P (;) = 0
Théorème Preuve:
P (;) = 0
A1 = S Posons
Théorème Preuve:
P (;) = 0
A1 = S
Posons et Ai = ; pour i 6= 1
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
Théorème
On nomme parfois l’ensemble vide, l’évènement impossible.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i A \ B = ;
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i A \ B = ; A \ ; = ;
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i A \ B = ; A \ ; = ; B \ ; = ;
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i
A \ B = ; A \ ; = ; B \ ; = ; [1
i=1
Ai = A [ B
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Remarque:
Habituellement on souhaite que les axiomes soient les plus généraux possible.A1 = A A2 = B Ai = ; 3 i
C’est pour cette raison que l’axiome 3 fait intervenir un nombre infini de sous-ensembles.
Faites les exercices suivants
# 2.9
Théorème
P ( ¯A) = 1 P (A)Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S A \ A¯ = ;
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S A \ A¯ = ;
1 = P (S)
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S A \ A¯ = ;
1 = P (S) = P (A [ A)¯
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S A \ A¯ = ;
1 = P (S) = P (A [ A)¯ = P (A) + P ( ¯A)
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S A \ A¯ = ;
1 = P (S) = P (A [ A)¯ = P (A) + P ( ¯A)
=) P ( ¯A) = 1 P (A)
En isolant P ( ¯A)
Théorème
Preuve:
P ( ¯A) = 1 P (A)
A [ A¯ = S A \ A¯ = ;
1 = P (S) = P (A [ A)¯ = P (A) + P ( ¯A)
=) P ( ¯A) = 1 P (A)
On commence à voir comment la fonction de probabilité
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f }
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p}
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f }
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A P (B) = 1 P (A)
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A P (B) = 1 P (A)
P (A) = 1 2
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A P (B) = 1 P (A)
P (A) = 1
2 P (B) = 1 2
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A P (B) = 1 P (A)
P (A) = 1
2 P (B) = 1 2 Or la pièce pourrait être pipé et
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A
Or la pièce pourrait être pipé et
On commence à voir comment la fonction de probabilité P : P(S) ! R
se comporte, mais on ne sait toujours pas comment la trouver!
Prenons l’expérience aléatoire de lancer une pièce de monnaie.
S = {p, f } A = {p} B = {f } B = ¯A Or la pièce pourrait être pipé et
On a donc pas vraiment de façon de connaître une probabilité autre que par
On a donc pas vraiment de façon de connaître une probabilité autre que par
P (A) = lim
n!1
n(A) n
On a donc pas vraiment de façon de connaître une probabilité autre que par
P (A) = lim
n!1
n(A) n
On va donc faire une hypothèse supplémentaire.
Définition
Étant donné une expérience aléatoire d’espace échantillonnal , un évènement élémentaire est un sous-ensemble contenant un seul élément.SDéfinition
Étant donné une expérience aléatoire d’espace échantillonnal , un évènement élémentaire est un sous-ensemble contenant un seul élément.SDonc un évènement élémentaire correspond à un des résultats possibles.