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Th´eor`eme de d´ecomposition en protrusions

3.2 Outils pour les applications

3.2.1 Th´eor`eme de d´ecomposition en protrusions

Pour nos applications, nous avons besoin de construire une d´ecomposition en protrusions des instances pour pouvoir appliquer le corollaire 1. Plus pr´ecis´ement, nous voulons que, dans une d´ecomposition, le nombre de protru- sions soit lin´eaire en fonction du param`etre (suffisamment petit) pour obtenir un noyau lin´eaire.

Comme nous l’avons annonc´e, le th´eor`eme des m´eta-noyaux [8] utilise la notion de quasi-recouvrabilit´e. Intuitivement, un probl`eme est quasi-recou- vrable si l’ensemble solution (ou un ensemble d´efini `a partir de la solution) recouvre un modulateur d’arborescence `a distance radiale r. Cette notion utilise la distance radiale (la distance dans le graphe radial) qui n´ecessite de plonger le graphe. Si un probl`eme est quasi-recouvrable, il est possible de construire une d´ecomposition en protrusions pour toutes ses instances po- sitives. Cette propri´et´e joue `a peu pr`es le mˆeme rˆole que les th´eor`emes qui suivent et qui sont plus g´en´eriques ; pour cette raison nous n’en donnons pas la d´efinition formelle.

Nous ´enon¸cons maintenant un th´eor`eme d´emontr´e par Kim, Langer, Paul, Reidl, Rossmanith, Sau et Sikdar [44], que nous utiliserons dans chacune de nos applications pour construire la d´ecomposition en protrusions. ´Etant donn´e un modulateur d’arborescence, ce th´eor`eme permet de construire une d´ecomposition en protrusions ; qui est lin´eaire si le graphe exclut un mineur (fix´e). Remarquons que, dans le th´eor`eme 4, nous nous restreignons d´ej`a `a une classe de graphes excluant un mineur.

Th´eor`eme 5 : [44]

3.2. OUTILS POUR LES APPLICATIONS 145 graphe sans mineur (respectivement, mineur topologique) H. Soit k un entier positif. ´Etant donn´e un modulateur X ⊆ V (G) tel que |X| 6 c · k et tw(G − X) 6 t, une ((αH · t · c) · k, 2t + h)-d´ecomposition en protrusions peut ˆetre

calcul´ee en temps O(|G|), avec αH 640h225h log hune constante ne d´ependant

que de H.

x y

Remarquons que, tel que le th´eor`eme est formul´e, il n’est pas n´ecessaire de distinguer les deux entiers c et k ; mais, dans les applications, nous utiliserons c comme une constante (d´ependant du probl`eme) et k comme le param`etre du probl`eme.

Intuitivement, l’algorithme de d´ecomposition en protrusions consid`ere une d´ecomposition arborescente du graphe priv´e de son modulateur, et il marque chacun des sacs en fonction du nombre de voisins que ce sac a dans le mo- dulateur.

Pour obtenir notre d´ecomposition, il nous suffit donc de trouver un mo- dulateur d’arborescence. Pour ce faire nous utilisons les travaux de Fomin, Lokshtanov, Saurabh et Thilikos [30] sur la bidimensionnalit´e. Leur r´esultat permet de montrer l’existence d’un modulateur dans toutes instances posi- tives d’un probl`eme v´erifiant deux propri´et´es assez g´en´eriques : la bidimen- sionnalit´e (par mineur ou par contraction) et la s´eparabilit´e lin´eaire. Nous d´efinissons ces deux notions avant d’´enoncer le th´eor`eme. Rappelons que nous d´ecrivons le cadre de travail pour le cas des probl`emes de minimisation. Dans nos applications nous n’utilisons le th´eor`eme 6 que sur des probl`emes de minimisation.

Intuitivement, un probl`eme est bidimensionnel si les instances contenant une grande grille (comme mineur) ou pseudo-grille (comme contraction) ont n´ecessairement un solution de grande taille.

D´efinition 69 : probl`eme bidimensionnel [30] Un probl`eme Π est bidimensionnel par mineur si

— pour tout graphe G, fΠ(G− v) 6 fΠ(G), pour v ∈ V (G),

(G\ e) 6 fΠ(G),

(G/e) 6 fΠ(G), pour e∈ E(G) ; et

— pour la grille, fΠ

r) > O(r2).

Un probl`eme est bidimensionnel par contraction si

— pour tout graphe G, fΠ(G/e) 6 fΠ(G) pour e∈ E(G) ; et

— pour la pseudo-grille, fΠ

146 CHAPITRE 3. M ´ETA-NOYAUX EXPLICITES y Le premier item impose que les op´erations de mineur dans une instance font diminuer la taille de la solution. Le second item signifie que la solution optimale d’une grille a une taille (au moins) proportionnel au nombre de sommets.

Il faut signaler que cette d´efinition reste identique pour les probl`eme de minimisation et de maximisation.

Intuitivement, un probl`eme est s´eparable si l’intersection d’une solution optimale avec un sous-graphe n’est pas trop ´eloign´ee d’une solution optimale dans le sous-graphe.

D´efinition 70 : probl`eme s´eparable lin´eairement [30]

Un probl`eme Π est s´eparable lin´eairement si pour tout graphe G et tout sous-graphe GB de bord B, nous avons |S ∩ V (GB)| 6 fΠ(GB) + O(|B|) ; o`u

S⊆ V (G) est une solution optimale dans G.

y Remarquons que cette d´efinition pr´esente certaines similarit´es avec les notions de confinement (cf. d´efinition 63) et de monotonicit´e [8]. Remar- quons aussi que la s´eparabilit´e n’est d´efinie que dans le cadre de probl`emes certifiables par sommets, c’est-`a-dire des probl`emes dont la solution peut ˆetre d´ecrite par un ensemble de sommets. Ce n’est pas un restriction contrai- gnante car il est possible de d´ecrire artificiellement les certificats de nombreux probl`emes, comme F-Paquetage, par un ensemble de sommets. De plus, dans les applications que nous pr´esentons, nous n’appliquons le th´eor`eme 6

qu’`a des probl`emes naturellement certifiables par sommets. Th´eor`eme 6 : [30]

Soit Π un probl`eme, restreint `a une classe de graphes excluant un mineur fix´e (respectivement, un mineur apex), bidimensionnel par mineur (respec- tivement, par contraction) et s´eparable lin´eairement. Pour tout r´eel c > 0, il existe un entier t tel que dans toute instance positive (G, k)∈ Π, G a un modulateur X avec|X| 6 c · k et tw(G − X) 6 t.

x y

Sans entrer dans le d´etail, l’algorithme pour obtenir le modulateur consiste `a construire une d´ecomposition arborescente, trouver un sac de la d´ecompo- sition de sorte que la solution soit balanc´ee de part et d’autre de ce sac s´eparateur, et rechercher r´ecursivement de tel sac dans les deux d´ecomposi- tions arborescentes obtenues.

Pour rendre l’algorithme de modulation constructif, nous avons besoin de construire une d´ecomposition arborescente de l’instance. Il n’est pas possible

3.2. OUTILS POUR LES APPLICATIONS 147 de construire un d´ecomposition arborescente de largeur optimale en temps polynomial, mais nous pouvons nous contenter d’une approximation. Nous utilisons donc un algorithme d’approximation polynomial sur les graphes excluant un mineur ; cette approximation d´erive d’une preuve de Demaine et Hajiaghayi [17]. A notre connaissance, il n’y a pas de formulation explicite de la constante d’approximation. Remarquons que toute am´elioration de cette constante se r´epercuterait imm´ediatement sur la taille de nos noyaux.

Pour l’algorithme de modulation, nous avons ´egalement besoin d’une so- lution (approch´ee) du probl`eme consid´er´e. Pour toutes nos applications, il existe un sch´ema d’approximation FPT de nos probl`emes restreints `a une classe excluant un mineur ; ces approximations d´ecoulent du r´esultat de Fo- min, Lokshtanov, Raman et Saurabh [29]. Nous pouvons arbitrairement choi- sir le ratio d’approximation.

L’influence des deux approximations sur la taille de nos noyaux disparaˆıt dans les dominations asymptotiques O( · ). Le probl`eme consid´er´e et la classe de graphes `a laquelle il est restreint impactent le temps d’ex´ecution mais pas le r´esultat de l’approximation ; ils n’affectent donc pas la taille de nos noyaux. Les corollaires 2 et3 d´ecoulent du th´eor`eme pr´ec`edent.

La d´emonstration duth´eor`eme 6se base sur la propri´et´e que si un graphe a une grande largeur arborescente alors il contient n´ecessairement un grande grille (la grille Γr comme mineur, ou la pseudo-grille Γ′r comme contraction).

Par cons´equent, les valeurs des constantes c et t duth´eor`eme 6d´ependent de cette relation.

Dans le cas de nos applications, la relation entre la largueur arborescente et la taille de la grille est lin´eaire. Afin d’ˆetre le plus explicite possible dans l’expression des tailles de nos noyaux, nous avons besoin de pr´eciser cette relation lin´eaire.

Proposition 7 : [17, 43]

Il existe une fonction fm telle que, ´etant donn´es un graphe H et un entier

positif r, pour tout graphe G excluant H comme mineur si tw(G) > fm(|H|)

alors G contient Γr comme mineur, avec fm(h) 6 2O(h

2log h)

.

x y

Proposition 8 : [28]

Il existe une fonction fc telle que, ´etant donn´e un graphe apex H et un

entier positif r, pour tout graphe G excluant H comme mineur si tw(G) > fc(|H|) alors G contient Γ′r comme contraction.

x y

Remarquons que Kawarabayashi et Kobayashi [43] ont fourni une borne de la fonction fm, mais que, `a notre connaissance, il n’existe pas de borne

148 CHAPITRE 3. M ´ETA-NOYAUX EXPLICITES similaire pour la fonction fc. En cela nos r´esultats dessection 3.3etsection 3.4

ne seront pas totalement explicite. Remarquons aussi que toutes nouvelles bornes sur ces fonctions se r´epercutera directement sur nos r´esultats.