Modélisation à l’échelle « nano »
II. 8. Théorie d’élasticité non-locale intégrale
La théorie non-locale à gradients est une formulation non-locale souvent qualifiée de « faible». Il y a une autre théorie non-locale c’est l’approche non-locale intégrale ou « théorie non-locale forte ». Cette formulation a été développée initialement dans les années 1960 par Krumhanls, Kroner, et Kunin [65-67]. Ces auteurs partent du même constat : dans le cadre de l’élasticité
Thèse de DOCTORAT : Analyse vibratoire d’un nano-arbre tournant A. Belhadj 39 classique, les forces de cohésion à l’intérieur d’un solide sont modélisées par des forces de contact dont la portée est nulle. Or, les forces de cohésion dans un matériau réel possèdent clairement une certaine portée et ont donc un rayon d’influence non nul. Pour remédier à cette insuffisance, Kroner propose d’affiner la théorie des milieux continus élastiques en y introduisant des forces d’interaction à longue distance. De son côté, Krumhanls a travaillé sur la conversion de la théorie des réseaux en une théorie continue.
Une formulation améliorée de l’approche non-locale, qui précise les relations de comportement dans le cadre de la thermodynamique, est présentée par Eringen et Edelen au début des années 1970 [68]. Dans le cadre non-local, l’énergie interne en un point dépend du champ de déformation dans tout le solide. De ce fait, le premier principe de la thermodynamique doit être intégré sur l’ensemble du domaine d’étude.
Edelen et Laws [69,70] ont proposé une formulation « locale » du premier principe dans laquelle apparait un terme d’énergie résiduel supplémentaire. Ce résidu non-local représente l’énergie transmise en un point par tous les autres points du solide.
La loi de comportement proposée par Eringen peut se mettre sous la forme suivante :
𝑡𝑖𝑗(𝑥) − 𝐶𝑗𝑘𝑙 = ∫ 𝛼(|𝑥 − 𝑥′|, 𝑙)𝜉Ω. 𝑘𝑙,𝑙(𝑥′)𝑑Ω(𝑥′) (II.27) Où t et ε sont respectivement le tenseur de contrainte non-local et le tenseur des déformations linéarisé.
C correspond au tenseur d’élasticité et α (|x’-x|, 𝑙) est la fonction de caractérisation non-locale.
II.9. Théorie d’élasticité non locale appliquée aux nanostructures. II. 9. 1. Nano-plaques
Plusieurs travaux de recherches ont été faits traitants l’analyse dynamique des nanostructures qui sont souvent utilisés dans les systèmes électromécaniques (NEMS/MEMS), généralement les structures plaques nanométriques étudiées sont les mono feuilles de graphène [71-73], Abdoulhai et Ghassimi [74] ont étudié ces nano-feuilles par la méthode d’élasticité non locale et en utilisant la méthode des quadratures différentielles (DQM). Le flambage de ces nano-feuilles est également étudié à part [75, 76] et avec la vibration [77].
Bachher et Sarkar [78] ont établi une nouvelle théorie non locale pour les matériaux thermoélastiques généralisés contenants du vide basé sur la théorie d’Eringen et la dérivative fractionnelle de Caputo pour étudier la propagation de l’onde dans les matériaux
Thèse de DOCTORAT : Analyse vibratoire d’un nano-arbre tournant A. Belhadj 40 thermoélastiques infinis. Récemment, l’analyse structurale des nano-plaques a attiré l’attention de plusieurs chercheurs en étudiant leur statique et dynamique et dans différents milieux et conditions [79-84].
II. 9. 2. Nano-coques
Arefi et Zenkour [85] ont étudié une nano-coque en FGM avec des propriétés matériels supposé d’être du céramique avec un métal ayant une loi de distribution d’énergie basé sur la théorie non-local, ils ont utilisé l’approche FSDT (Firest_order shear deformation theory) pour les déformations simultanées en axial et en radial. Farajpour [86] a analysé le flambage magnéto électro-élastique des nano-coques dans un environnement thermique. D’autres travaux de recherches traitants le sujet des nano-coques ont été menés récemment [87-91].
Torkman-asadi et al. [92] ont étudié les vibrations libres des nanotubes de carbone à hautes vitesses de rotation dans des fondations élastiques de type Winkler, ils ont employé la théorie des coques pour étudier la géométrie CNTs, les équations gouvernantes ont été engendré en introduisant la théorie de Love [93], ils ont étudié l’effet de la vitesse de rotation, de la fondation élastique et du paramètre nonlocal sur les fréquences naturels.
Hussain et al. [94] ont évalué les fréquences fondamentales des SWCNT à l'aide de WPA (wave propagation approch) sur la base de Théorie de la coquede Donnell. L’effet de la rigidité dans le plan, de la masse volumique par unité de surface latérale avec différents indices de fauteuil et de zigzag ont été pris en compte. Zeighampour et al. [95] a mené une étude sur la vibration des DWCNT en utilisant la théorie des contraintes de couple. L'équation du mouvement a été développée avec Théorie de la coque de Donnell utilisant des conditions aux limites libres simplement soutenues et bloquées. Les résultats ont été présentés pour la longueur, la vitesse et l'amortissement des nanotubes des fondations de Pasternak. Les effets de fréquences ont été présentés avec l’influence des forces de van der Walls et du fluide dans le DWCNT. La conclusion de ce travail est que les résultats prévus sont plus précis que celui des calculs antérieurs.
II. 9. 3. Nano-poutres
La théorie d’élasticité non locale a été largement employée dans l’analyse structurale des poutre. En effet, Apuzzo et al. [96] ont proposé une modélisation non locale pour les nano-poutres basé sur une forme spéciale d’énergie libre dépendante à un facteur qui mène à un problème structurale d’équation différentielle d’ordre six, ils ont utilisé la méthode des éléments finis et montré l’efficacité de cet approche. Bagdatli et Togun [97] ont employé une nano-poutre d’Euler-Bernoulli pour la vibration et l’analyse de stabilité de cette nano-poutre transmettant
Thèse de DOCTORAT : Analyse vibratoire d’un nano-arbre tournant A. Belhadj 41 un fluide. Barati [98] a étudié l’effet du surface et de l’échelle réduit sur la vibration non linéaire des nano-poutres flexoélastques exposés à un champ magnétique, il a utilisé la méthode Galerkin pour satisfaire les conditions aux limites, il a montré l’effet significatif de certains paramètres comme : l’intensité du champ magnétique, l’effet de l’échelle, la fondation élastique et le voltage appliqué sur la vibration non linéaire.
Belhadj et al. [99] ont étudié la vibration linéaire d’une nano-poutre (SWCNT) dans un milieu élastique en utilisant la théorie d’élasticité non locale et la méthode DQM, ils ont montré l’effet de l’échelle et le milieu élastique sur la dynamique vibratoire du SWCNT. Ils ont [100] aussi étudié l’employabilité de l’élasticité non locale en vibration des nano-poutres.
Dans ce chapitre, une formulation mathématique pour la modélisation des nanostructures par la théorie non classique d’Eringen qui décrit l’élasticité non locale pour les corps solides à l’échelle réduite, est présenté basée sur la théorie des nano-plaques, nano-coques et nano-poutres. La théorie des nano-poutres D’Euler-Bernoulli sera employé ensuite pour modéliser notre nanostructure tournante.
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