Le théorème de Ritt-Raudenbush dans les corps différentiels ([28] III 1.16) et son analogue dans les corps de différence ([9] 3.8 V, [32] 10), établissent une condition de noethérianité sur les idéaux algébriques radiciels en un nombre fini de variables sur les modèles de la théorie. On se replace ici dans un contexte général, c’est-à-dire un langage contenant éventuellement des symboles relationnels (bien que les exemples connus soient dans des langages fonctionnels). Définitions 7.54. Soit T une théorie finitaire.
1. Un modèle A de TW sera dit radiciellement noethérien, si pour tout ensemble fini X, tout a-type T-radiciel deTXA est de type fini.
2. La théorie T sera dite radiciellement noethérienne si tout modèle de T est radiciellement noethérien.
On peut appliquer sans problème la définition précédente lorsque l’on travaille avec des idéaux.
Proposition 7.55. Soient T0 ⊆T deux théories, où T0 est une théorie uHs. Alors, un modèle A de TW est radiciellement noethérien si et seulement si pour tout ensemble fini X, tout idéal T-radiciel de AT0[X]est de type fini.
Nous pouvons alors identifier les invariants algébriques élémentaires des variétés affines dans les modèles géométriquement clos.
Théorème 7.56. Soient T une théorie finitaire et A un modèle géométriquement clos et radiciellement noethérien de TW. Alors, la règle qui associe à une variété affine sur A son algèbre de coordonnées, est une dualité entre la catégorie des variétés affines (en dimension finie) de A et la catégorie des A-algèbres spéciales de type fini (en fait, de présentation finie).
Démonstration. Soit V une variété a ne de A : il existe un ensemble ni X et un a-type π de A[X]tel que V =ZA(π). La règle qui associe à V son algèbre de coordonnées A[X]/I(ZA(π))
est un foncteur contravariant, à valeurs dans les A-algèbres spéciales de type ni. Soit maintenant f : A→B une A-algèbre spéciale de type ni : il existe donc un ensemble ni X et un a-type admis-sible π de A[X] tels que f' (! : A→A[X]/π). Comme f est spéciale, on a √T
π+=π, puisque π est admissible. Par hypothèse, π est donc de type ni : par complétude géométrique de A, on a donc I(ZA(π)) =π, d'où f ' (A→A[X]/I(ZA(π))): la dualité est établie.
Remarque 7.57. La théorie des “anneaux réduits géométriquement clos” (c’est-à-dire les corps algébriquement clos et l’anneau trivial, voir 3.8) est radiciellement noethérienne et “géométri-quement complète”, mais pas positivement modèle-complète.
ENSEMBLES DE FORMULES, E -TYPES ET
LOCALISATIONS
Classes de Formules et de Structures
Dans ce chapitre, nous introduisons une notion assez simple, celle de théorie pseudo-E -in-ductive, pour une classeEde formules, et qui permet de démontrer de nombreux théorèmes de caractérisation de classes axiomatisables, élémentaires ou non. Ces théorèmes sont des général-isations de théorèmes de structure des classes inductives, universelles, spéciales...de la section 3 du chapitre 2. SoitL un langage du premier ordre.
1 Classes de formules et E-applications
Notations 8.1. Soient A une L -structure etE une classe de formules du premier ordre, possi-blement infinitaires. On notera E (A)la classe desL(A)-énoncés obtenus en substituant aux variables de formules deEdes éléments de A.
Définitions 8.2. SoitE une classe de formules.
Une formule infinitaire sera dite pseudo-E-inductive si elle est de la forme ∀XV
Φ⇒W
Ψ, où Φ et Ψ sont des ensembles de formules de E. Si E est finitaire (c’est-à-dire ne contient que des formules finitaires), une formule E-inductive désignera une formule pseudo-E-inductive et finitaire.
Une formule infinitaire sera dite E-universelle si elle est de la forme∀XVΦ⇒ ⊥, oùΦ est un ensemble de formules de E : c’est donc une formule logiquement équivalente à la négation d’une disjonction de formules deE.
Si K est une classe de structures, on notera Th∞∀E(K) l’ensemble des conséquences
pseudo-E-inductives de K, et Th∞∀¬E(K)l’ensemble des conséquencesE-universelles de K, et si E est finitaire, leurs versions finitaires sans l’exposant∞.
De manière générale, si T est une théorie (infinitaire), on notera T∞∀E l’ensemble des conséquen-ces pseudo-E-inductives et T∞∀¬E l’ensembles des conséquencesE-universelles de T, et siE est finitaire, leurs versions finitaires sans l’exposant∞.
Si A est uneL -structure, on notera DE(A)l’ensemble desE (A)-énoncés satisfaits dans A. Définitions 8.3. SoitE une classe de formules.
1. Une application f : A→B sera appelée une E-application si elle préserve la validité des
E (A)-énoncés.
2. UneE-application sera dite réflexive si elle reflète la validité desE (A)-énoncés.
Lemme 8.4. Soient K une classe deL -structures stable par copies isomorphes etE une classe de formules.
1. Une application f : A→B entre deuxL -structures est uneE-application si et seulement si f DE(A).
2. UneL -structure A est un modèle de Th∞
∀¬E(K)si et seulement si il existe uneE -applica-tion de A dans un objet de K.
3. UneL -structure A est un modèle de Th∞
∀E(K)si et seulement si il existe uneE-application réflexive de A dans un objet de K.
Démonstration. (1) Par dé nition de la préservation d'un ensemble d'énoncés.
(2) Si il existe uneE-application f de A dans un objet de K, f préserve la validité desE (A)-énoncés à paramètres, donc f re ète la validité des énoncés E-universels sans paramètres qui sont valides dans son codomaine. Réciproquement, si une telle E-application n'existe pas, c'est que le E-diagramme DE(A)n'est pas réalisable dans K, donc que Th∞
∀¬E(K)l'exclut : A ne peut donc pas être un modèle de cette théorie.
(3) Soit T :=Th∞(K), et soit T0l'ensemble des conséquences pseudo-E-inductives de T. Soit A T0. Notons Φ(A):=DE(A)et Ψ(A):=Th∞∀¬E(A|A). Soit X un ensemble de variables énumérant A et supposons que la théorie T∪Φ∪Ψ est inconsistente. On a alors T ∀XW
Φ(X/A)¬ϕ∨W
Ψ(X/A)¬ψ. Soit Θ := {¬ψ: ψ∈Ψ}: on a donc T ∀X VΦ(X/A) ⇒WΘ(X/A). Or, les formules de Θ sont équivalentes à des disjonctions de formules de E, donc l'énoncé χ := ∀X V
Φ(X/A) ⇒W
Θ(X/A)
est équivalent à un énoncé pseudo-E-inductif, si bien que A χ, puisque A T0. Or, ceci est impossi-ble, puisque l'énumération de A par X en est un contre-exemple. Par conséquent, il existe un modèle de T∪DE(A) ∪Th∀¬E∞ (A|A), qui spéci e uneE-application ré exive de A dans un objet de K. La réciproque est évidente.
Remarque 8.5. En appliquant le théorème de compacité, on peut dans le cas où K est élémen-taire, se contenter des versions finitaires des deux théories de l’énoncé.