Théories non renormalisables

D_µ = ∂_µ− ⁱ 4^ω¯µmnσ mn (6.126) ¯ ω_µmn = ω_µmn+ ⁱ 4^κ 2( ¯Ψ_µγ_mΨ_n+ ¯Ψ_mγ_µΨ_n− ¯Ψ_µγ_nΨ_m) (6.127) ω_µmn = ¹ 2^e ν m(∂_µe_nν − ∂_νe_nµ) + ¹ 2^e τ me_n^σ∂_σe_{τ q}e_µ^q− (m ↔ n) (6.128) ω_µmn étant la connection de spin. Les transformations locales de supersymé-trie sont δe_µ^m = −iκ ¯ξγ^mΨ_µ (6.129) δΨ_µ = ² κ ˜ D_µξ . (6.130)

6.4.3 Théories non renormalisables

On ne va pas discuter en détail les interactions dans une théorie locale de la supergravité. Une théorie des champs qui contient la relativité générale est non renormalisable. Il s'agit donc d'une théorie eective qui demande une explication plus fondamentale. Néanmoins ces théories eectives non renormalisables ont un rôle important à basse énergie, un peu comme la

théorie de Fermi par rapport aux interactions faibles ou la théorie chirale pour l'étude de la physique hadronique.

Une diérence importante dans le cas d'une théorie non renormalisable est la présence du potentiel de Kähler K(φi, φ^∗i) en plus du superpotentiel. Il s'agit d'une fonction réelle de φi et φ∗i avec les dimensions d'une masse au carré. On n'a pas discuté de ce terme dans le cas renormalisable puisque la seule possibilité était K = φ∗iφ_i. Dans le cas de la supergravité on a une échelle de masse, la masse de Planck, qui entre dans la construction du lagrangien. On peut dénir une quantité sans dimension, la fonction de Kähler G = ^K m2 P + ln ^W m3 P + ln^W ∗ m3 P (6.131) et ses dérivées Gⁱ = ^∂G ∂φi , G_i = ^∂G ∂φ∗i, G^j_i = ^∂ 2G ∂φ∗i∂φj . (6.132)

avec pour la matrice Gj

i une matrice inverse

(G⁻¹)^j_iG^k_j = (G⁻¹)^k_jG^j_i = δ^k_i . (6.133) Ces fonctions permettent de généraliser la contribution au potentiel scalaire du terme F

V = m⁴_Pe^{G }Gⁱ(G⁻¹)^j_iG_j− 3^ (6.134) où l'analogue du champ auxiliaire F est donné par

F_i = −m²_Pe^G/2(G⁻¹)^j_iG_j (6.135) dans le cas de la supergravité. La supersymétrie est spontanément brisée si au moins un des Fi a une valeur dans le vide non nulle. Avec le terme −3 dans le potentiel (6.134) on peut comprendre pourquoi la brisure de la supersymétrie locale peut se faire avec une valeur dans le vide qui est zéro, positive ou négative.

6.5 Solution des exercices

Exercice A

Le terme cinétique des spineurs de Majorana peut s'écrire en fonction des spineurs de Weyl

¯

Le lagrangien en termes des nouveaux champs est L = ¹ 2^(∂µA∂ µA + ∂_µB∂^µB) + ⁱ 2 ¯ Ψγ^µ∂_µΨ . (6.137) Les transformations de supersymétrie en fonction des deux descriptions sont équivalentes. Pour δA

δA = √¹

2^{(δφ + δφ}

∗

) = ¯ξΨ (6.138)

on procède de manière analogue pour δB. Inversement on peut montrer la transformation de δφ à partir de celles de δA et δB

δφ = √¹ 2^{(δA + iδB) =} 1 √ 2  ¯ ξΨ − ¯ξγ₅Ψ^=√ 2ξ_Wψ . (6.139) Pour montrer la transformation de δψ on peut partir de la transformation de δΨ

δΨ = −iγ^µ∂_µ(A + iγ₅B)ξ = −iγ^µ∂_µ√¹

2 ^{[φ + φ} ∗ + γ₅(φ − φ^∗)] = −i√ 2γ^µ∂µ  φ^{1 + γ5} 2 ^{ξ + φ} ∗ 1 − γ₅ 2 ^ξ  . (6.140)

En utilisant les propriétés des projecteurs données dans l'exercice on a, par exemple pour la composante haute du bispineur

δψ = −i√

2∂_µφσ^µξ^¯_W (6.141)

et une formule analogue pour la partie basse δ ¯ψ. On peut aussi partir de δψ et δ ¯ψ pour obtenir δΨ.

6.6 Bibliographie

Cours disponibles sur Internet: J. Bagger

Weak scale supersymmetry: Theory and practice. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9604232

H. Murayama Supersymmetry Phenomenology http://arxiv.org/abs/hep-ph/0002232 S.P. Martin A Supersymmetry Primer http://arxiv.org/abs/hep-ph/9709356 Livres disponibles sur Internet:

S.J. Gates Jr, M.T. Grisaru, M. Rocek, W. Siegel

Superspace, or One thousand and one lessons in supersymmetry http://arxiv.org/abs/hep-th/0108200

N. Polonsky

Supersymmetry : Structure and Phenomena http://arxiv.org/abs/hep-ph/0108236 Livres

J. Wess and J. Bagger

Supersymmetry and Supergravity Princeton

D. Bailin, A. Love

Supersymmetric Gauge Field Theory and String Theory IOP

P. West

Introduction to Supersymmetry and Supergravity World Scientic

P. Binetruy

Supersymmetry. Theory, Experiment, and Cosmology Oxford University Press

I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko

Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity IOP

Chapitre 7

Brisure de la supersymétrie

Pour construire un modèle phénoménologique de la supersymétrie pour la physique électrofaible il faut inclure un mécanisme de brisure. On va analyser des modèles de brisure spontanée de la supersymétrie. Tous ont en commun l'extension du modèle à haute énergie. De ce point de vue il ne s'agit pas seulement de construire une version supersymétrique du modèle standard, mais d'aller à des échelles d'énergie beaucoup plus grandes. Une autre pos-sibilité, moins ambitieuse, consiste à décrire de façon eective cette brisure seulement par l'introduction de termes de brisure explicite. Dans le cas du modèle standard supersymétrique minimal on va se limiter à cette approche eective.

7.1 Brisure souple

On a utilisé la supersymétrie pour éliminer les divergences quadratiques dans le problème de la hiérarchie entre l'échelle électrofaible et l'échelle de Planck. L'introduction de termes de brisure explicite ne doit pas introduire à nouveau ce problème. La relation entre les couplages sans dimension qui interviennent dans la compensation des divergences quadratiques doit être préservé. Ces considérations nous amènent à considérer des termes de brisure de la supersymétrie par des termes ayant des couplages avec une dimension de masse positive, comme par exemple des termes de masse. On parle dans ce cas de termes de brisure souple de la supersymétrie. Cette approche eec-tive de basse énergie est justiée par des modèles de haute énergie avec une brisure spontanée qui génèrent précisément ce type de termes. Les termes de

brisure souple vont donner des masses diérentes aux particules du modèle standard et à leurs partenaires supersymétriques. En pratique si on ne veut pas introduire un nouveau problème d'échelle, la diérence de masse ne peut pas être trop grande par rapport à la valeur de l'échelle électrofaible. Dans le cadre d'une théorie renormalisable les termes de brisure explicite souple de la supersymétrie sont1 L_souple = −¹ 2^mλλ aλ^a− ¹ 6^a ijkφ_iφ_jφ_k− ¹ 2^b ijφ_iφ_j+ c.c. − (m²)ⁱ_jφ^j∗φ_i . (7.1)

La formule (7.1) ne contient pas des termes souples dans les champs chiraux parce que l'on peut toujours redénir le superpotentiel et les constantes pour les éliminer. On peut prouver que la brisure souple de la supersymétrie géné-rée par (7.1) garantit l'absence à tous les ordres de la théorie des perturba-tions des divergences quadratiques pour les champs scalaires. La présence ou l'absence d'un terme du lagrangien de brisure souple (7.1) dépend des autres symétries de la théorie. Les paramètres de masse (m2)i

j pour les champs sca-laires sont toujours présents parce qu'il sut de choisir les champs φi et φj∗

dans deux représentations conjuguées des groupes de jauge. Les termes aijk

et bij ont la même forme que les termes yijk et mij du superpotentiel, donc ils sont présents si le terme correspondant du superpotentiel est permis par les symétries de la théorie.