Théorèmes limites

1.2 Mouvement brownien conditionné à rester dans un segment

1.2.1 Théorèmes limites

φ

Z

T 0

σ

^∗_u

dW^ˆ

6IE

φ

Z

T 0

σ

dW

, T >0, (1.1.43)

pour toute fonction convexeφ∈ C

(R)de dérivée convexe.

On s’intéresse maintenant au cas de processus à sauts pur, i.e.on suppose que la

condi-tion (1.1.35) est vériﬁée.

Corollaire 1.1.15. Supposons que(J

∗

)

t∈[0,T]

appartient à l’espaceL

₂_,₁

et que

i) 06J

∗ u

6J

,dIPdu-p.p.,

ii) 06λ

∗ u

J

∗ u

6λ

J

,dIPdu-p.p.,

iii) D

N u

J

∗ v

>0,dIPdudv-p.p.

Alors pour06s6t6T, on a

IE

φ

Z

T 0

J

_u^∗−

(dN^ˆ

−λ

^∗_u

du)

6IE

φ

Z

T 0

J

u−

(dN

−λ

du)

, (1.1.44)

pour toute fonction convexeφ∈ C

(R)de dérivées première et seconde convexes.

1.2 Mouvement brownien conditionné à rester dans un

segment

1.2.1 Théorèmes limites

On décrit ici les résultats relatifs au conditionnement de processus présentés dans le

chapitre 4. Ce sont des résultats de convergence en loi, ils s’inscrivent dans la

continu-ité de résultats obtenus dans [19], [24], etc. Nous comparons les processus obtenus avec

le méandre brownien et avec l’excursion brownienne. Nous rappelons ici les déﬁnitions

de ces processus.

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

Soit(W

)

t∈R₊

un mouvement brownien standard. On noteσ(resp.τ) le dernier temps de

passage en 0 avant (resp. premier temps de passage après) le temps 1,i.e.

σ := sup{s <1; W

= 0} et τ := inf{s >1; W

= 0}.

On appelle méandre brownien le processus(W

_t⁺

)

t∈[0,1]

déﬁni par

W

_t⁺

= √¹

∆|W

σ+∆t

|,

où∆ = 1−σ. Le processus ainsi déﬁni est positif sur[0,1]et les propriétés de symétrie,

d’invariance en loi par translation et par changement d’échelle permettent de considérer

ce processus comme un mouvement brownien conditionné à rester positif.

On appelle excursion brownienne signée le processus(W

◦

)

t∈[0,1]

déﬁni par

W

_t^◦

= √¹

∆^W

^σ^+∆^t

^,

où∆ =τ −σ, cf. e.g.[28]. Ce processus est de signe constant sur[0,1]et on aW

◦

= 0.

Les mêmes raisons que précédemment permettent de considérer ce processus comme un

mouvement brownien conditionné à revenir pour la première fois en 0 au temps 1. On

appelle excursion brownienne non-signée le processus(|W

◦

|)

t∈[0,1]

.

Depuis le début des années 70 des théorèmes de convergence en loi ont été utilisés aﬁn de

construire des processus conditionnés par des évènements de probabilité nulleΛ. Parmi

ces théorèmes, on peut distinguer essentiellement deux grandes familles. La première

ap-proche s’appuit sur les marches aléatoires tandis que la deuxième est une apap-proche

fonc-tionnelle.

Les idées sous-jacentes à chacune de ces approches se résument de la façon suivante : la

première méthode consiste à approximer le mouvement brownien par une suite de

proces-sus approchants et à conditionner ces procesproces-sus par un évènementΛalors que la deuxième

méthode consiste à approximer l’évènement conditionnant. Nous détaillons maintenant

chacune de ces approches.

Nous rappelons ici le théorème de Donsker sur lequel repose la première méthode.

Théorème 1.2.1. Soit(X

)

i∈N∗

une suite de variables aléatoiresi.i.d.centrées de variance

ﬁnie. Lorsquentend vers+∞, la suite des processus(X

(t))

t∈[0,1]

,n>1, déﬁnis par

X

(t) = √¹

n

[nt]

X

i=1

X

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

converge en loi dans l’espace D([0,1]) des fonctions continues à droite et limitées à

gauche (càdlàg) muni de la topologieJ1de Skorohod (cf.[10]), vers le mouvement

brown-ien sur[0,1].

L’idée est alors que si l’on conditionne les marches aléatoires par un évenementΛ, la suite

convergera alors vers un processus qui respectera la condition imposée parΛet qui pourra

être interprété comme le mouvement brownien conditionné par un évènementΛ.

En 1974, D. L. Iglehart utilise cette approche dans [27] pour construire un mouvement

brownien conditionné à rester positif sur [0,1] et deux ans plus tard E. Bolthausen

af-faiblit les hypothèses techniques sur les variables aléatoires sous-jacentes à la marche. En

1976, W. D. Kaigh établit dans [30] qu’une suite de marches aléatoires conditionnées à

revenir pour la première fois en 0 au tempsn et renormalisées comme dans le théorème

1.2.1 converge en loi vers un processus qu’il interprète comme le mouvement brownien

conditionné à avoir un signe constant sur[0,1]et à revenir en 0 au temps 1.

D’un point de vue technique les démonstrations comportent deux étapes. Dans un premier

temps, on calcule les lois ﬁni-dimensionnelles pour les marches aléatoires conditionnées

et l’on montre que ces distributions convergent. Puis, dans un deuxième temps, on montre

la tension de la suite de mesures induites sur l’espace des fonctions càdlàg, ce qui permet

de conclure à la convergence en loi de la suite de mesures (cf.[10]).

L’approche fonctionnelle consiste à considérer une suite(Λ

)

n∈N

décroissante

d’évène-ments de probabilité non nulle qui “tend” versΛ. Plus précisément, la suite (Λ

)

n∈N

est

décroissante au sens de l’inclusion et∩

n∈N

Λ

= Λ. On cherche ensuite à établir la

conver-gence en loi de la suite(W

)

n∈N

des mouvements browniens conditionnés parΛ

. Notons

que cette approche est plus générale et ne se limite pas au mouvement brownien.

Cette approche a notamment été utilisée par Durrett, Iglehart et Miller dans [19] pour

établir des liens entre mouvement brownien, méandre brownien, pont brownien et

excur-sion brownienne. Plus précisément, ces auteurs établissent que lorsque ε > 0 tend vers

0 :

– le mouvement brownien sur[0,1]conditionné à rester supérieur à−εtend vers le

méan-dre brownien,

– le méandre brownien sur [0,1]conditionné à avoir une valeur terminale inférieure àε

tend vers l’excursion brownienne,

– le pont brownien conditionné à rester supérieur à−εtend vers l’excursion brownienne.

Plus récemment, un point de vue similaire a été utilisé pour conditionner le mouvement

brownien (multidimensionnel) issu d’un point à rester dans un cône issu de ce même point

(see [24]).

Les grandes lignes des preuves suivent la même ligne que précédemment. On calcule les

lois ﬁni-dimensionnelles pour les processus conditionnés, on montre la convergence de

ces distributions puis on prouve la tension de la suite de mesures induites sur l’espace

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

des fonctions continues ce qui permet de conclure à la convergence en loi de la suite de

mesure (cf.[10]).

Dans le chapitre 4, on construit un mouvement brownien conditionné à rester dans

l’in-tervalle[0, ℓ]jusqu’au temps 1 et on considère plusieurs cas selon le comportement voulu

au temps 1. Le mouvement brownien prenant (presque sûrement) des valeurs négatives

sur l’intervalle[0,1], l’évènement “le mouvement brownien reste dans l’intervalle [0, ℓ]

jusqu’au temps 1” est de mesure nulle et il est impossible de procéder à un

condition-nement direct. Nous adoptons pour répondre à ce problème le point de vue de [19], et

établissons trois théorèmes de convergence fonctionnelle. Le Théorème 1.2.3 concerne le

cas où le mouvement brownien est conditionné à rester dans[0, ℓ]jusqu’au temps 1 sans

condition ﬁnale, dans le Théorème 1.2.4 on traite le cas où on ajoute la condition ﬁnale

W1 = 0, enﬁn le Théorème 1.2.5 concerne le cas où le mouvement brownien traverse le

segment pour ﬁnir enℓ,i.e.W1 =ℓ.

Notonsm

etM

les minimum et maximum courants du mouvement brownien,i.e.

m

= min

06s6t

W

, M

= max

06s6t

W

.

On commence par rappeler le principe de réﬂexion,cf. e.g.[31].

Principe de Réﬂexion

Soienta <0eta < x1 < x2, on a

IP%

W

∈[x

₁

, x

₂

], m

< a

=IP%

W

∈[2a−x

₂

,2a−x

₁

]

. (1.2.1)

Donnons encore ici quelques notations. Soit(Ω,F,IP)un espace probabilisé. Étant donné

un évènementΛ ∈ F de probabilité non-nulle, l’espace(Λ,F

,IP

_Λ

)oùF

:= {A∩Λ :

A∈ F}^{est la trace de}F ^surΛet où IP

_Λ

correspond à la mesure IP conditionnellement à

l’évènementΛ,i.e.

IP

(A) = IP(A)

IP(Λ) ⁼IP(A|Λ),∀A∈ F

Λ.

À une variable aléatoire X déﬁnie sur (Ω,F,IP) correspond naturellement une variable

aléatoire X

sur (Λ,F

Λ,

IP

_Λ

) déﬁnie comme la restriction de X à Λ. Compte tenu de

la déﬁnition de la mesure IP

_Λ

, la variable aléatoire X

_Λ

peut être considérée comme X

conditionnée par l’évènementΛ. Le résultat suivant assure que sous certaines conditions

un processus markovien soumis à un conditionnement reste markovien,cf.[19].

Lemme 1.2.2. Soit X une fonction markovienne sur l’espace des fonctions continues

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

{X ∈ L} etπ[0

,t]

(resp.π[

t,1]

) la projection deC[0,1]surC[0, t](resp.C[t,1]). Si pour

toutt ∈[0,1], il existe des boréliensA

⊂C[0, t]etB

⊂C[t,1]tels que

L=π

_[0⁻_,t¹_]

(A

)∩π

⁻_[_t,¹_1]

(B

),

alorsX

est markovien.

Dans les théorèmes suivants, les noyaux de transition sont exprimés au moyen de la

fonc-tion theta de Jacobiϑ, déﬁnie pourz ∈ Cetτ dans le demi-plan des complexes à partie

imaginaire positive, par :

ϑ(z, τ) =

+∞

X

k=−∞

exp%

iπk

τ + 2kπiz

Dans le document Interpolation et comparaison de certains processus stochastiques (Page 32-36)

1.2 Mouvement brownien conditionné à rester dans un segment

1.2.1 Théorèmes limites

φ

Z

σ

dWˆ

6IE

φ

Z

σ

dW

, T >0, (1.1.43)

pour toute fonction convexeφ∈ C

(R)de dérivée convexe.

On s’intéresse maintenant au cas de processus à sauts pur, i.e.on suppose que la

condi-tion (1.1.35) est vériﬁée.

Corollaire 1.1.15. Supposons que(J

)

appartient à l’espaceL

et que

i) 06J

6J

,dIPdu-p.p.,

ii) 06λ

J

6λ

J

,dIPdu-p.p.,

iii) D

J

>0,dIPdudv-p.p.

Alors pour06s6t6T, on a

IE

φ

Z

J

(dNˆ

−λ

du)

6IE

φ

Z

J

(dN

−λ

du)

, (1.1.44)

pour toute fonction convexeφ∈ C

(R)de dérivées première et seconde convexes.

1.2 Mouvement brownien conditionné à rester dans un

segment

1.2.1 Théorèmes limites

On décrit ici les résultats relatifs au conditionnement de processus présentés dans le

chapitre 4. Ce sont des résultats de convergence en loi, ils s’inscrivent dans la

continu-ité de résultats obtenus dans [19], [24], etc. Nous comparons les processus obtenus avec

le méandre brownien et avec l’excursion brownienne. Nous rappelons ici les déﬁnitions

de ces processus.

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN CONDITIONNÉ À RESTER DANS UN SEGMENT

Soit(W

)

un mouvement brownien standard. On noteσ(resp.τ) le dernier temps de

passage en 0 avant (resp. premier temps de passage après) le temps 1,i.e.

σ := sup{s <1; W

= 0} et τ := inf{s >1; W

= 0}.

On appelle méandre brownien le processus(W

)

déﬁni par

W

= √1

∆|W

|,

où∆ = 1−σ. Le processus ainsi déﬁni est positif sur[0,1]et les propriétés de symétrie,

d’invariance en loi par translation et par changement d’échelle permettent de considérer

ce processus comme un mouvement brownien conditionné à rester positif.

On appelle excursion brownienne signée le processus(W

)

déﬁni par

W

dW^ˆ

(dN^ˆ

= √¹

= √¹

∆^W

^,

(t) = √¹