Encodeur de programmation dynamique

Nous d´efinissons ici la notion d’encodeur. Nous d´ecrivons le cadre de travail pour des probl`emes de minimisation sous forme d´ecisionnelle, c’est-`a- dire de la forme Π =_{{(G, k) | ∃S, m}Π_{(S) 6 k, (G, S) ∈ L}Π_{} (cf. section 1.3),}

le cadre de travail pour un probl`eme de maximisation en d´ecoule ais´ement. Un encodeur est destin´e `a d´ecrire les tables de programmation dynamique et comment les remplir. Nous donnons ensuite deux propri´et´es n´ecessaires pour que l’encodeur simule une programmation dynamique efficace qui r´esout le probl`eme consid´er´e.

Intuitivement, nous l’avons dit, un encodeur formalise la programma- tion dynamique pour un probl`eme g´en´erique Π. Rappelons qu’une table est g´en´er´ee pour chacun des sous-graphes consid´er´es par la programmation dy- namique. Cette table `a pour entr´ees les descriptions de toutes les fa¸cons dont une solution peut traverser le bord du sous-graphe ; et, pour chacune de ces entr´ees, la table enregistre la taille de la meilleure solution (traversant selon la fa¸con d´ecrite par l’entr´ee). Notre encodeur contiendra donc une fonction qui, ´etant donn´e un bord, g´en`ere les entr´ees de la table (nous les appellerons encodages), un langage qui permette de reconnaˆıtre les solutions partielles et une fonction qui d´etermine les valeurs `a enregistrer (cf. figure 3.5).

D´efinition 61 : encodeur

Un encodeur est un triplet _{E = (C}E_{, L}E_{, f}E_{), avec :}

CE _{une fonction calculable de 2}N _{→ 2}Υ∗

qui, `a chaque ensemble d’entiers I <sub>⊆ N, associe un ensemble C</sub>E<sub>(I) de chaˆınes de caract`eres sur un</sub>

certain alphabet Υ (qui correspondront aux entr´ees d’une table) ; un encodage est une chaˆıne R∈ CE_{(I) ;}

LE _{un langage calculable qui reconnaˆıt des triplets de la forme (G, S, R)∈}

Γ∗× Σ∗_{× Υ}∗_{, o`u G est un graphe bord´e d´ecrit sur Γ, S est un certificat}

d´ecrit sur Σ (qui correspondra au certificat d’une solution partielle au probl`eme), et R∈ CE_{(Λ(G)) est un encodage sur Υ ; si (G, R, S)∈ L}E_,

nous dirons que S satisfait l’encodage R (dans G) ;

fE une fonction calculable de Γ∗× Υ∗ _{→ N ∪ {+∞} qui `a un graphe bord´e}

G et un encodage R_{∈ C}E_{(Λ(G)) associe un entier (qui correspondra `a}

130 CHAPITRE 3. M ´ETA-NOYAUX EXPLICITES La taille d’un encodeur est s_E(t) = max{|CE_{(I)| | I ⊆ {1, . . . , t}}.}

y Les encodages dans _CE_{(I) correspondent aux entr´ees de la table pour un}

graphe dont le bord est labell´e par I. Chaque encodage R_{∈ C}E_{(I) peut ˆetre}

appr´ehend´e ou bien comme une fa¸con dont une solution peut traverser le bord du graphe, ou bien comme une contrainte suppl´ementaire devant ˆetre v´erifi´ee par une solution partielle. Un autre point de vue serait de faire correspondre `a chaque encodage R un probl`eme ΠR d´efinie `a partir du probl`eme initial Π

plus les contraintes impos´ees par R.

Le langage LE_{identifie les certificats qui sont des solutions partielles satis-}

faisant sur le bord les conditions impos´ees par un encodage. D’un autre point de vue, nous pourrions dire que ΠR se base sur le langage LR = {(G, S) |

(G, S, R)_{∈ L}E_{}. Remarquons que d’un point de vu th´eorique, nous n’avons}

pas besoin de LE. Aucun des r´esultats de cette section n’y fait r´ef´erence. N´eanmoins nous avons jug´e que ce langage joue un rˆole important dans la compr´ehension de ce qu’est un encodage. Soulignons que toutes nos applica- tions utilisent un tel langage pour d´efinir la fonction fE.

La fonction fE _{peut ˆetre vue de deux fa¸cons. Si nous fixons G, la fonction}

fE_{(G, · ) : R 7→ f}E_{(G, R) remplit la table de G. Si nous fixons R, la fonction}

fE( · , R) : G 7→ fE_{(G, R) peut ˆetre vue comme la fonction d’optimisation}

du probl`eme ΠR.

La taille de l’encodeur s_E(t) est une fonction qui, ´etant donn´ee la taille du bord (le sac consid´er´e par la programmation dynamique), donne le nombre d’encodages d´efinis sur un graphe t-bord´e ; c’est-`a-dire, le nombre d’entr´ees de la table.

Remarquons que nous demandons `a ce que le g´en´erateurCE _{et le langage}

LE _{et la fonction f}E _{soient simplement calculables (sans contraindre plus la}

complexit´e). Rappelons que t = _{|∂G| est une constante qui ne d´epend que} du probl`eme. Donc, CE_{, qui ne d´epend que du bord, se calcule en temps}

constant. Par contre fE _{d´epend du graphe bord´e ; cependant, nous montrons}

dans le lemme 18, qu’il nous suffit d’appliquer fE _{sur des graphes de taille}

constante.

La propri´et´e suivante assure qu’un encodeur est effectivement con¸cu pour r´esoudre un probl`eme. Elle traduit l’id´ee que, arriv´e `a la fin de la program- mation dynamique, la table associ´ee au graphe entier (de bord vide) contient la r´eponse au probl`eme. Elle nous servira de cas de base pour montrer le raf- finement de l’´equivalence canonique par notre ´equivalence (cf.d´efinition 64). D´efinition 62 : Π-encodeur

Un encodeur _{E est un Π-encodeur si C}E_{(∅) est un singleton {R}

3.1. R `EGLE DE REMPLACEMENT DE PROTRUSIONS 131 pour tout graphe 0-bord´e fE(G, R_∅) = fΠ_(G).

y Au premier abord, il semblerait plus naturel d’avoir une condition im- posant l’´egalit´e entre LE _{et L}Π _{: pour tout certificat S, (G, S, R}

∅) ∈ LE si

et seulement si (G, S) _{∈ L}Π_{. Cette condition n’est ni n´ecessaire, ni suffi-}

sante. En effet, d’une part, puisque nous ´etudions des probl`emes de d´ecision, nous n’avons pas besoin de connaˆıtre toutes les solutions, il nous suffit d’en connaˆıtre une de taille optimum ; d’autre part, puisque la forme de la fonc- tion fE _{n’est pas contrainte, il est possible que f}E _{contredise l’intuition et ne}

soit pas d´efini `a partir de LE.

La propri´et´e de confinement ci-dessous assure qu’une table enregistrera peu de valeurs (cf. figure 3.5). Cela impliquera un petit nombre de classes pour la_{E-´equivalence (cf.}d´efinition 64). Elle joue un rˆole similaire `a celui de la monotonicit´e [8].

D´efinition 63 : confinement

Un encodeur _{E est g-confin´e si il existe une fonction g : N → N telle que} pour tout graphe t-bord´e G avec Λ(G) = I :

ou

— _{{R ∈ C}E_{(I)| f}E_{(G, R)6= +∞} = ∅} ou

— maxR∈CE_(I){fE(G, R)6= +∞} − min_R∈CE_(I){fE(G, R)6= +∞} 6 g(t).

y ∂G G CE fE R0 R1 . . .                     0 |G| g(t) +∞ N O N O U I

Figure 3.5 – Repr´esentation sch´ematique d’un encodeur confin´e (cf. d´efinitions

61 et 63). A partir d’un graphe t-bord´e, la fonction CE _{g´en`ere les entr´ees de la}

table, la fonction fE remplie cette table avec les tailles de solutions possibles, ou la valeur +_{∞. Toutes les valeurs (sauf +∞) sont comprises dans un intervalle de} largeur g(t). La valeur enregistr´ee pour un encodage Ri d´elimite l’intervalle pour

132 CHAPITRE 3. M ´ETA-NOYAUX EXPLICITES