Prise en compte du contour du domaine .1Trace

v=v 2 H²./; vj€ D 0;^@v @nj€ D 0  (5.18)

Les espaces trace sont définis plus loin..

Les espaces H₀^m./ sont des espaces de Hilbert.

Définition 50— EspaceH ^m./. Il est possible de caractériser le dual topologique de H₀^m./ de la façon suivante. Pour tout m > 1, on définit l’espace des distributions suivant :

H ^m./D 8 < : f 2 D⁰./; f D ^X j˛j6m @^˛f˛; avec f˛2 L²./ 9 = ; (5.19) muni de la norme : kf kH m D inf 0 @ X j˛j6m kf˛k²_L2 1 A 1 2 (5.20)

l’infimum étant pris sur toutes les décompositions possibles de f sous la forme intervenant dans la définition de H ^m.

Ainsi défini, l’espace H ^m./ est un espace de Hilbert isomorphe au dual topologique de H₀^m./, et le crochet de dualité s’écrit :

hf; uiH m;H₀^m D ^X j˛6m . 1/^˛ Z  f˛@^˛udx; 8f 2 H ^m./; 8u 2 H0^m./ (5.21)

Cette formule ne dépend pas de la décomposition de f en somme des @^˛f˛.

Remarquons que le dual de H^m./ n’est pas un espace de distribution et ne possède donc pas de caractérisation aussi simple.

5.5 Prise en compte du contour du domaine

Dans ce paragraphe, nous essayons de présenter la notion de trace de manière simple et intuitive.

Afin de pouvoir parler de la valeur d’une fonction sur la frontière de , il nous faut définir le prolongement (la trace) d’une fonction sur ce bord.

Cas n D 1 : on considère un intervalle ouvert I DaI bŒ borné. On a vu que H¹.I /  C⁰.I /. Donc, pour u2 H¹.I /, u est continue sur ŒaI b, et u.a/ et u.b/ sont bien définies.

Cas n > 1 : il nous faut définir la trace lorsque l’on n’a plus H¹.I / C⁰.I /. On procède ainsi : — On définit l’espace :

C¹./D˚' W  ! R=9O ouvert contenant ; 9 2 C1.O/; _jD '

(5.22) C¹./ est donc l’espace des fonctions C¹sur , prolongeables par continuité sur @ et dont le gradient est lui-aussi prolongeable par continuité. Il n’y a donc pas de problème pour définir la trace de telles fonctions. — On montre que, si  est un ouvert borné de frontière @ « assez régulière », alors C¹./ est dense

dans H¹./.

— L’application linéaire continue, qui à toute fonction u de C¹./ associe sa trace sur @, se prolonge alors en une application linéaire continue de H¹./ dans L².@/, notée 0, qu’on appelleapplication trace. On dit que 0.u/ est la trace de u sur @.

Pour une fonction u de H¹./ qui soit en même temps continue sur , on a évidemment 0.u/D uj@.C’est pourquoi on note souvent par abus simplement u_j@plutôt que 0.u/.

De manière analogue, on peut définir 1, l’application trace qui permet de prolonger la définition usuelle de la dérivée normale sur @. Pour u2 H²./, on a @iu2 H¹./,8i D 1; : : : ; n et on peut donc définir 0.@iu/. La frontière @ étant « assez régulière » (par exemple, idéalement, de classe C¹), on peut définir la normale nD .n1; : : : ; nn/^T en tout point de @. On pose alors :

1.u/D n X i D1

0.@iu/ni (5.23)

Cette application continue 1de H²./ dans L².@/) permet donc bien de prolonger la définition usuelle de la dérivée normale. Dans le cas où u est une fonction de H²./ qui soit en même temps dans C¹./, la dérivée normale au sens usuel de u existe, et 1.u/ lui est évidemment égale.C’est pourquoi on note souvent, par abus, @nu plutôt que 1.u/.

Exemple : traitement d’une interface - divergence faible. Soit  un ouvert borné constitué de deux ouverts 1et 2séparés par une interface €D @1\ @2. Montrons qu’une fonction vectorielle de classe C¹sur chaque morceau ₁et ₂admet une divergence faible dans L²./ si et seulement si sa composante normale est continue à travers l’interface (la surface) €. Soit f une fonction de  à valeurs vectorielles. On note f1et f2ses restrictions à 1et 2respectivement. On note également n₁et n₂les normales extérieures à ₁et ₂respectivement.

Soit '2 Cc¹./. La formule de Stokes nous permet d’écrire : Z  f:r' D Z 1 f1:r' C Z 2 f2:r' D Z € f1:n1' Z 1 div.f1/' Z € f2:n2'C Z 2 div.f2/' Si la composante normale de f est continue à l’interface, on en déduit que :

Z

f:r' D Z

 '

avec D div.fi/ sur chaque i (i D 1; 2). La fonction à valeurs vectorielles f admet donc unedivergence faible et div.f /D .

Réciproquement, si f possède une divergence faible, alors il existe une fonction v2 L²./ telle que : Z € .f1 f2/:n1'D Z  v' et on en déduit que .f₁ f2/:n1D 0 sur €.

5.5.2 Espace trace

Dans le cas d’exposant entier, on note souvent l’ordre avec la lettre m, dans le cas non-entier, on utilisera la lettre s, et donc les espaces seront notés : W^s;pou H^s.

CaspD 2 et  D Rⁿ

Dans ce cas, l’espace de Sobolev H^s.Rⁿ/, s > 0, peut être défini grâce à la transformée de Fourier : H^s.Rⁿ/D  u2 L².Rⁿ/W Z Rⁿ .1C jj²/^sj Ou./j²d <C1  : (5.24)

H^s.Rⁿ/ est un espace de Hilbert muni de la norme : kuk²Hs D

Z

Rⁿ

Casp D 2 et   Rⁿquelconque

On peut alors caractériser les espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire H^s./ grâce au produit intérieur donné par : .u; v/_Hs./D .u; v/Hk./C ^X j˛jDk Z  Z 

.D^˛u.x/ D^˛u.y//.D^˛v.x/ D^˛v.y//

jx yjnC2t dxdy (5.26)

où sD k C T , k est un entier tel que 0 < T < 1 et n est la dimension du domaine   Rⁿ. La norme induite est essentiellement l’analogue pour L²de la continuité au sens de Hölder.

Casp ¤ 2 et  D 0 I 1Œ

On définit un opérateur D^sde dérivation d’ordre fractionnaire s par :

D^suD 1 X

nD 1

.i n/^s_bu.n/e^{i nt} (5.27)

En d’autres mots, il s’agit de prendre la transformée de Fourier, de la multiplier par .i n/^s et à prendre la transformée de Fourier inverse (les opérateurs définis par la séquence : transformation de Fourier — multiplication — transformation inverse de Fourier sont appelés des multiplicateurs de Fourier). Cet opérateur permet de définir la norme de Sobolev de H^s.0I 1Œ/ par : kuks;p D kukpC kD^sukp et de définir l’espace de Sobolev H^s.0I 1Œ/ comme l’espace des fonctions pour lesquelles cette norme est finie.

Cas général des espacesH^s

Soit s > ¹₂. Si  est un ouvert dont la frontière @ est « suffisamment régulière », alors on peut définir unopérateur de trace T qui à une fonction u2 H^s./ lui associe sa trace, i.e sa restriction sur la frontière de  :T uD uj@.

Une hypothèse simple qui satisfasse la condition de régularité est que @ soit uniformément C^mpour m > s. Ainsi défini, cet opérateur de trace T a pour domaine de définition H^s./ et son image est précisément H^{s 1=2}.@/.

En fait, T est d’abord défini pour les fonctions indéfiniment dérivables et cette définition est ensuite étendue par continuité à tout l’ensemble H^s./. De façon intuitive, on peut dire que l’on perd en régularité « une demi-dérivée » en prenant la trace d’une fonction de H^s./.

Nous nous servirons de ces espaces dans le cas des éléments finis pour un problème de continuité des contraintes à une interface entre deux milieux solides ayant des propriété matérielles différentes. Ce problème sera abordé plusieurs fois dans ce document, et le paragraphe 12.3 fera une synthèse des stratégies possibles pour le résoudre.

Cas général des espacesW^s;p

Définir la trace d’une fonction de W^s;pest très difficile et demande d’utiliser les techniques plus compliqués (dont les espaces de Besov).

De façon plus intuitive, on peut dire que l’on perd en régularité 1=p-ème de dérivée en prenant la trace d’une fonction de W^s;p./.

5.6 Espaces H

./, H

./ et H

./

Nous avons déjà défini les espaces H^m./, H₀^m./ et H ^m./. Toutefois, dans la pratique, nous n’irons guerre au delà de m D 2, et même le plus souvent nous nous contenterons de m D 1. Nous donnons ici quelques compléments dans ce dernier cas.

En application de la définition 48, nous avons :

H¹./D  u2 L²./I 8i D 1; : : : ; n; ^@u @xi 2 L²./  (5.28)

Muni du produit scalaire : .u; v/1D Z  uvC N X i D1 @u @xi @v @xi ! (5.29)

H¹./ est un espace de Hilbert.

En physique et en mécanique, l’espace H¹./ est également appelé « espace d’énergie » au sens où il est constitué des fonctions d’énergie finie (i.e. de norme finie).

Théorème 30— Théorème de densité. Si  est un borné régulier de classe C¹, ou si D Rⁿ_C, ou encore si D Rⁿ, alors C_c¹./ est dense dans H¹./.

En pratique, il est très important de savoir si les fonctions régulières sont denses dans l’espace de Sobo-lev H¹./. Cela justifie en partie la notion d’espace de Sobolev qui apparaît ainsi très simplement comme l’ensemble des fonctions régulières complétées par les limites des suites de fonctions régulières dans la norme de l’énergie. Cela permet de démontrer facilement de nombreuses propriétés en les établissant d’abord sur les fonctions régulières puis en utilisant un argument de densité.

Par définition de H₀¹./, et en prenant en compte une remarque précédente : H₀¹./D˚v ıv 2 H1./; vj€ D 0

(5.30)

On voit que sur cet espace, la condition de Dirichlet est satisfaite automatiquement sur tout le pourtour € D @.

La frontière € est généralement partitionnée en deux sous-frontière €D et €N sur lesquelles on satisfait les conditions de Dirichlet et de Neumann respectivement : € D €D [ €N

H_0;D¹ ./D˚v ıv 2 H1

./; vj€D D 0

(5.31) etH₀¹./ H_0;D¹ ./ H¹./.

On rappelle que l’espace H ¹./ est le dual de H₀¹./. Or, grâce au théorème de représentation de Riesz-Fréchet (théorème 38 du chapitre 7 portant sur les formulations faibles), on sait que l’on peut identifier le dual d’un espace de Hilbert avec lui-même. Cependant en pratique, on n’identifie pas H ¹./ et H₀¹./. En effet, ayant défini H₀¹./ comme un sous-espace strict mais dense de L²./, et ayant déjà identifié L²./ à son dual (muni du produit scalaire usuel, voir chapitre précédent), on ne peut pas en plus identifier H ¹./ et H₀¹./ (avec un autre produit scalaire). On a donc les inclusions strictes suivantes :

H₀¹./ L²./ L²./
⁰ H ¹./ (5.32)

Grâce à H ¹./, on pourrait définir une nouvelle notion de dérivation pour les fonctions de L²./, plus faible encore que la dérivée faible. Devant l’afflux de notions de dérivations, rassurons le lecteur en disant qu’elles sont toutes des avatars de la dérivation au sens des distributions (c’est l’intérêt de la théorie des distribution que d’avoir unifié ces divers types de dérivation).

L’exemple le plus simple à retenir, et le plus utile pour la suite, est que tout élément f de H ¹./ s’écrit, au sens des distributions, sous la forme :

f D u C div G (5.33)

avec u2 L²./ et G 2 .L².//ⁿ.

Théorème 31— Dérivation des fonctions composées dans les espaces de Sobolev. Soit  un ouvert borné de Rⁿ. Pour toute fonction u2 H¹./ et toute fonction T W R ! R de classe C¹à dérivée bornée nous avons :

T .u/2 H¹./ et rT .u/ D T⁰.u/ru (5.34)

On se contente ici de donner les résultats concernant l’espace H¹./ même si des résultats similaires peuvent êtres démontrés pour les espaces H^m./ ou les espaces W^1;p./, avec p ¤ 2 (voir théorème 32). Soit  un ouvert borné Lipschitzien de Rⁿ.

— si nD 1, on a une injection continue de H¹./ dans l’espace de Hölder C^0;12./ ;

— si n D 2, on a une injection continue de H¹./ dans l’espace L^p./ pour tout p < 1 (et donc pas dans L¹./).

— si n > 3, on a une injection continue de H¹./ dans l’espace L^p./ avec p D n 2²ⁿ . De plus les injection non critiques sont compactes.

Comme on va s’intéresser par la suite à la discrétisation de problème aux dérivées partielles, le cadre de domaines bornés nous suffira.