Nous rappelons brièvement dans cette partie le recollement de la théorie des schémas relatifs et de la théorie usuelle des schémas au dessus de Z lorsque la catégorie de base est (Z − mod, ⊗Z, Z). On notera Ann la catégorie des anneaux
commutatifs, Sch(Z) la catégorie des schémas relatifs à Z − mod et AffZ la catégorie Ann
op. On notera Sch la
catégorie usuelle des Z-schémas et Aff la catégorie usuelle des Z-schémas affines.
Definition 1.8.1. Soit F ∈ Sch(Z). On définit l’ensemble des points de F par |F | := E(F )/ ∼ où E(F ) est l’ensemble des couples (K, x) où K est un corps et x ∈ F (Spec(K)) et où ∼ est la relation d’équivalence donné par (K, x) ∼ (K0, x0)si et seulement si il existe L un corps et i : K → L, j : K0 → L tels que F (i)(x) = F (j)(x0). Cela
définit un foncteur | − | : Sch(Z) → Ens.
Lemme 1.8.2. Soit u : F → G ∈ Sch(Z) et Spec(A) ∈ AffZ
L’ensemble |Spec(A)| est isomorphe à l’ensemble des idéaux premiers de A. Si u est une immersion Zariski ouverte alors |u| : |F | ,→ |G|.
Si |F | w ∅ alors F w ∅. Preuve
- Soit prem(A) l’ensemble des idéaux premiers de A. On considère le morphisme ϕ : |X| → prem(A)
(K, x) → Ker(x)
On vérifie que ce morphisme est bien définit. L’idéal Ker(x) est premier car K est un corps. et si (K, x) ∼ (K0, x0), K et K0 s’injectent dans un même corps L par des morphismes qui égalisent x et x0 donc Ker(x) = Ker(x0).
Montrons que ce morphisme est injectif. Soit (K, x) et (K0, x0)deux points tels que ker(x) = ker(x0) = p. Alors
K et K0 s’injectent dans L := K ⊗A/pK0 par un morphisme qui égalise x et x0. (K, x) et (K0, x0)sont donc
équivalents. Montrons que ce morphisme est surjectif. Soit p ∈ prem(A), alors p = ker(A → Ap→ Ap/p).
- Supposons maintenant que u soit une immersion Zariski ouverte alors c’est en particulier un monomorphisme dans Sch(Z), son image par E est donc un morphisme injectif. La compatibilité avec ∼ implique que le morphisme est toujours injectif pour | − |.
- Supposons que |F | w ∅, alors soit (Xi)i∈I un atlas affine de F , on a d’après le point précédent |Xi| = ∅pour
tout i. Donc d’après le premier point, les Ai tels que Xi = Spec(Ai) n’ont pas d’idéaux premiers propres, ils
sont donc nuls. Enfin, on a un épimorphisme ∅ w `i∈IXi→ F donc F est initial dans Sch(Z), par conséquent
F w ∅.
On doit maintenant définir une topologie sur l’ensemble des points. Pour cela remarquons que la catégorie des ouverts Zariski d’un objet F ∈ Sch(Z), dont les morphismes sont les immersions Zariski ouvertes, notée Ouv(F ), est un lieu. Une intersection de deux ouverts Zariski X1, X2de F est donné par X1∩X2:= X1×FX2, une union d’ouverts
est donnée par la définition suivante
Definition 1.8.3. Soit F ∈ Sch(Z) et (Xi)i∈I une famille d’ouverts Zariski de F . Alors l’union des Xi est donné par
Il est alors intéressant de remarquer que cette union s’obtient en fait par le conoyau dans Sch(Z)(cf 1.4.17) ∪i∈IXi := coker(
`
i,j∈I2Xi∩ Xj ////`i∈IXi )
Lemme 1.8.4. Le foncteur | − | : Ouv(F ) → P (|F |) commute aux sommes petites et aux produits finis. Preuve
Le foncteur | − | commute aux limites finies dans Sch(Z) car pour tout corps K, le foncteur HomSch(Z)(Spec(K), −)
commute aux limites petites, et | − | est définit par la colimite filtrante de cette famille de foncteurs, indexée par une famille petite de classes d’équivalences de corps, donc commute aux limites finies. On en déduit que | − | commute aux produits finis.
Pour les unions petites, prenons (Xi)i∈Iune famille d’ouverts Zariski de F . On a un monomorphisme Xi→ ∪i∈IXi
que l’on met en évidence en écrivant la réunion comme une limite. il induit un morphisme injectif |Xi| ,→ | ∪i∈IXi|
pour chaque i et il y a donc un morphisme résultant ∪i∈I|Xi| ,→ | ∪i∈I Xi|. Montrons qu’il est surjectif. Soit
x : Spec(K) → X := ∪i∈IXi un point de X. Soit Zi:= Spec(K) ×XXi, alors par changement de base, c’est un ouvert
Zariski de Spec(K), ils sont donc vide ou isomorphes à Spec(K). Supposons qu’ils soient tous vides, en remarquant que par changement de base, ∅ w `i∈IZi → Spec(K) est un épimorphisme, on en déduit Spec(K) w ∅, ce qui
est absurde. Par conséquent, il existe i ∈ I tel que x se factorise par Xi i.e. est un point dans |Xi|. Finalement
| ∪i∈IXi| w ∪i∈I|Xi|.
Remarque 1.8.5. Si F est un schéma qui admet un atlas affine (Xi)i∈I, on obtient alors F w ∪i∈IXi. cela étant vrai
pour tout sous schéma ouvert de F , les ouverts affines forment une base d’ouvert de |F |.
Definition 1.8.6. Soit F ∈ Sch(Z), on définit une topologie τ sur |F | dont les ouverts sont les images par | − | des ouverts Zariski de F . L’ensemble |F | muni de la topologie τ est appelé l’espace topologique sous-jacent à F et est noté |F |. Une base de cette topologie est donné par les images par | − | des ouverts affines de F .
Remarque 1.8.7. on retrouve bien par cette méthode les ouverts au sens usuel d’un schéma affine. En effet, les ouverts affines Spec(B) d’un schéma affine Spec(A) sont exactement les spectres des anneaux B tels que A → B soit un épimorphisme plat de présentation finie. La platitude enrichie étant ici équivalente à la platitude simple. Les affines formant une base d’ouverts, cette définition redonne tous les ouverts au sens usuel d’un schéma affine et définit un isomorphisme sur les catégories Ouv associées. Notons que l’on retrouve aussi les ouverts d’un schéma non affine, car ceux-ci sont définis à partir des ouverts des schémas affines (1.7.5).
Definition 1.8.8. Soit F ∈ Sch(Z), On définit le faisceau structurel en anneau commutatif OF sur les ouverts affines.
OF : Ouv(|F |) → Ann
|U | → Asi U = Spec(A) Cette définition s’étend naturellement à tout ouvert par recollement.
Definition 1.8.9. Soit F un schéma. L’espace topologique |F | muni du faisceau OF est appelé l’espace annelé
sous-jacent au schéma F .
Theoreme 1.8.10. La catégorie des Z-schémas est équivalente à la catégorie Sch(Z). L’équivalence est donnée par jeu de foncteurs suivant
Sch(Z)
|−| //
Sch
h
oo
où h : Sch → P r(Sch) → P r(AffZ) est le foncteur de Yoneda.
Ebauche de preuve
Pour définit correctement le foncteur de Yoneda de Sch, il faut préciser quelles sont les familles couvrantes dans Sch qui prolongent la topologie de Grothendieck sur AffZ. En se référant au lemme 1.7.8, il est clair que les atlas affine
quasi-compacts, i.e. dont on peut extraire un sous recouvrement fini, prolonge naturellement la topologie de AffZ. Si
X ∈ Sch, et (Ui)i∈I est une famille couvrante de X, on a alors X w ∪i∈IUi. En effet ∪i∈IUi → X est clairement un
épimorphisme de faisceaux et c’est aussi un monomorphisme. C’est donc un isomorphisme. En prenant l’image par HomSch(−, X) du conoyau qui définit la réunion (1.4.17), on obtient que hX est un faisceau. Montrons maintenant
que c’est un schéma relatif. Soit (Ui)i∈I un atlas affine de X, on a un morphisme p : `i∈IhUi → hX induit par les immersions ouvertes U . Soit Y un schéma affine et f : Y → X, alors la famille (h est un
recouvrement Zariski de hY tel que les morphismes hUi×hXhY → hX se factorisent par p. On en déduit que p est un épimorphisme de faisceau. En remarquant enfin que pour tout schéma affine Y , le changement de base hUi×hX hY est un ouvert Zariski de hY, on obtient que hUi est un ouvert Zariski de hX pour tout i. En particulier h préserve les ouverts affine d’un schéma.
On a donc montré que le foncteur de Yoneda se factorisait en un foncteur h : Sch → Sch(Z). On peut alors montrer que ce foncteur reste pleinement fidèle en se ramenant aux affines.
Il nous reste à voir que ce foncteur est essentiellement surjectif. Remarquons que en nous restreignant aux schémas affines, il est bien connu que AffZw Af f . Soit F ∈ Sch(Z), on a en particulier une équivalence entre les sous catégories
pleines de Ouv(F ), Ouv(|F |) et Ouv(h|F |)formées des ouverts affines. Plus généralement, on a Ouv(F ) w Ouv(|F |).
de plus, si U est un ouvert de F , alors h|U |→ h|F | est un monomorphisme par lequel tout ouvert affine de h|U | envoi
sur un ouvert affine de h|F |, par 1.7.9 c’est donc un ouvert de h|F |. On obtient donc Ouv(F ) ,→ Ouv(h|F |). Or ces deux
catégories sont des catégories d’ouverts d’espaces topologiques ayant la même base d’ouverts, donc sont équivalentes. De plus, si F s’écrit comme l’union ∪Xi où les Xi := Spec(Ai) sont affines, alors |F | w ∪|Xi|. Soit donc
A ∈ Comm(C), X = Spec(A), on a un morphisme naturel
ϕA: F (A) w HomSch(Z)(hX, F ) → h|F |(A) = HomSch(X, |F |)
f → |f |
On vérifie que ce morphisme est bijectif en utilisant le fait qu’il est bijectif sur les affines.