3.2 Cohomologie des Préfaisceaux Simpliciaux
3.2.3 Théorie Cohomologique Générale
Définitions
Prenons maintenant un préfaisceau F . On veut se ramener à un cas que l’on sait traiter. Pour cela on remarque que le 1-tronqué de F est un ensemble simplicial équivalent au nerf du groupoïde fondamental G := π1(F ), noté NG. On
considère alors la construction de Grothendieck associé à G (cf [SGAI] exposé V I,9). Il s’agit d’une catégorie cofibrée sur D, que l’on peut voir aussi comme une catégorie fibrée car G est un préfaisceau en groupoïdes. Nous la noterons D/G.
Definition 3.2.15. La catégorie D/G est décrite comme suit
i. L’ensemble de ses objets est l’ensemble des couples (X, x) où x : X → NG (soit x ∈ G(X)).
ii. Pour deux objets (X, x), (Y, y), l’ensemble des morphismes de (X, x) dans (Y, y) est l’ensemble des couples (f, u) où f est un morphisme de sP r(D), f : X → Y et u un isomorphisme dans G(X) := π1(F (X)), u : y ◦ f w x.
Remarquons que
On a un plongement naturel de D/G dans Ho(sP r(D)/NG), en particulier
HomD/G((X, x), (Y, y)) w π0M apsP r(D)/NG((X, x), (Y, y))
On commence par considérer le foncteur suivant, dont on veut construire une extension de Kan
g
(−) :D/G → sP r(D)/NG
La catégorie de départ étant une sous catégorie de la catégorie homotopique associée à la catégorie d’arrivée, il nous faut pour construire ce foncteur, donner un modèle fibrant dans sP r(D)/NG d’un objet X ∈ D/G.
Definition 3.2.16. Soit (X, x) ∈ D/G, on lui associe le préfaisceau en groupoïde GX,x donné par
GX,x:= D → Gpd
S → GX,x(S)
L’ensemble des objets de GX,x(S)est donné par l’ensemble des triplets (u, y, h) où u : S → X, y ∈ G(S) et h est
un morphisme de G(S) tel que h : x ◦ u w y.
Pour deux triplets (u, y, h), (u0, y0, h0), l’ensemble des morphismes Hom
GX,x(S)((u, y, h), (u
0, y0, h0))est donné par
l’ensemble des endomorphismes k de S tels que
k∗(h : x ◦ u → y) = h0: x0◦ u0→ y0
Definition 3.2.17. Soit (X, x) ∈ D/G, on note ( ˘X, ˘x) := N GX,x
Il s’agit presque là du foncteur g(−)que nous cherchions. On a en particulier, pour (X, x) ∈ D/G un diagramme commutatif dans les préfaisceaux en groupoïde sur D
X x // j DD""D D D D D D G GX,x l ==z z z z z z z z
Où l’on note toujours (X, x) ∈ P rGpd(D). Pour tout S ∈ D le morphisme j est donné par
j(S) : HomD(S, X) → GX,x(S)
(u : S → X) → (u, x ◦ u, Id)
En particulier, j est une équivalence de groupoïdes par niveau. De plus, le morphisme l est donné pour tout S par la projection sur G(S), (u, y, h) → y. On a donc clairement l ◦ j = x. On obtient donc, en appliquant le foncteur Nerf, un diagramme commutatif dans sP r(D)
X x // N j @@ @ @ @ @ @ N G ˘ X ˘ x =={ { { { { { { {
Le morphisme Nj définit une équivalence faible de X dans ˘X. Le morphisme ˘x est donné par Nl. Lemme 3.2.18. L’application des objets de D/G dans les objets de sP r(D)/NG
˘
(−) : (X, x) → ( ˘X, ˘x) définit un foncteur
Preuve
On le calcule donc sur les morphismes. Soit u : (X, x) → (Y, y) un morphisme dans D/G, on a en particulier y ◦ u w x dans G(X). On obtient donc, en prenant l’image par j, pour tout S dans sP r(D)
j(u)(S) : GX,x(S) → GY,y(S)
(v, z) → (u ◦ v, z) On remarque alors que le diagramme
˘ X u // ˘ x !!C C C C C C C C Y˘ ˘ y }}|||||| || N G Commute strictement dans sP r(D).
On remarque alors que si ˘X est un modèle fibrant pour X, on a encore besoin de prendre un remplacement cofibrant (dans sP r(D)/NG) pour obtenir une foncteur g(−)de Quillen.
Definition 3.2.19. On définit le foncteur g
(−) :D/G → sP r(D)/NG (X, x) → ( eX,x) = Q( ˘e X, ˘x)
Definition 3.2.20. Le foncteur g(−) induit par extension de Kan un foncteur toujours noté g
(−) : sP r(D/G) → sP r(D)/NG
Remarque 3.2.21. La catégorie sP r(D/G) n’est autre que la catégorie des objets simpliciaux dans P r(D/G). Or un préfaisceau H sur D/G n’est autre qu’un préfaisceau interne sur G. Plus précisément, pour tout X ∈ D, H(X, −) est un foncteur de G(X) dans Ens muni d’une action naturelle de G(X) et d’une projection naturelle vers le foncteur ensemble sous-jacent qui a G(X) associe l’ensemble de ses objets. On a en particulier un diagramme commutatif
H G1×G0H // oo H G0 G1 s // b oo G0
Où s et b sont les flèches sources et but, G0 est le préfaisceau sous-jacent à G et G1 est le préfaisceau des flèches de
Gqui à tout X associe l’ensemble des morphismes du groupoïde G(X).
On a un cas particulier plus intuitif, celui où G est un préfaisceau en groupe i.e. où G(X) n’a qu’un seul objet pour tout X. On peut alors voir H comme un préfaisceau sur D muni d’une action de G.
En toute généralité, La catégorie sP r(D/G) est équivalente à la catégorie sP r(D)N Gdes NG-diagrammes, où NG
est le préfaisceau simplicial nerf de G, que l’on retrouve par exemple dans [J]. Définissons maintenant son adjoint
Definition 3.2.22. On définit le foncteur
(−)1: sP r(D)/NG → sP r(D/G)
u : (H → N G) → H1:= (x : X → N G) → Hom∆sP r(D)/NG(( eX,ex), (H, u)) où Hom∆ désigne le Hom enrichi sur les ensembles simpliciaux.
L’objet (X,e ex)étant cofibrant, ce foncteur est de Quillen à droite. On va montrer que (−)1 et g(−)définissent une
équivalence de Quillen.
Lemme 3.2.23. Le foncteur (−)1 est adjoint à droite du foncteur g(−).
Preuve
Soit (X, x) ∈ D/G et G ∈ sP r(D)/NG alors on a
Hom∆sP r(D/G)(( eX,ex), G) = G1(X, x) w Hom∆sP r(D/G)((X, x), G1)
De plus, si H ∈ sP r(D/G), on peut l’écrire H w ColimI((Xi, xi))et en particulier, g(−) étant une extension de kan,
e
H w ColimI( eX,ex)et on a
Hom∆sP r(D)/NG(H, G1) w LimIG1(Xi, xi) w LimI(Hom∆sP r(D/G)(( eX,x), G)) w Home
∆
sP r(D/G)( ˜H, G)
Le foncteur (−)1 est de Quillen à droite. On va montrer que le foncteur dérivé R(−)1 commute aux colimites
homotopiques. On a R(−)1: Ho(sP r(D)/NG) → Ho(sP r(D/G)) H → RH1 et Lg(−) : Ho(sP r(D/G)) → Ho(sP r(D)/NG) H → L eH
les foncteurs dérivés.
Donnons maintenant la définition suivante
Definition 3.2.24. Soient (H, h) ∈ sP r(D)/NG et (X, x) ∈ D/G. Alors on définit (HX, hx) par le diagramme
homotopiquement cartésien. HX // hx H h X x // NG On a alors les deux résultats suivants
Lemme 3.2.25. Soient H w Hocolim(Hi) ∈ Ho(sP r(D)/NG) et (X, x) ∈ D/G
On a HX w Hocolim((Hi)X)dans Ho(sP r(D)/NG).
On a RH1(X) w M apsP r(D)/X((X, Id), (HX, hx))
Preuve
Ces propriétés sont vraies dans les ensembles simpliciaux. Elles se généralisent aux préfaisceaux simpliciaux par une démonstration identique à la preuve pour les ensembles simpliciaux.
Corollaire 3.2.26. Le foncteur R(−)1 commute aux colimites homotopiques.
Preuve
On considère H w Hocolim(Hi). Alors pour tout X ∈ D/G
RH1(X) w M apsP r(D)/NG((X, Id), ([Hocolim(Hi)]X))
w M apsP r(D)/NG((X, Id), Hocolim[(Hi)X])) w Hocolim(R(Hi)1(X))
On peut maintenant démontrer la proposition qui nous intéresse. Remarquons que cette proposition est un cas particulier du théorème 20 de [J]. Il faut pour cela appliquer ce théorème à la catégorie sP r(D)N G des NG-
diagrammes, où NG est le préfaisceau simplicial nerf de G, qui comme nous l’avons remarqué précédemment est équivalente à sP r(D/G).
Proposition 3.2.27. Les foncteurs (−)1 et g(−) définissent une équivalence de Quillen.
Le foncteur (−)1commute clairement aux équivalences faibles, en se référant à la suite exacte
H1→ H → τ≤1H
Son adjoint est donc de Quillen à gauche et commute lui aussi aux colimites homotopiques. On peut le décrire plus précisément. Soit (H, h) ∈ sP r(D/G) alors H s’écrit comme une colimite homotopique d’objets représentables (Xi, xi)
dans Ho(sP r(D/G)) et on a un isomorphisme dans Ho(sP r(D))
e
H w Hocolim(fXi)
Comme (−)1commute aux équivalences faibles et aux colimites homotopiques, on a
( eH)1w Hocolim( eXi)1w Hocolim(Xi) w H
Cela implique que si H est cofibrant dans sP r(D/G) et H0 est fibrant dans sP r(D)/NG, comme (
e
H)1w H, on a un
morphisme entre suites exactes
H // e H // NG Id H10 // H0 // NG
Où les deux morphismes verticaux sont images l’un de l’autre par l’adjonction. Il est alors clair que ces deux morphismes sont simultanément des équivalences faibles et cela prouve la proposition 3.2.27.
On en arrive maintenant à la définition de cohomologie. En effet, F1est la fibre homotopique de F → τ≤1F w N G
et est donc simplement connexe. Passer à la catégorie sP r(D/NG) permet donc de se ramener à un cas simple que nous savons traiter. On rappelle que l’on a un préfaisceau en groupe simpliciaux K(M, n) sur D/G. On noteK(M, n)e l’image de cet objet par le foncteur g(−) et LK(M, n)e son image par le foncteur dérivé Lg(−)
On commence par donner la définition de système local.
Definition 3.2.28. Soit F ∈ sP r(D). Un système local sur F est la donnée d’un préfaisceau en groupe abélien sur D/G où G est le groupoïde fondamental de F . On notera Sysloc(F ) la catégorie des systèmes locaux sur F .
On va définir un groupe de cohomologie de la façon suivante.
Definition 3.2.29. 3.2.27 Soit F un préfaisceau simplicial et M un système local sur F , on définit Hn(F, M ) := π
0M apsP r(D)/NG(F, L eK(M, n))
Le rôle de M sera joué dans les exemples que nous traiterons par les préfaisceaux πn(F ). Ceux-ci bien que définis
sur (D/F )0se relève en des préfaisceaux sur D/G. On écrit pour cela le lemme suivant
Lemme 3.2.30. Le foncteur
πn(F ) : (D/F )0→ Gr
se relève en un foncteur toujours noté πn(F ) πn(F ) :D/G → Gr
Preuve
Se donner un point de F (X) revient à se donner un point de G(X). La seule chose à montrer est que le relèvement de πn(F )construit objet par objet est fonctoriel. Soit donc f, u un morphisme dans D/G, de (X, x) dans (Y, y), comme
on a un isomorphisme dans G(X), u : y ◦ f w x, on en déduit que f∗(y) et x sont dans la même composante connexe
de G(X), soit que l’on a bien un morphisme induit
πn(F )(X, x) w πn(F )(X, f∗(y)) → πn(F )(Y, y)
Notons que, comme dans le cas connexe, le préfaisceaux LK(M, n)e admet M comme n-ème groupe d’homotopie et admet les mêmes π0et π1 que F . Ses autres groupes d’homotopie étant quant à eux triviaux.
Theoreme 3.2.31. Soit G un groupoïde, alors pour tout m, le foncteur Hm(N G, −) : Sysloc(N G) → Ab
M → Hm(N G, M ) est isomorphe au n-ème foncteur dérivé du foncteur H0(N G, −).
Preuve
On a une équivalence entre la catégorie des préfaisceaux en groupes abéliens simpliciaux sur D/G et la catégorie des complexes de préfaisceaux en groupes abéliens concentrés en degrés négatifs ou nuls avec une différentielle positive. On note respectivement sAb(D/G) et C−(D/G, Ab) ces deux catégories. Il s’agit là d’une généralisation de la corre-
spondance de Dold-Kan. On a ainsi toujours une correspondance entre les quasi-isomorphismes de complexes et les équivalences faibles de préfaisceaux simpliciaux. ce qui induit une équivalence sur les catégories homotopiques. La catégorie homotopique des complexes étant notée D−(D/G, Ab).
Γ : D−(D/G, Ab) w Ho(sAb(D/G)) On rappelle alors que les foncteur dérivés sont donnés par
Hm
der(D/G, M) w HomD−1(D/G,Ab)(Z, M [m])
Où Z est regardé comme le préfaisceaux constant de fibre Z et M[m] est le complexe concentré en degrés −m de valeur M. Le foncteur Γ induit donc un isomorphisme
HomD−1(D/G,Ab)(Z, M [m]) w HomHo(sAb(D/G))(Γ(Z), Γ(M [m]))
Et Γ(Z) est équivalent dans sAb(D/G) au préfaisceau constant de fibre Z. Γ(M[m]) est quant à lui équivalent à K(M, m). Donc
HomD−1(D/G,Ab)(Z, M [m]) w HomHo(sAb(D/G))(Z, K(M, m)) L’adjonction de Quillen entre le foncteur abélianisation Z(−) et le foncteur d’oubli j :
sAb(D/G) Z(−)// sP r(D/G) j oo Donne finalement
HomD−1(D/G,Ab)(Z, M [m]) w HomHo(sP r(D/G))(∗, K(M, m)) w Hm(N G, M )
Théorie de l’Obstruction
Comme pour le cas pointé, on a un diagramme homotopiquement cartésien dans sP r(D/G). τ≤nF1 //
*
τ≤n−1F1 // K(πn(F ), n + 1)
Ce diagramme donné pour le cas particulier d’un ensemble simplicial par la proposition 5.1 de [GJ] appliquée à la tour des n-tronqués de cet ensemble. Le groupoïde fondamental de F1 étant en effet trivial. La construction de ce
diagramme homotopiquement cartésien étant fonctorielle, elle s’étend aux préfaisceaux simpliciaux sur une catégorie donnée, ici D/G.
Par l’équivalence de Quillen 3.2.27, on obtient un diagramme homotopiquement cartésien τ≤nF //
N G
τ≤n−1F // LK(πe n(F ), n + 1)
Et si H est un préfaisceau simplicial qui envoi sur τ≤n−1F alors il se relève à τ≤nF si le morphisme naturel H →
L eKF(π
n(F ), n + 1)correspond à l’élément nul du groupe
Changements de Bases
Il nous sera utile par la suite de considérer le changement de base d’un préfaisceau simplicial F vers un préfaisceau simplicial F0au dessus de τ
≤1F w N G (dans Ho(sP r(D))). Soit G0le préfaisceau en groupoïde vérifiant τ≤1F0w N G0.
On note u : NG0→ N G On a une adjonction
sP r(D)/NG0
u∗ //
sP r(D)/NG
−×N GN G0
oo
Où le foncteur d’oubli u∗ commute aux équivalences faibles et aux cofibrations et est donc de Quillen à gauche. On
obtient donc une adjonction sur les catégories homotopiques.
M apsP r(D)/NG(u∗F0, L eK(πn(F ), n + 1)) w M apsP r(D)/NG0(F0, L eK(πn(F ), n + 1) ×hN GN G0) Or les groupes d’homotopies de LK(πe n(F ), n + 1) ×hN GN G
0 sont donnés par π
n(F )au rang n + 1 par les π1 et π0 de
F0 aux rangs 0 et 1 et sont triviaux aux autres niveaux. On a donc une équivalence faible L eK(πn(F ), n + 1) ×hN GN G0 w L eK(πn(F ) ◦ u∗, n + 1)
D’où
π0M apsP r(D)/NG(u∗F0, L eK(πn(F ), n + 1)) w Hn+1(F0, πn(F ))
En particulier, un morphisme de F0 dans τ
≤n−1F se relève à τ≤nF si et seulement si il correspond à un élément nul
du groupe de cohomologie
Hn+1(F0, π n(F ))