Théorie diélectrique linéaire

Lorsque l'on considère la réponse d'un système à une excitation externe, on fait souvent appel au concept de "linéarité" dès que l'excita-tion peut être considérée comme une faible perturbal'excita-tion. La réponse est alors proportionnelle à l'excitation.

Dans le cas particulier de la théorie diélectrique, l'étude de l'interaction d'un ion en mouvement dans un solide peut être ramenée à l'étu-de l'étu-de l'interaction d'une charge ponctuelle avec un plasma en équilibre. Ce dernier est caractérisé par des densités égales de charges positives Po négatives po . La charge totale est ainsi nulle sur l'ensemble du volume et le potentiel du milieu est déterminé par l'équation de Poisson V2 <f> = 0.

w.

Las charges positives sont constituées de noyaux entourés de leurs coeurs électroniques et sont assez lourds pour que leur mouvement puisse être ignoré; ainsi toute perturbation du plasma peut être considérée comme étant principalement une perturbation de la distribution des électrons libres (valence et conduction) du milieu. En général, cette perturbation peut être due soit à un champ électrique E ( K, &>) (excitation électroma-gnétique) , soit à une charge en mouvement (excitation dynamique). Dans ce dernier cas, la présence d'une telle charge a pour effet de briser la neutra-lité locale du plasma ce qui conduit à la polarisation du milieu. Cette pola-risation traduit directement la réponse des électrons libres du solide et diffère selon la vitesse V. de la charge.Ainsi on peut distinguer trois domaines de vitesse :

- Vx = 0 : la polarisation du milieu se traduit par l'écrantage statique de la charge ï\ : les électrons du milieu sont attirés par la présence de cette charge et forment autour d'elle un nuage de charges négatives qui l'écrantent, il en résulte un potentiel écranté de symétrie sphérique.

- V < V„ : où V est la vitesse de Fermi des électrons libres du solide.

r r

Dans ce cas aussi il y a écrantage de la charge en mouvement, mais le potentiel n'est plus sphérique, il présente une déformation (ellipsoïdale) résultant d'une augmentation plus marquée de la densité électronique le long de la direction du mouvement.

- V > V : en plus de l'écrantage dynamique à proximité de la particule en r

mouvement, la polarisation du milieu conduit à des oscillations collecti-ves de la densité électronique derrière la charge en mouvement. Ces

oscil-lations sont dues â l'excitation des modes collectifs du gaz électronique par transfert de quanta appelés "Plasmons " d'énergie ii bip.

La fréquence <*• de ces oscillations est directement liée â la densité élec-tronique n du milieu par la relation

4 n no e" (20)

où e et m sont respectivement la charge et la masse de l'électron.

Remarque :

La fréquence up peut être exprimée sous forme :

, 4 H o où (n (-e) ) et (n m) sont respectivement

cop^z = — ° °

n~ m

la densité de charge et de masse du milieu. On constate à partir de cette expression que si on découpait l'électron en des quantités infinitésémales de façon à avoir des distributions de masse et de charge- continues, la fré-quence (op garderait la même valeur. Ainsi l'excitation collective du gaz élec-tronique ignore l'aspect individuel microscopique des électrons.

Les oscillations de la densité électronique peuvent être expliquées qualitativement de la façon suivante : la présence d'une charge en mouvement dans le plasma a pour effet d'augmenter localement la densité des électrons;

lorsque cette charge est animée d'une vitesse Vi plus grande que la vitesse V de ces électrons, ces derniers ne peuvent pas suivre la charge dans son mouvement, ils se retrouvent donc avec une énergie électrostatique plus éle-vée, cette énergie potentielle est transformée en énergie cinétique qui crée des déplacements cohérents des électrons autour de leurs positions d'équilibre.

Ceci donne lieu à des dilatations et des contractions du gaz électronique. Ce phénomène de sillage est similaire aux ondes sonores dans un fluide, à la seule différence que dans un plasma ce sont les forces de répulsion électro-statique, et non pas les forces de pression, qui sont responsables des oscil-lations des électrons.

La description du phénomène du sillage dans le cadre de la théorie diélectrique peut se faire d'une manière phénoménologique en considérant la polarisation du milieu due à la présence de la charge en mouvement. Ainsi toutes les propriétés du solide sont décrites par la fonction diélectrique e ( K,u ) où K et co sont respectivement le vecteur d'onde et la pulsation du champ de la perturbation. (Nous reviendrons avec plus de détails sur ce sujet ultérieurement).

La connaissance de la fonction diélectrique permet la détermination de deux grandeurs caractéristiques de la polarisation du milieu et par consé-quent de l'effet du sillage.

M.

- la densité électronique induite pihd ( r, t ) qui n'est rien d'autre que la distribution des électrons dans le sillage de la charge Zj en mouvement.

- le potentiel électrique scalaire 4> ( r, t ) induit dans le milieu par la présence d'une telle charge.

A ~ E2£

^e

.E£iSi_2i

^e

.£!:Ei9ii

^e

_5£ElaiE

^e

.

^:

Les champs électrique et magnétique induits par une charge en mouvement dans un milieu diélectrique, caractérisé par sa fonction diélectri-que e sont donnés par les équations de Maxwell permettant de relier les sources externes (P ext) aux champs et aux potentiels induits. En ce qui nous concerne la source externe est une charge Zj de vitesse Vj supposée ponctuelle qui petit donc s'exprimer en terme de densité de charge par la dis-tribution de Dirac.

(21) pe x t . (?, t ) = Z, e I ( î - V , t )

La polarisation du milieu est caractérisée par le déplacement élec-trique D qui s'exprime en fonction de l'excitation externe par la relation :

(22) V D = 4 n p ext (r, t)

En effectuant une transformation de Fourier des deux membres de l'équation (2) on arrive â l'expression :

(23) i K D = -A-ï Z^l S (a) - K Vj) (2n)3

-*-Dans le cas d'un milieu diélectrique non magnétique V A E = — = 0.

3t Par conséquent, le champ électrique E n'a pas de composante transversale, il est donc relié au vecteur déplacement électrique D par la composante longitudinale de la fonction diélectrique e (K,u ) :

(24) D = E, (K,u) E

Finalement, à partir du champ électrique E on peut déterminer le potentiel électrique scalaire $ (K,'J)) :

(25) E (K,u>) = i M (K i«)

En combinant les équations (23), (24) et (25) on arrive à une expression du potentiel scalaire en fonction de la charge externe et de la composante longitudinale e, (K,u)

* (K, OJ) = (2 n ) "²Z j 5(ui- kz V) (^ e (K,u>))~

2

oû K² = k² + k z² = k² + , avec k et kz respectivement les composantes transversale et longitudinale du vecteur K par rapport â la direction du faisceau.

A partir de l'expression (26) on est en mesure de déterminer la variation du potentiel dans l'espace et le temps, en effectuant à nouveau une transformation de Fourier. Ceci permet d'aboutir à l'expression du poten-tiel du sillage donné par NEUFELD ^^{3 2}^.

-• r r

îje (n VX) J kdk J„ (kr)J

- ² -> -¹ (27) 4 (r,z,t) = Zi e (n Vx) J kdk J„ (kr)J_- exp (iu z) (K e (K,u0) du où : r et z sont les coordonnées cylindriques; r étant la distance radiale par rapport â l'axe z de la direction du mouvement. A l'instant t les coordonnées de la charge en mouvement sont donnés par r = o et z • ïj t; z » z - Vjt.

- Jo : fonction de Bessel d'ordre zéro.

Une expression du potentiel $ (r,z,t) a été calculée par NEELAVATHI (33)

et al. utilisant une expression simplifiée de e, (K,<o) (modèle diélectrique local, voir ( § III 2) a ) .

(28) « (r,7) = E L B E ( g (?) - 2 sin ( * E - Ï - )

K

( iïSUL- )

e

" " ^ J

V1

,1 ' "o ' vl ' ' ^{2 V l} où K fonction de Bessel de première espèce modifiée du premier ordre

Y facteur d'amortissement des oscillations.

<M.

Ainsi le potentiel induit par une charge en mouvement dans un milieu (considéré comme un plasma) est la somme de deux termes

avec <j>i = —J P- g (r) où g (r) est la fonction écran du poten-Vl

tiel à proximité de la charge Z\e.

et *2 = - ^}—L (2 sin (ÏLa_L) K (-2EJ1) ^e ~^- ) Vj Vi ° V! 2 Vi représente le potentiel oscillant associé aux fluctuations de la densité électronique dans le sillage de la charge Zje.

L'expression de §2 appelle les remarques suivantes : l'amplitude des oscillations est proportionnelle à Z\ e

u-Vi

la longueur d'onde des oscillations est donnée par 2 1 Vj X p =

UP les oscillations sont amorties le long de la direction z du mouvement avec un facteur d'amortissement y caractéristique du milieu; cet amortissement est dû aux collisions électron-électron et électron-noyau au sein du plasma.

La figure ! 1 représente le terme oscillant du potentiel du sillage $2 en fonction de la distance à la charge Zj e.

Fig. 11 : Calcul de la distribution spatiale du potentiel de sillage induit par un projectile de vitesse Vi = 2 Vo dans du carbone

D'après P.M. EGHENIQUE et R.H. RITCHIE (Réf. 36).

B - Oscillationsde ig_densité_de charge :

Comme nous l'avons déjà mentionné, la charge totale dans un plasma en équilibre est nulle et les électrons libres sont répartis d'une manière uniforme dans tout le volume avec une densité p 0_

La présence d'une charge en mouvement dans le plasma brise la neutralité locale; il en résulte un excès de charge négative dans le sillage de cette particule. Lorsque celle-ci est animée d'une vitesse Vj > V~» la densité induite présente des oscillations.

La répartition spatiale et l'évolution temporelle de la densité de charge induite sont réduites dans la théorie diélectrique linéaire à un simple problème de polarisation du milieu. Ainsi en raison de cette polari-sation la densité de charge totale p tot (r, t) est différente de

Pext (r, t) et on peut écrire :

46.

(29) P .t o t <?. t) = P e x t • (?, t) + Pi n d (r. t)

P>. , (r, t) étant la densité de charge induite par la présence de la charge externe P. ,_ (r, t ) .

° ext

D'autre part,la densité de charge totale P (r, t) peut être reliée au potentiel électrique scalaire ij> (r, t) par l'équation de Poisson qui s'écrit dans l'espace de Fourier (K,u) de la façon suivante :

(30) K^z * (K, ni) = 4 II P^{t o J}. (K,u>)

Ce même potentiel <j> peut être exprimé en fonction de la source externe P donnée en équation (6) par :

(31) K2 ex (K.w) <f> (K.ui) = 4 II P ^ (K,u)

Les équations (10) et (11) permettent d'exprimer la densité de charge induite P. , (K,w) en fonction du fi (K,u) :

->• -y

+ Z¹ e S (ui - K Vi) ,

(32) (K, i») = ( 5 1 )

Mi n d ( 2 n )³ e^x (K.u)

A l'aide d'une transformation de Fourier inverse on aboutit à l'expression de la densité électronique induite en fonction de r et de t;

( P (?, t) = P i^{n d}( r , ~z) )

_ Z^xe

(33) P i^{n d} (r, z) = J duj k dk J„ (kr) e

(211) ² Vi

J" 4 - ~. — *» *('i A

V

\

^{E l}

( C a

⁾

) J

Nous constatons d'après cette expression que la connaissance de la fonction e (K, M ) est nécessaire pour pouvoir déterminer explicitement p£^{n (}j (r,z)

ECHENIQUE et al en utilisant l'expression de e (K,UJ ) donnée par le modèle hydrodynamique (voir § III, 2) b) ont calculé la densité de char-ge induite à partir de l'expression intégrale de l'équation (13).

•7 2 . B P A

_ Z u ) P C o s S

(34) P ind (r,z) e

2 n g ( V2 - B2) A

où A = C A ² T² - r² ) avec A ² = •;" ^{g 2 2} 1 ^- 6 , 1/2

£5 = (•=• V ) est la vitesse moyenne des électrons libres d'un gaz 3

3 r

électronique, calculée suivant la distribution de Ferihi-Dirac, elle traduit aussi la vitesse de propagation d'une perturbation dans ce gaz.

L'expression (34) de la densité induite présente une singularité en A = o correspondant â la relation suivante entre la distance radiale r et longitudinale z :

r = _Xz

V i² Vj

( " D

a

²

Cette équation définit l'enveloppe géométrique de la perturbation de la densité électronique du sillage qui sera donc délimitée par un cône de demi-angle au sommet

a = — = —— pour V >> B r S

z ^VÎ

La fig. 12 montre la distribution spatiale de la densité de charge dans le sillage d'une charge Zje de vitesse V en fonction de r et z.

*8.

Fig. 12 : Cône de Mach des distributions de charge dans le sillage.

on

D'après KEMMLER .

Cette figure rappelle le cône de Mach des vitesses supersoniques ou encore l'effet Cerenkov dans le cas où la vitesse d'une particule chargée dans un milieu excède la vitesse de la lumière dans ce milieu.

L'ouverture angulaire du cône de Mach est d'autant plus petite que la vitesse de perturbation est élevée. D'autre part, la densité électro-nique du sillage présente des oscillations de longueur d'onde

\ =

^{J L}

dont l'amplitude e s t proportionnelle à

Zl ^(Op

V, -£• et qui sont stationnaires dans un système de référence lié à la charge en mouvement.

Les expressions (27) et (33) du potentiel électrique scalaire et de la densité électronique du sillage dépendent uniquement de la fonction dié-lectrique e( K,u), appelée aussi fonction "réponse" dans le sens où la réponse du milieu peut être décrite par cette fonction. Cette description est d'autant plus réaliste que la fonction e( K, <o) tient compte de tous les mécanismes d'interaction qui apparaissent lorsque l'on perturbe un plasma. Ainsi nous allons voir dans ce qui suit les différentes propriétés de e(K,u> ) suivant les différents modèles existant dans la littérature.

C - Fonction diélectrique e. (K,U3 ) : a) J?r£priétés_gë_nérales_:

L'interaction d'une charge en mouvement avec un gaz d'électrons libres présente deux comportements différents :

- un comportement macroscopique conduisant à l'excitation collective des électrons qui se manifeste par des oscillations de la densité électronique du milieu,

- un comportement microscopique correspondant aux collisions binaires (élec-tron cible - charge en mouvement), au cours desquelles les élec(élec-trons sont individuellement diffusés par le potentiel coulombien de cette charge, for-mant derrière elle un flux de charges négatives.

Ces deux comportements en apparence inconciliables sont décrits simultanément d'une manière phénoménologique par la fonction diélectrique E ( K, (d) • En effet, si l'on considère l'aspect collisicnnel de l'interaction charge en mouvement - gaz électronique, les paramètres -h wet il ÎC sont inter-prétés comme étant l'énergie et la quantité du mouvement susceptibles d'être transférées lors de cette interaction.

Partant de cette considération FETTER et WALECKA (39) ont montré que les deux modes d'excitation,individuelle et collective, peuvent être sépa-rés en considérant une valeur critique (Kc= JJ—- de la quantité de mouvement

F transféré telle que :

- pour fi K < -fi Kc, il y a excitation collective des électrons - pour -fi K > fi Kc, il y a excitation individuelle des électrons.

Ceci peut se traduire d'une manière équivalente par la relation de dispersion reliant les énergies aux quantités de mouvement transférées dans les deux modes d'excitation. La relation de dispersion s'écrit"0' :

h K2

u = ui +

p 2 m

(35)

50.

La fig. 13 montre la variation de m en fonction de k déterminée à partir de la relation (35)

•Pig. 13

0 1 2 3

Quantité de mouvement k / kc

Relation de dispersion dans un gaz d'électrons libres. La zone hachurée correspond aux excitations individuelles et la courbe (e f) correspond aux excitations collectives.

D'après D. EINES (Réf. 40).

On peut remarquer que pour de faibles transferts de quantités de mouvement (K < Kc) l'expression '35) se réduit à :

dans ce cas l'excitation collective est prépondérante et les transferts d'éner-gie se font par quanta d1

l'expression (35) devient

gie se font par quanta d'énergie -h u (plasmon). Alors que pour K > Kc

2 m

ce qui correspond à l'énergie cinétique transférée à un électron individuel lors d'une collision binaire.

Remarque :

La séparation des modes d'excitation collective et individuelle peut s'effectuer d'une manière équivalente en considérant une valeur

criti-1 V F

que du paramètre d'impact pc = = — = _£. de telle sorte que :

- Pour des paramètres d'impact p < pc les électrons ont un comportement individuel.

- Pour p > pc les électrons ont un comportement collectif.

D'autre part, en plus de ces deux modes d'excitation, la fonction diélectrique e(K, <u) doit tenir compte de l'amortissement des oscillations de la densité électronique; cet amortissement est directement lié à la struc-ture du solide. En effet l'excitation collective des électrons est beaucoup plus importante dans le cas des conducteurs que dans le cas des isolants.

Cette excitation est décrite dans la théorie diélectrique par la fonction Im ( - 1 . ) , appelée fonction d'excitation, qui détermine la fréquen-ce de pésonanfréquen-ce . d'un gaz électronique m, = un et la largeur r de fréquen-cette

résonance qui représente le facteur d'amortissement.

A titre de comparaison nous avons présenté, sur la figure 14, la fonction d'excitation d'un conducteur (Aluminium) et d'un isolant (carbone amorphe).

Fig. 14 : Fonctions d'excitation dans l'Aluminium (a) et le carbone (b).

D'après R.H. Ritchie (Réf. 41)

52.

Nous constatons que pour l'Aluminium la fonction d'excitation présente une résonance aiguë. La densité des électrons de conduction pré-sente donc des oscillations bien définies qui ne s'amortissent pas rapide-ment. Cette résonance est caractérisée par son énergie de résonance •& <u =

o

15,3 e V et par sa largeur à mi hauteurr = 1 , 1 eV. Ainsi le nombre des oscillations qui peuvent avoir lieu dans l'Aluminium est fi tu » ,,. .,, . .

^ ^r °- = (14 oscillations).

r

Dans le cas du carbone amorphe qui est un isolant la structure du solide est telle que les oscillations de la densité électronique sont rapide-ment amorties, ce qui se traduit par une fonction d'excitation présentant une résonance très large. Si on prend encore l'exemple du carbone amorphe : l'énergie de résonance est fi up = 23 eV et sa largeur est r = 10,3 e V.

Les oscillations sont donc ici complètement amorties dès la deuxième période

(

_*JÏE=

²

) . r

b) Expressions de e (K, co) :

L'expression la plus générale de la fonction diélectrique

e (K,ai) a été calculée par LINDHARD; les différentes fonctions existant dans la littérature utilisent des expressions simplifiées qui n'en sont que des approximations. Nous allons présenter dans ce qui suit les principaux modèles qui sont utilisés pour décrire l'interaction d'une particule chargée avec un solide.

- Modêle_diélectri2ue_local. :

Ce modèle ne tient compte que des effets collectifs qui ont lieu à grands paramètres d'impacts ( p > _F ) ; le solide est considéré comme un

up

gaz électronique continu homogène et isotrope; l'interaction d'un tel système avec un champ perturbateur de haute fréquence est décrite par la limite de la

- . ^Lind.

(K,oi) de LINDHARD pour les grandes fréquences :

lim L i n d *°2P

( 3 6 ) e(u>) = ,•+ , = 1

-+ m ^ ( K , U ) m ( M + îr )

le gaz électronique se comportant comme un oscillateur harmonique amorti.

Il faut noter qu'une expression identique à celle donnée par l'équation (36) est obtenue si l'on considère une interaction â faible transfert de quantité

de mouvement. Ainsi pour K « Kc on a :

lind ²

lim E (K,uO = e(o, u)) = 1 + 2 — 2 K -*o us (u + ir) - Modèle hvdrodvnamigue :

BLOCH dans sa description hydrodynamique d'un gaz électronique subissant une perturbation externe a tenu compte du fait que les électrons libres d'un solide ne sont pas tous accordés sur la même fréquence d'oscilla-tions up. A partir de la distribution de Fermi-Dirac de la vitesse de ces électrons, BLOCH exprime la fréquence de résonance u à partir de la relation

> J T l

m² p + g² K² ( avec K < Kc )

étant la vitesse moyenne des électrons libres du gaz de F

Fermi.

La fonction diélectrique tenant compte de la dispersion en énergie des plasmons s'écrit donc :

e (K,uO = 1 + ÏÏLE

$² K²- u( u + ir)

Si on tient compte de la dispersion des plasmons la largeur de la résonance n'est donc plus donnée par r : il faut ajouter un terme dû à

g2K2

la dispersion, donné grossièrement parr . Le gaz électronique n'est plus un simple oscillateur harmonique de fréquence wp, mais une superposition d'oscillateurs de fréquences proches de la valeur up.

Les deux modèles que l'on vient d'exposer donnent une description des excitations collectives qui ne tient compte que des transferts de quanti-té de mouvement K < Kc (grand paramètre d'impact).

Nous allons maintenant présenter un modèle qui tient compte de l'aspect individuel des interactions particule chargée -solide car il contri-bue d'une façon significative aux effets ayant lieu à proximité de la parti-cule en mouvement.

54.

c) £p£rra_ima_tion £.j?-A.

Dans ce modèle l'expression de la fonction diélectrique utilisée par ECHENIQUE et al ( Plasmon pole approximation) (36) est :

2 + M P

e (K,U) = 1 + u2 + g2K2 + fi2 R- _ u ( ù i + .p )

8

T?

En plus des effets collectifs, de la dispersion des plasmons et de l'amortissement du au milieu, cette expression tient compte :

- des collisions binaires 3 faibles paramètres d'impact au cours desquelles il y a transfert d'une énergie cinétique -* à l'électron diffusé, - de la structure en bandes du solide (métal ou semi-conducteur) qui traduit le fait que les électrons du milieu ne sont pas tout à fait libres, mais dans des bandes permises séparées par une bande interdite de largeur -fi ug.

La détermination du potentiel scalaire et de la densité de charge induite caractéristiques du sillage s'effectue â partir des expressions (27) et (33) en utilisant pour fonction z-y (K,u) l'une des expressions correspon-dant aux trois modèles que l'on vient d'exposer. La figurel5 montre une comparaison entre les variations de densité électronique induite (pind = an) le long de la direction oz du mouvement d'une charge Z i e, obtenues à partir des trois modèles présentés.

/

•-0 05

Fig. 15 : variation spatiale de la densité électronique le long de la trace du projectile, calculée à partir des trois modèles décrits dans le texte. D'après P.M. ECHENIQUE et R.H. RITCHIE (Réf 36).

L'abscisse z = o correspond à l'abscisse de la position de la charge Zje. Nous constatons que les effets des collisions individuelles sont localisés dans le voisinage immédiat de la charge Zje5 et sont traduits dans la courbe (correspondant à l'approximation P.P.A.) par une augmentation de la densité électronique au site de cette charge. Alors que pour des distances

z ~ — , P l n <* = 5 n présente des oscillations correspondant aux effets col-lectifs de la densité électronique.

Nous allons maintenant voir comment on peut expérimentalement met-tre en évidence les fluctuations de la densité électronique du sillage.

Dans le document INSTITUT DE PHYSIQUE.NUCLEAIRE. Université Claude Bernard. 43,Bd.du 11 Novembre 1918-F69622 VILLEURBANNE Cedex (Page 43-59)