Formulations faible et variationnelle
7.5 Théorèmes de Brezzi et condition BBL
Théorème 42— Théorème de Brezzi (1974). Considérons le problème variationnel mixte suivant : Trouver (u; / dans H M tels que :
a.u; v/C b.v; / D hf; vi 8v 2 H;
b.u; / D hg; i 8 2 M: (7.14)
Si les conditions suivantes sont satisfaites : — a.; / est continue ;
— a.; / est coercitive sur V ou V -elliptique (uniquement sur V et pas sur H tout entier)(sur ker B): 9˛ > 0 tel que : a.v; v/ > ˛kck2; 8v 2 V D fv 2 H I b.v; / D 0; 8 2 M g (7.15) — b.; / est continue ;
— b.; / vérifie la condition inf-sup suivante : inf 2M kkMD1 sup v2H kvkHD1 b.v; / > 0 (7.16)
Alors,8.f; g/ 2 H0 M0, le problème précédent possède une unique solution .u; /2 H M .
Rappel : on parle de condition inf-sup ou condition de Brezzi, ou condition de Babuška-Brezzi-Ladyjenskaïa, ou condition BBL.
La condition de V -ellipticité s’écrit également : inf v2V nf0ga.v; v/ > 0 (7.17) et la condition BBL : 9ˇ > 0; sup v2H b.v; / kvkH >ˇkkM; 8 2 M (7.18)
Nous allons écrire la démarche de la démonstration car elle est typique de la résolution de ce genre de problème. Démonstration. On va se servir de H D V ˚ V?avec V D ker B où évidemment B est l’opérateur définit de H dans M0 tel que :hBu; iM D b.u; /, 8 2 M . Pour le produit scalaire induit, V et V?sont des Hilbert.
La solution cherchée est uD u0C u?. Les inconnues seront donc u0, u?et .
On a les équations pour v0, v?et . Pour v?l’équation est : 8 < : a.u?; v?/C a.u0; v?/C b.v?; / D hf; v?i 8v?2 V? a.u?; v0/C a.u0; v0/C b.v0; / D hf; v0i 8v02 V b.u?; /C b.u0; / D hg; i 8 2 M (7.19)
Or dans la seconde équation, b.v0; /D 0 car v02 ker b et dans l’équation 3, b.u0; /D 0 car u02 V . On est ramené à 3 sous-problèmes :
— sous-problème 1 : chercher u?2 V?tel que b.u?; /D g./, 8 2 M , ce qui est effectivement le cas d’après le théorème de Babuška ;
— sous-problème 2 : chercher u0 2 V tel que a.u0; v0/D hf; v0i a.u?; v0/,8v0 2 V . Il suffit de vérifier que le second membre définit un opérateur tel que l’on a bien les hypothèses du théorème de Lax-Milgram ;
— sous-problème 3 : chercher 2 M tel que b.v?; /D hf; v?i a.u; v?/,8v?2 V?. Il faut un peu plus travailler pour vérifier que l’on est dans le cas d’application du théorème de Babuška, mais ça se fait (une quinzaine de lignes en détail).
On peut remplacer les conditions de V -ellipticité sur a.; / par des conditions de Babuška.
Théorème 43 — Théorème généralisé de Brezzi. Considérons le problème variationnel mixte suivant : Trouver (u; / dans H M tels que :
a.u; v/C b.v; / D hf; vi 8v 2 H;
Si les conditions suivantes sont satisfaites : — a.; / est continue ;
— a.; / vérifie les deux conditions suivantes :
9˛ > 0 tel que : sup v2V nf0g
a.u; v/
kvk >˛kuk 2
H; 8u 2 V D ker B (7.21)
8v 2 V nf0g; 9u 2 V; a.u; v/ ¤ 0 ou de manière équivalente 8v 2 V nf0g; sup
u a.u; v/ > 0 — b.; / est continue ;
— b.; / vérifie la condition inf-sup suivante : inf 2M kkMD1 sup v2H kvkHD1 b.v; / > 0 (7.22)
Alors,8.f; g/ 2 H0 M0, le problème précédent possède une unique solution .u; /2 H M .
Pour vérifier la condition LBB,il est souvent plus simple de vérifierle critère suivant : la condition inf-sup sur b.; / est équivalente à :
8 2 M; 9v 2 H (uniquement dans V?) tel que : b.v; /D kk2etkvk 6 1
ˇkk (7.23)
7.6 Multiplicateurs de Lagrange
Nous avons déjà présenté les multiplicateurs de Lagrange d’un point de vue pratique au chapitre précédent. Regardons maintenant l’aspect mathématique.
Dans les paragraphes 7.3 et 7.4 sur les théorèmes de Lax-Milgram et de Babuška, nous avons traité le cas d’un problème décrit par un seul champ inconnu. Dans le paragraphe 7.5 sur le théorème de Brezzi, nous avons traité le cas d’un problème formulé avec deux champs inconnus (mais on pourrait l’étendre à autant de champs que nécessaire). Dans ce paragraphe, nous allons traiter un cas un peu « au milieu » : par exemple deux domaines possédant chacun leur formulation, mais couplés. Il est donc nécessaire dans ce cas d’introduire une « équation de couplage » entre ces formulations. C’est ce que l’on se propose de réaliser à l’aide des multiplicateurs de Lagrange.
Définition 57 — Formulation comme problème de minimisation sous contrainte. Soient H et M deux espaces de Hilbert. Soient a.; / W H H ! R une forme bilinéaire symétrique et continue et b.; / W H M ! R une forme bilinéairecontinue. Soient enfin f 2 H0et g2 M0deux formes linéaires. On notera h; iH eth; iM les produits de dualité entre H et H0et entre M et M0respectivement.
On considère le problème suivant :
Trouver u2 H tel que a.u; v/ D f .v/; 8v 2 H
etvérifiant lescontraintessupplémentaires : b.v; /D g./; 8 2 M: (7.24)
Ce problème est équivalent à :
Trouveru2 H tel que J.u/ D minfJ.v/; v 2 H et b.v; / D hg; iM; 2 M g avec J.v/D 12a.v; v/ hf; viH
(7.25)
On parle deproblème de minimisation sous contrainte.
On introduit un Lagrangien: L.v; / D J.v/ C b.v; / hg; iM. Évidemment, 8; L.v; / D J.v/ si v vérifie les contraintes. L’idée est de considérer minv2HL.v; :/. La question devient alors : existe-t-il un
multiplicateur particulier 2 M tel que minv2HL.v; / soit égale à u 2 H solution de (7.25) ? On appelle parfois pénalité ou fonction de pénalisation.
En notant que :
h@L
@v.u; /; viH D d
dtL.y C tv; /jt D0D a.u; v/ hf; viH C b.v; / (7.26) Alors .u; /2 H M est solution du problème mixte (7.14) :
a.u; v/C b.v; / D hf; vi 8v 2 H;
b.u; / D hg; i 8 2 M: (7.27)
eton se retrouve dans le cadre du théorème de Brezziau paragraphe 7.5.
De plus, si a.v; v/ > 0,8v 2 H , alors .u; / est solution de (7.14) correspond à .u; / est unpoint-selledeL, i.e. :
8 2 M; L.u; / 6 L.u; / 6 L.v; /; 8v 2 H (7.28)
Remarquons enfin que si l’on note :
A..u; /; .v; //D a.u; v/ C b.v; / C b.u; / (7.29)
L..v; //D f .v/ C g./ (7.30)
et que l’on pose les nouvelles variablesU D .u; / et V D .v; /, alorson revient à un problème de type
Lax-Milgram: trouverU2 H M tel que pour tout V 2 H M , A.V; U/ D L.V/.
Nous reviendrons sur cette approche au chapitre 16.
Histoire
Comme nous l’avons déjà mentionné, Lagrange est le fondateur du calcul des variations avec Euler. Il est également le fondateur de la théorie des formes quadratiques, et démontre le
théo-Lagrange
rème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la décomposition d’un entier en quatre carrés (connu aussi sous le nom de théorème des quatre carrés de La-grange). On lui doit un cas particulier du théorème auquel on donnera son nom en théorie des groupes, un autre sur les fractions continues, l’équation différentielle de Lagrange...
En physique, en précisant le principe de moindre action, avec le calcul des variations, vers 1756, il invente la fonction de Lagrange, qui vérifie les équations de Lagrange, puis dé-veloppe la mécanique analytique, vers 1788, pour laquelle il introduit les multiplicateurs de Lagrange. Il entreprend aussi des recherches importantes sur le problème des trois corps en
astronomie, un de ses résultats étant la mise en évidence des points de libration (dits points de Lagrange) en 1772.
En mécanique des fluides, il introduisit le concept de potentiel de vitesse en 1781, bien en avance sur son temps. Il démontra que le potentiel de vitesse existe pour tout écoulement de fluide réel, pour lequel la résultante des forces dérive d’un potentiel. Dans le même mémoire de 1781, il introduisit, en plus, deux notions fondamentales : le concept de la fonction de courant, pour un fluide incompressible, et le calcul de la célérité d’une petite onde dans un canal peu profond. Rétrospectivement, cet ouvrage marqua une étape décisive dans le développement de la mécanique des fluides moderne.