Comme on l’a vu avec les anneaux commutatifs, la complétude géométrique se ramène à la complétude existentielle positive dans les théories strictes. Nous abordons ici le cas général. Proposition 7.36. Soit T une théorie (finitaire). Les assertions suivantes sont équivalentes.
1. T∀¬6=∅ 2. 1 2 T∀¬
3. 1 2 T∀
4. tout a-type premier de toute structure est propre.
Définition 7.37. Une théorie vérifiant les conditions équivalentes de la proposition sera dite stricte.
La version suivante de la proposition 4.17 repose sur une approche un peu différente. Proposition 7.38. Soit T une théorie stricte. Un modèle géométriquement clos de TW est soit trivial, soit un modèle positivement existentiellement clos de T∀¬.
Démonstration. Supposons que A est un tel modèle. Si A n'est pas trivial, c'est un modèle de T∀¬
(2.64). Supposons par l'absurde que A n'est pas p.e.c comme modèle de T∀¬: cela signi e qu'il existe un homomorphisme f : A→M dans un modèle de T et un énoncé positif primitif χ := ∃X VΦ, à paramètres dans A, tels que A 2 χ, tandis que f χ. Par hypothèse, A est géométriquement clos, donc on a I(ZA(Φ)) = √T
Φ+, et ce a-type est le a-type total par hypothèse, ZA(Φ) étant vide. Soit m∈MXun témoin de χ dans f ; M étant un modèle de T, on a tpa(fm) ⊇I(Zf(Φ)) ⊇ √T
Φ+, si bien que tpa(fm)est lui aussi le a-type total de A[X]. Or, ce a-type dit que toutes les variables X sont identi ées avec tous les éléments de A, si bien que la sous-structure de M engendrée par m est f(A) '1. On en conclut que 1 T∀, ce qui est tout-à-fait impossible par hypothèse. Il s'ensuit que l'hypothèse faite est fausse, autrement dit que f est une immersion : A est un modèle positivement existentiellement clos de T∀¬.
Ce résultat permet de démontrer l’analogue suivant du théorème 4.19.
Théorème 7.39. Soit T une théorie stricte. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. T est positivement modèle-complète
2. Tous les modèles de T sont géométriquement clos. Démonstration. (1)⇒(2) Il s'agit du théorème 7.25.
(2)⇒(1) Soit M T. Par hypothèse, T est stricte, si bien que M6'1. Par hypothèse, M est géomé-triquement clos, donc par le lemme, c'est un modèle p.e.c de T∀¬. Il s'ensuit que tous les modèles de Tsont p.e.c, donc que T est positivement modèle-complète.
4.6 T-Algèbre stricte
On se place ici dans le contexte d’une théorie finitaire stricte T et d’une classe spéciale W0
contenant W=WT, et l’on reproduit les éléments de la section 3 du chapitre 4, dans ce contexte élargi. Nous désignerons par “algèbres” les objets de W0, et les A-algèbres seront toujours des objets de W0.
Proposition 7.40. Soient A une algèbre, I un idéal de A. On a A/I T∀¬⇔ √T
I+ est propre⇔ il existe un idéal T-premier de A contenant I.
Démonstration. Si A/I T∀¬, il existe un modèle B de T et un homomorphisme f : A→Bde a-type p, un idéal premier contenant I : en particulier, √T
I+ est propre, par la proposition 7.36. Réciproquement, si √T
I+ est propre, il existe un idéal T-premier p, contenant I, a-type de l'homo-morphisme f : A→A/p, où A/p T∀. Ce morphisme se factorise par A A/I, donc A/I est un modèle de T∀¬.
Proposition 7.41. Soient A une algèbre et I un idéal T-radiciel propre de A, maximal comme tel. Alors I est T-premier.
Démonstration. Comme I est propre, on a A/I∈W∗T (la sous-classe de WT des objets non triviaux, sous-section 3.4, chapitre 2), d'où A/I T∀¬ par la proposition 2.64. Il existe donc un homomor-phisme f : A/I→B, où B T. Notant πI : A A/I la projection canonique, comme T est stricte, l'idéal tpa(f ◦πI)est propre et contient I, par suite, I=tpa(f ◦πI). Ainsi, f est un plongement et on a A/I T∀, c'est-à-dire I est T-premier.
Définition 7.42. Un idéal I d’une algèbre A sera dit T-maximal si c’est un idéal radiciel propre et maximal comme tel.
La définition des T-corps ne pose pas de problème, mais on doit faire un peu différemment ici, puisque l’on travaille avec des ensembles de formules et pas des structures.
Définition 7.43. Soit T une théorie stricte. Un T-corps est une algèbre A, modèle de T∀¬, telle que le seul idéal T-radiciel propre de A est D+(A). En particulier, un T-corps est une algèbre spéciale.
Proposition 7.44. Soit A une algèbre. Un idéal T-radiciel propre I de A est T-maximal si et seulement si A/I est un T-corps.
Démonstration. Soit I un idéal T-radiciel propre : on a A/I TW∪T∀¬. L'idéal I, qui est le a-type de la projection canonique, est T-maximal si et seulement si le diagramme atomique de A/I est T-maximal.
Les T-corps ont la propriété des plongements, comme dans la proposition 4.31. Proposition 7.45. Soit A T∀¬. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. A est un T-corps
2. Tout homomorphisme de A dans un modèle de T∀¬est un plongement
3. Tout homomorphisme f : A→B, où B est un modèle de T, est un plongement.
Démonstration. (1)⇒(3) Supposons que A est un T-corps, B T et f : A→Bun homomorphisme (un tel f existe puisque A est un modèle de T∀¬). Comme T est stricte, le a-type de f est propre, il est donc nécessairement égal à D+(A), puisque A est un T-corps. Par suite, f est un plongement. Ceci montre que A est un modèle de T∀, et (3).
(3)⇒(2) Soit f : A→B un homomorphisme, où B T∀¬ : il existe un homomorphisme g : B→C, où C T. Par hypothèse, g◦ f est un plongement, donc f est un plongement.
(2)⇒(1) Soit I un idéal T-radiciel propre de A. Cela signi e que A/I6'1, puisque T est stricte. Il s'ensuit que A/I T∀¬ (2.64), donc par (2), la projection canonique est un plongement, c'est-à-dire I=D+(A): A est un T-corps.
5 Applications en algèbre universelle
Nous mentionnons ici quelques applications de la complétude géométrique, dans le con-texte des variétés d’algèbres basées en groupes (voir la sous-section 3.5 du chapitre 2). On rappelle que dans une telle variété V, les idéaux algébriques sont en bijection avec les congru-ences (proposition 2.80) et qu’en général dans une variété les idéaux logiques sont en bijection avec les congruences (corollaire 6.50). En particulier, nous pouvons appliquer tous les résultats finitaires précédents aux expansions d’anneaux par des fonctions ayant une compatibilité min-imale. Nous nous plaçons dans cette section dans le contexte d’une variété d’algèbres basées en groupes V, axiomatisée par une théorie T0. Les éléments de V seront ce qu’on appelle ici les algèbres, et l’on notera A[X]pour AV[X]. Nous terminons par une courte discussion sur la “noethérianité” dans un cadre général.