une suiteg_m∈L²telle quekgm−fk1→m→∞0 (on peut mˆeme choisirg_m∈L^∞). Alors

kRn(f)−E^Ifk1 ≤ kRn(f −gm)k1+kRn(gm)−E^I(gm)k1+kE^I(gm−f)k1

≤ 2kf −g_mk1+kRn(g_m)−E^I(g_m)k1.

5.1. INTRODUCTION 43 La proposition pr´ec´edente implique donc lim sup_nkRn(f)−E^Ifk1≤2kf−gmk1. On conclut en passant `a la limite m→ ∞.

Le th´eor`eme ergodique, objectif de cette section est aussi fond´e sur l’in´egalit´e suivante.

Lemme 5.1.1 (in´egalit´e maximale de Hopf ) SoitT bijective, bimesurable, P-invariante et soitf ∈L¹, on poseS0(f) = 0et sik≥1,Sk(f) =Pk

Corollaire 5.1.2 Faisant les hypoth`eses du lemme 5.1.1, on a : P

Le r´esultat suit en sommant les in´egalit´es pr´ec´edentes et en faisant tendrenvers l’infini. En effet,|f|=f∨0−f∧0 etP(R−c >0) +P(R+c <0) =P(|R|> c) pour toute variable al´eatoire r´eelleR.

Th´eor`eme 5.1.1 (ergodique) Soit T bijective, bimesurable, P-invariante et soit f ∈L¹, alors

En utilisant le mˆeme principe que pour prouver l’in´egalit´e (5.1), on d´emontre quekRn(g)−R_n(g◦T^j)k∞≤2jkgk∞/n. Par cons´equent

Par suite,

On obtient, alors en utilisant le corollaire 5.1.2, P

Dans le cas g´en´eral, on consid`ere une suite de fonctions born´ees g_m telles que kf −g_mk₁→_m→∞0. Alors

Les relations 1) et 2), pr´ec´edentes, impliquent P Ceci est vrai pour chaquec >0, le r´esultat suit.

Pour un processus stationnaire, ce th´eor`eme peut ˆetre reformul´e en consid´erant l’op´erateur de d´ecalageT.

Corollaire 5.1.3 Soit (X_n)_n∈Z un processus stationnaire. Si f : R^Z → R est

Remarques. Lorsque le processusX est ergodique : 1

5.1. INTRODUCTION 45 Exemples de processus ergodiques. Apr`es ces remarques, nous obtenons exemples suivants de suites ergodiques.

– Une suite i.i.d. est une suite stationnaire est ergodique. On utilise la loi du 0−1 de Kolmogorov.

– Par suite, les sch´emas de Bernoulli sont aussi ergodiques. En effet si la suite X = (Xi)_i∈Z est d´efinie a partir d’une suite iid ξ= (ξi)_i∈Z et d’une fonction H via l’´equation (4.1), on af◦Tⁱ(X) =f◦H◦Tⁱ(ξ), et par cons´equent, d`es queE|f(X)|est finie, on obtient que_n¹Pn

i=1f◦Tⁱ(X) converge versE(f(X)).

Ceci ´etant vrai en particulier pour toute les fonctions mesurables born´ees de R^Z dansR, on en d´eduit l’ergodicit´e deX.

– Si la relation Cov (f(X0), f(Xn))→0 lorsquen→ ∞pourf ∈ F, une classe de fonctions qui engendre lin´eairement un sous espace vectoriel dense dansL¹ dans celui des applications mesurables et born´ees alors la suite est ergodique.

En effet, cette relation implique avec le lemme de Cesaro le fait que 1

n

n

X

k=1

f◦T^k(X)→n→∞Ef(X) dansL¹.

Ce r´esultat demeure exact par densit´e pour chaque fonction born´ee. Par suite le corollaire 5.1.3 impliqueE^Jf(X) =Ef(X) et donc l’ergodicit´e. Les exemples qui suivent sont de ce type.

– Une suite gaussienne stationnaire est ergodique lorsque sa covariance tend vers 0 (une suite constante Xn =ξ0∼ N(0,1) n’est bien sˆur pas ergodique).

Supposons que X0 ∼ N(0,1). Alors, si le d´eveloppement d’Hermite de f s’´ecritf =P∞

k=0ckHk alors

Cov (f(X₀), f(X_n)) =

∞

X

k=1

c²_k

k!r^k_n =G(r_n)

la fonction G(r) ainsi d´efini est continue sur [−1,1] (G(1) = Ef²(X₀)) et G(0) = 0. Ceci conclut `a l’ergodicit´e.

– Les suites faiblement d´ependantes (voir leur d´efinition (5.5)) sont le plus sou-vent ergodiques, comme le prouve le mˆeme raisonnement.

– Un dernier exemple (non d´evelopp´e) est celui des suites associ´ees telles que rn→0. Une suite stationnaire est associ´ee si pour chaque entiernle vecteur Y = (X1, . . . , Xn) est associ´e, c’est `a-dire si

Cov (f(Y), g(Y))≥0

lorsqueE(f²(Y) +g²(Y))<∞et les fonctionsf, g:Rⁿ→Rsont croissantes coordonn´ee par coordonn´ee. Alors si le vecteur (Y, Z)∈R^n+m est associ´e et les fonctions f et gv´erifient

|f(y)−f(y⁰)| ≤

n

X

i=1

ai|yi−y_i⁰|, |g(z)−g(z⁰)| ≤

m

X

j=1

bj|zj−z_j⁰|

alors on a la relation¹

Cov (f(Y), g(Z))| ≤

n

X

i=1 m

X

j=1

aibjCov (Yi, Zj)

Cette in´egalit´e permet de conclure. Notons enfin que chaque suite iid est associ´ee comme l’est toute fonction “croissante” de suites de ce type.

Application. Soit (Xn)_n∈Z une suite stationnaire et ergodique de variables al´eatoires centr´ees et de carr´e int´egrable Alorscdn,p= _n−|p|¹ Pn

k=|p|+1XkX_k−|p|

estime cp = EX0Xp sans biais (c’est-`a-dire, Edcn,p = cp) et cdn,p → cp p.s. et dans L¹ (il est consistant). Pour le voir, on applique l’´enonc´e pr´ec´edent avec f(ω) =ω₀ω_p.

Soit (ξn)_n∈Z, par exemple, une suite stationnaire et ergodique telle queEξ₀²<∞.

Si|a|<1 alors Xn=P∞

k=0a^kξ_n−k est une suite stationnaire et ergodique telle queEX₀²<∞et

X_n=aX_n−1+ξ_n, ∀n∈Z.

De plus, la solution pr´ec´edente est l’unique suite stationnaire satisfaisant cette relation. On l’appelle processus auto-r´egressif d’ordre 1.

A pr´esent, les arguments pr´ec´edents permettent de d´emontrer queacn =Pn

k=2XnX_n−1/Pn

k=1X_n²−→

ap.p., si on a aussiEξ0= 0 etEξ0ξp= 0 lorsque p6= 0.