Le secteur de Higgs

u, m2 ¯ d, m2 ¯ e: m²_i =    m²_i1 0 0 0 m2 i2 0 0 0 m2 i3    . (8.4)

Une simplication supplémentaire s'obtient en prenant les matrices me, mu, m_d proportionnelles aux matrices des couplages de Yukawa

me = aeye, mu = auyu, md= adyd. (8.5) De cette façon on reproduit pour les squarks et sleptons la même hiérarchie des couplages que pour les quarks et leptons avec des couplages grands pour la troisième famille. Pour éliminer des violations de CP supplémentaires par rapport au modèle standard on peut choisir des phases réelles

arg(m₁) = arg(m₂) = arg(m₃) = arg(a_u) = arg(a_d) = arg(a_e) = 0, π . (8.6) Ces contraintes sont appelées brisure souple universelle. Des versions plus ou moins fortes de ce genre de contraintes sont souvent utilisées dans les modèles supersymétriques à une échelle d'énergie élevée et les couplages à basse énergie sont obtenus par évolution avec le groupe de renormalisation. À l'échelle électrofaible les relations (8.4-8.6) ne sont pas respectées à cause de l'évolution entre l'échelle de haute énergie et l'échelle électrofaible, mais les corrections à ces relations sont en général petites à part les couplages de la troisième famille. En tout cas les contributions à la violation de CP et aux courants faibles qui changent la saveur restent petites.

8.4 Le secteur de Higgs

Le secteur de Higgs du MSSM est constitué par deux doublets complexes avec des couplages déterminés par la supersymétrie (modèle à deux doublets de type II). Le potentiel scalaire classique est

V = (|µ|²+ m²_H u) (|H_u⁺|2 + |H_u⁰|2) + (|µ|²+ m²_H d) (|H_d⁰|2+ |H_d⁻|2) + b (H_u⁺H_d⁻− H_u⁰H_d⁰) + c.c. + ¹ 2^g 2 2|H_u⁺H_d^0∗+ H_u⁰H_d^−∗|² + ¹ 8^(g 2 2 + g²₁) (|H_u⁰|²+ |H_u⁺|²− |H_d⁰|²− |H_d⁻|²)² . (8.7)

Les termes proportionnels à |µ|2 ont leur origine dans les termes F , par contre les termes proportionnels aux couplages de jauges g1 de U(1) et g2

de SU(2) proviennent des termes D. Le potentiel (8.7) n'est pas complet, il faudrait écrire aussi les contributions des sfermions, qu'on va négliger ici puisque leur valeur dans le vide reste nulle. Une transformation de SU(2) permet de mettre une composante à zéro sans perdre de généralité. On va choisir H+

u = 0 au minimum : ∂V/∂H+

u = 0 ce qui entraîne aussi H− d = 0. Ces conditions impliquent qu'on a un vide qui est électriquement neutre et qui ne brise donc pas l'électromagnétisme. Avec ce choix H+

u = H_d⁻ = 0, on a V = (|µ|²+ m²_Hu) |H_u⁰|2+ (|µ|²+ m²_H d) |H_d⁰|2− b (H0 uH_d⁰ + c.c.) + ¹ 8^(g 2 2 + g₁²) (|H_u⁰|2 − |H0 d|2)² . (8.8)

Le seul terme qui peut contenir une phase est b. Cette phase peut s'éliminer par une redénition des champs Hu et Hd. Les valeurs dans le vide des champs de Higgs peuvent être choisies réelles et positives et donc la symétrie CP n'est pas brisée par le potentiel de Higgs. Pour la brisure spontanée de la symétrie électrofaible on doit obtenir une combinaison linéaire des champs de Higgs neutres avec une masse carrée négative. Cette condition est vériée si

b² > (|µ|²+ m²_Hu) (|µ|²+ m²_H

d) . (8.9)

On peut noter que m2

Hu < 0n'est pas une condition susante pour la brisure spontanée de la symétrie si |µ| est trop grand ou si b est trop petit. Il faut aussi s'assurer que le potentiel est limité inférieurement puisqu'on a introduit des termes de brisure de la supersymétrie et que les résultats de positivité du potentiel dans le cas supersymétrique ne sont plus valables. La condition correspondante est

2b < 2|µ|²+ m²_Hu+ m²_H

d . (8.10)

Par exemple le choix m2

Hu = m2

Hd n'est pas compatible simultanément avec les conditions (8.9) et (8.10). Dans les modèles minimaux de supergravité ou avec médiation de jauge, la condition m2

Hu = m2

Hd est valable au niveau de l'arbre à haute énergie mais l'évolution à l'échelle électrofaible (basse énergie) modie cette relation et permet de satisfaire aux deux conditions (8.9) et (8.10). L'étude de la brisure de la symétrie électrofaible dans le MSSM est un cas particulier de l'étude d'un modèle à deux doublets de Higgs. On a

deux valeurs dans le vide hH0

ui = v_u hH0

di = v_d (8.11)

avec la relation suivante entre ces valeurs et la valeur v du modèle standard v =^qv2

u+ v2

d . (8.12)

La contribution relative des deux valeurs dans le vide est donnée en termes d'un angle tan β = ^vu v_d ^{, 0 < β <} π 2 ^. (8.13) On peut écrire |µ|2+ m²_H d = b tan β − ^mZ 2 ^{cos 2β} (8.14) |µ|2+ m²_H u = b cot β +^mZ 2 ^{cos 2β ,} (8.15)

qui satisfont les conditions (8.9) et (8.10). On peut noter que les paramètres b, m2

H_d, m2

Hu ont une origine liée à l'échelle de brisure de la supersymétrie, par contre µ a son origine dans un terme qui respecte la supersymétrie et qui en principe peut être d'une échelle plus grande. Par contre les équations (8.14) et (8.15) indiquent des paramètres de l'ordre de la masse du boson Z. C'est l'origine du problème du terme µ qui, dans un modèle plus fondamental que le MSSM, doit être lié à l'échelle de brisure de la supersymétrie.

Les deux doublet complexes donnent 8 dégrées de liberté scalaires réels. La brisure de la symétrie électrofaible, avec le mécanisme de Higgs en utilise trois, G0 et G± pour donner une masse à Z et W±. Cinq bosons de Higgs restent dans le spectre physique du MSSM : deux bosons neutres et pairs sous transformations de CP, h0 et H0; un scalaire neutre et impair sous CP, A0; deux scalaires chargés H±. La relation entre les états de masse et les champs des deux doublets est donnée en termes de deux angles, un angle de mélange pour le secteur neutre

h0 H⁰ ! =√ 2 ^{cos α − sin α} sin α cos α ! <H0 u − v_u <H0 d− v_d ! (8.16) et un angle de mélange β lié par l'équation (8.13) aux valeurs dans le vide

G0 A⁰ ! =√ 2 ^{sin β} − cos β cos β sin β ! =H0 u =H0 d ! , (8.17)

G+ H⁺ ! = ^{sin β} − cos β cos β sin β ! H+ u =H_d^−∗ ! , (8.18)

avec G− = G+∗ et H− = H+∗. Un développement du lagrangien autour du minimum donne les masses au niveau de l'arbre

m²_h0, H0 = ¹ 2  m²_A0 + m²_Z∓^q(m2 A0 + m2 Z)2− 4m2 A0m2 Zcos22β  (8.19) m²_A0 = ^2b sin 2β (8.20) m²_H± = m²_A0 + m²_W . (8.21)

L'angle de mélange α peut s'écrire au niveau de l'arbre en termes des masses m2 A0, m2 Z et de β tan 2α = tan 2β ^m 2 A0 + m²_Z m2 A0 − m2 Z . (8.22)

La masse du h0 est limitée supérieurement au niveau de l'arbre par

m_h0 < | cos 2β| mZ ; . (8.23) Les corrections radiatives modient ce résultat. En particulier en supposant que les masses des sparticules sont plus petites que 1 TeV et que les couplages restent dans la région perturbative jusqu'à l'échelle de l'unication (∼ 105

GeV) on obtient

m_h0 < 150 GeV . (8.24)

Cette limite peut être modiée par des masses souples plus grandes que un TeV, mais la variation est logarithmique, donc la prédiction d'un boson de Higgs léger et accessible aux collisionneurs des particules comme le TeVatron, le LHC ou un collisionneur linéaire e+e⁻ est un test fondamental de la su-persymétrie à basse énergie. Les propriétés de ce boson de Higgs dépendent du choix des paramètres du modèle et dans plusieurs cas sont semblables à celles du boson de Higgs du modèle standard. Il faut donc dans ce cas trouver d'autres déviations par rapport au modèle standard dans les données pour vérier l'hypothèse d'un modèle supersymétrique minimal.

Le paramètre tan β est un paramètre libre du MSSM, mais les recherches directes de la supersymétrie aux collisionneurs ont exclu une partie des va-leurs à petit tan β. Les modèles d'unication avec un groupe SO(10) prédisent une valeur de tan β grand et de l'ordre de mt/m_b.