Courte port´ ee

On cherche ici des conditions pour que les th´eor`emes limites obtenus pour des suites ind´ependantes s’´etendent `a des s´eries chronologiques.

Recherchant une ind´ependance asymptotique, on est conduit `a la condition sui-vante

|Cov (f(Xi₁, . . . , Xi_u), g(Xj₁, . . . , Xj_u))| ≤θrψ(u, v, f, g) (5.5) pour des fonctionsf, gappartenant `a des classesF,Get une suiteθr↓0 lorsque r↑ ∞, et

i1≤ · · ·iu≤j1−r≤j1≤ · · · ≤jv

ici la fonctionψd´epend des fonctionsf, get du nombre de leurs arguments. Un cas particulier classique est celui du m´elange fort pour lequelF =G =L^∞ et ψ(u, v, f, g) = 4kfk∞kgk∞. De nombreux exemples de mod`eles satisfont cette condition (voir Doukhan, 1994). La borne sup´erieure desθ_r v´erifiant l’in´egalit´e pr´ec´edente s’´ecrit dans ce cas

αr= sup{|P(A∩B)−P(A)P(B)|; A∈σ(Xi, i≤0), B∈σ(Xj, j≥r)}

Toutefois cette condition n’est pas satisfaite par certains mod`eles tr`es simples comme

Xn =1

2(Xn−1+ξn)

5.3. COURTE PORT ´EE 53 si la suite ´equidistribu´ee et ind´ependante (ξ_n) a une loi de Bernoulli ; en effet la condition pr´ec´edente s’´ecrit en termes des tribus engendr´ees par le processus.

Dans ce cas la solution stationnaire s’´ecrit X_n=

∞

X

k=0

2^−1−kξ_n−k= 0, ξ_nξ_n−1· · · en base 2

ce qui permet de conclure car il est ais´e de voir que X_m est une fonction de X_n pour n > m. Par suite, l’inclusion des tribus engendr´ees par ces variables permet de conclure : la condition de m´elange fort en termes de tribus n’est ainsi pas satisfaite.

Doukhan et Louhichi (1999) introduisent alors une condition en termes de classes de fonctions lipschitziennes permettant d’´eviter ce type d’inconv´enient.

Introduisons doncL l’ensemble des fonctionsg:R^v→Rpour un entierv≥1, telles quekgk_∞= sup_x∈Rv|g(x)| ≤1 et

Lip(g) = sup

(x₁,...,x_v)6=(y1,...,y_v)

g(x1, . . . , xv)−g(y1, . . . , yv)

|x1−y₁|+· · ·+|xv−y_v|

Le cadre de d´ependance faible le plus commun est celui pour lequelG =L et respectivement F=L (cas non causal) ouF=B∞ ={f mesurables, kfk_∞≤ 1}(cas causal) ; alors on note respectivement

ψ(u, v, f, g) = ψ1(u, v, f, g) =uLip(f) +vLip(g), ψ(u, v, f, g) = ψ₁⁰(u, v, f, g) =vLip(g)

De plus les mod`eles d´ej`a ´evoqu´es satisfont leurs conditions. Par exemple les sh´emas de Bernoulli satisfont ces conditions. Ici

θ_r≥E

H((ξ_i)_i∈Z)−H (ξ_i)_|i|≤r

(la suite (ξi)_|i|≤r est celle obtenue en posant 0 pour des indices tels que|i| >

r) et la condition pr´ec´edente s’applique avec ψ⁰₁ ou ψ1 selon que le sch´ema de Bernoulli est causal ou pas. Ainsi θr = E|ξ0|P

|i|>r|ai| pour un processus lin´eaireXn=P

iaiξn−i, et le processus est causal lorsque ai = 0 pouri <0.

Des th´eor`emes de limite centrale sont obtenus dans ce cadre.

De nombreuses applications sont d´evelopp´ees dans Ango-Nz´e, Buhlmann et Dou-khan (2002). Nous omettrons ici les r´ef´erences concernant ces techniques car leur lourdeur d´epasse les ambitions de ce cours.

Notons simplement que le cas de fonctiong(x₁, . . . , x_u) =x₁· · ·x_u est envisag´e dans le chapitre suivant. Nous indiquons quelques ´etapes de la preuve d’un th´eor`eme de limite centrale.

Les in´egalit´es de moments du chapitre 6 permettent de contrˆolerE|S_n|^p et un th´eor`eme de limite centrale s’obtient en utilisant la m´ethode de Lindeberg. Si ES_n² ∼σ²nalors on calcule

∆n=E

f Sn

√n

−f(σN)

pour des fonction de classesC³`a d´eriv´ees born´ees. Il s’agit simplement de prou-ver que ∆<sub>n</sub> →0 lorsquen→ ∞. Pour y parvenir on consid`ere des suites

q=q(n)<< p=p(n)<< n lorsque n↑ ∞ alors on pose

Sn

√n =U1+· · ·+Uk+V aveck=k(n) =h

n p(n)+q(n)

i et

Uj = 1

√n

(j−1)(p+q)+p

X

i=(j−1)(p+q)+1

Xi

alorskVk2→0 et les variables qui interviennent dans chacun de ces blocs sont d’indices au moins ´ecart´es deq. La propri´et´e de d´ependance faible permet donc de prouver leur ind´ependance asymptotique. Le reste de la preuve suit le cas ind´ependant et utilise un d´eveloppement de Taylor⁴.

Pour conclure nous rappelons simplement un ´enonc´e adapt´e au cas de suites causales.

Th´eor`eme 5.3.1 (Dedecker & Rio, 1998) Soit(Xn)n∈Z une suite station-naire et ergodique v´erifiantEXn= 0, EX_n²= 1 et telle que la s´erie

∞

X

n=0

X₀E(X_n|σ(Xk/k≤0))

converge dansL¹, on pose Sn =X1+· · ·+Xn, alors la suiteE(X₀²+ 2X0Sn) admet une limite σ² telle que

√1

nS_[nt] →_n→∞σWt, en loi dans l’espace de Skorohod D([0,1]).

Ce th´eor`eme conduit `a des ´enonc´es du type pr´ec´edent pour les mod`eles des chapitres pr´ec´edents (Dedecker et Doukhan, 2003) dans le cadre de d´ependance faible obtenu avec la fonctionψ₁⁰.

On admettra ici que des conditions du type pr´ec´edent impliquent de fa¸con na-turelle les th´eor`emes limites d´efinissant la d´ependance faible.

4. voir le lemme 1.1, page 15 du cours d’estimation et introduction aux tests.

Chapitre 6

Moments et cumulants

Ce chapitre est d´edi´e `a la mise en place d’outils importants des s´eries tempo-relles.

L’usage constant de moments repose sur leur importance pour obtenir les pro-pri´et´es asymptotiques de certains estimateurs, moments ou lois limites.

L’usage des cumulants est li´e `a l’estimation spectrale ou multispectrale qui sont d´eterminantes pour l’analyse des s´eries chronologiques. Plus pr´ecis´ement la den-sit´e spectrale d’un processus stationnaire s’´ecrit

g(λ) =

∞

X

k=−∞

Cov (X0, Xk)e^−ikλ

Cette fonction ne caract´erise en aucun cas la d´ependance d’un suite non lin´eaire car nous avons d´ej`a exhib´e de telles suites orthogonales et pas ind´ependantes.

Ceci a induit l’introduction de caract´eristiques d’un ordre sup´erieur. Par exemple, la densit´e multispectrale sera d´efinie surC^p−1 par

g(λ₂, . . . , λ_p) =

∞

X

k₂=−∞

· · ·

∞

X

k_p=−∞

κ(X₀, X_k2, . . . , X_kp)e^{−i(k2λ2+···+kpλp)}

De plus, les lois gaussiennes sont caract´eris´ees par le fait que leurs cumulants d’ordre>2 sont nuls.

6.1 M´ ethode des moments

Rappelons simplement que la m´ethode des moments permet d’obtenir des th´eor`emes limite grˆace au fait que :

Th´eor`eme 6.1.1 (Feller) SiU_n est une suite de variables al´eatoires telle que EU_n^p →n→∞EU^p, pour chaque entier p≥0

55

alors

U_n→n→∞U, en loi

si de plus la variableU admet une transform´ee de Fourier analytique au voisi-nage de 0 ; c’est le cas lorsqu’il existeα >0 v´erifiant Ee^α|U|<∞.

En effet la propri´et´e d’analycit´e qu’elle implique entraˆıne que la loi de U est bien caract´eris´ee par ses moments.

6.2 D´ efinitions

SoitY = (Y1, . . . , Yk)∈R^k un vecteur al´eatoire, on pose

φY(t) = Ee^it·Y =Eexp



i

k

X

j=1

tjYj



, mp(Y) = EY₁^p1· · ·Y_k^pk, lorsque

p = (p1, . . . , pk), t= (t1, . . . , tk)∈R^k,

|p| = p1+· · ·+pk =r, E(|Y1|^r+· · ·+|Yk|^r)<∞.

Notonsp! =p₁!· · ·p_k!,t^p=t^p₁¹· · ·t^p_k^ksit= (t₁, . . . , t_k)∈R^ketp= (p₁, . . . , p_k).

Lorsque la condition de moment pr´ec´edente vaut pour un entier r∈N^∗, alors la fonctiont7→logφY(t) admet un d´eveloppement de Taylor sous la forme

logφY(t) = X

|p|≤r

i^|p|

p!κp(Y)t^p+o(|t|^r), lorsquet→0

Les coefficients κp(Y) sont appel´es cumulants de Y d’ordre p ∈ N^k lorsque

|p| ≤r.

Rempla¸cant le vecteur Y par un vecteur de dimension s = |p| comportant respectivementp1r´ep´etitions deY1, . . .,pkr´ep´etitions deYk, on se ram`ene au cas o`u p= (1, . . . ,1) et on poseκ(1,...,1)(Y) =κ(Y). De plus, siµ={i1, . . . , iu} ⊂ {1, . . . , k}

κµ(Y) =κ(Yi₁, . . . , Yi_u), mµ(Y) =m(Yi₁, . . . , Yi_u).

En identifiant des d´eveloppements de Taylor, Leonov et Shyraev (1959) (voir Rosenblatt, 1985, page 33-34) obtiennent les relations

κ(Y) =

k

X

u=1

(−1)^u−1(u−1)! X

µ₁,...,µ_u u

Y

j=1

mµ_j(Y) (6.1)

m(Y) =

k

X

u=1

X

µ₁,...,µ_u u

Y

j=1

κµ_j(Y) (6.2)

6.2. D ´EFINITIONS 57 Les sommes pr´ec´edentes sont consid´er´ees sur toutes les partitionsµ₁, . . . , µ_u de l’ensemble{1, . . . , k}. Lorsquet→0, la formule de Taylor et le d´eveloppement de log(1 +T) `a l’origine fournissent successivement

φY(t) = 1 + X

donc, si l’on identifie le coefficient correspondant `a p= (1, . . . ,1) les u−uplets tels quep1+· · ·+pu=psont aussi donn´es par les partitions de{1, . . . , k} au facteur combinatoireu! pr`es qui correspond au nombre de leurs permutations ; on choisit r = k pour d´eriver la relation (6.1), car alors |p| = k, p! = 1 et (it)^p =i^kt^k.

Nous rappelons maintenant quelques notions tir´ees du livre de Saulis et Statu-levicius (1991).

Le moments recentr´es sont une forme de g´en´eralisation de la covariance, il sont un indicateur de l’ind´ependance des coordonn´ees d’un vecteur al´eatoire.

L’´enonc´e remarquable suivant de Saulis and Statulevicius (1991) explique bien la nature des cumulants. Il en donne une repr´esentation en termes des moments recentr´es.

Th´eor`eme 6.2.1 (Saulis, Statulevicius (1991))

κ(Y1, . . . , Yk) =

les sommations sont consid´er´ees sur toutes les partitions µ₁, . . . , µ_u de l’en-semble {1, . . . , k} et les nombres entiers N_u(µ₁, . . . , µ_u) ∈

0,(u−1)!∧_k

2

! d´efinis pour chacune de ces partitions satisfont aux relations

N(k, u) = X

µ1,...,µu

N_u(µ₁, . . . , µ_u) =

u−1

X

j=1

C_k^j(u−j)^k−1,

k

X

u=1

N(k, u) = (k−1)!.

La borne utile suivante est obtenue grˆace `a cette repr´esentation

Lemme 6.2.1 Soient Y1, . . . , Yk ∈ R des variables al´eatoires centr´ees. Pour toutk≥1, nous posonsMk= (k−1)!2^k−1max_1≤i≤kE|Yi|^k, alors

|κ(Y1, . . . , Yk)| ≤ Mk, (6.3)

MkMl ≤ Mk+l, sik, l≥2. (6.4) Par cons´equent :

u

Y

i=1

|κp(Y1, . . . , Yp_u)| ≤Mp₁+···+p_u (6.5) Preuve du lemme 6.2.1.Le second point de ce lemme suit de l’in´egalit´e ´el´ementaire a!b! ≤ (a+b)! qui s’´ecrit aussi C_a+b^a ≥ 1, et la premi`ere est cons´equence du th´eor`eme 6.2.1 et du lemme suivant

Lemme 6.2.2 Pour tous j, p≥1 et pour toutes variables al´eatoires r´eelles, kc(ξj, ξ_j−1, . . . , ξ1)kp≤2^j max

1≤i≤jkξik^j_pj (avec kξkq =E^1/q|ξ|^q) Preuve du lemme 6.2.2.L’in´egalit´e de Jensen implique

kc(ξ1)kp≤ kξ1kp+|Eξ1| ≤2kξ1kp,

PosonsZ_j =c(ξ_j, ξ_j−1, . . . , ξ₁), alors Z_j =ξ_j(Z_j−1−EZ_j−1) et par l’in´egalit´e de H¨older,

kξjZj−1k^p_p≤ kξjk^p_pjkZj−1k^p_pj/(j−1)

par suite, utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence pour le couple (q, j−1) avecq= pj/(j−1), les in´egalit´es de Minkowski et de H¨older donnent

kZjkp ≤ kξjZ_j−1kp+kξjkp|EZ_j−1|

≤ 2kξjkpjkZ_j−1kq, q=p j j−1

≤ 2^jkξjkpj max

0≤i<jkξik^j−1_q(j−1)

≤ 2^j max

0≤i≤jkξik^j_pj

6.3. D ´EPENDANCE ET CUMULANTS 59

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