Amélioration du préréglage par adaptation des modèles
4.3.2 Test statistique et modification dynamique de la variance
Pour l’application de l’estimation simultanée des variables et des paramètres du modèle avec l’emploi d’une fenêtre glissante, nous avons également mis en oeuvre une approche empirique consistant à modifier dynamiquement la variance de la mesure que l’on soupçonne de contenir une donnée aberrante. En effet, l’influence de chaque mesure dans les critères d’optimisation est pondérée par sa variance. Il est alors possible d’ajuster cette variance pour réduire au minimum l’influence des données aberrantes.
On considère donc une fenêtre d’observation des données qui comprend les N-vecteurs de mesure xi−N+1, ..., xi. On définit d’abord, le vecteur Endes corrections normalisées dont chaque composante En(i)kest définie par :
En(i)k= (|xi− ˆxi, j+1|)k
3VEi(k, k) , k = 1, ..., v (4.47) Il est donc nécessaire d’exprimer la variance des termes correctifs en fonction des matrices de variance-covariance des mesures et des paramètres. Celle-ci va nous permettre de comparer les termes correctifs entre eux et ainsi il sera possible de détecter les erreurs “aberrantes” de mesures. Puis on pourra augmenter la variance de ces mesures et ainsi simuler leur méconnais-sance partielle.
4.3. Rejet de valeurs aberrantes 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Observation Valeur Valeur vraie
Estimée avec une fenêtre N=20
Figure 4.13 – Estimation du paramètre a2
Exprimons tout d’abord les termes correctifs, en utilisant l’expression (4.16) :
E(i) = (|xi− ˆxi, j+1|) = |V GTix(GixV GTix)−1#Gix( ˆxi, j− xi) − Fi− Gia( ˆaj+1− ˆaj)$| (4.48)
La valeur de la variation de ces termes correctifs consécutive à une variation des mesures et des paramètres est :
)E(i) = | −V GTix(GixV GTix)−1#Gix)xi+ Gia)aˆj+1$| (4.49)
avec l’expression de)aˆj+1 calculée à partir de (4.15) :
)aˆj+1= R−1()a−W N
!
i=1 SiGix)xi) (4.50) et Si= GTia(GixV GTix)−1 (4.51) En assumant le fait que le vecteur des termes correctifs suit une loi de distribution normale centrée, une expression approchée de la matrice de variance-covariance des termes correctifsE(i) est : VEi ≈ E()E(i) ·)E(i)T) VEi ≈ V GTix(GixV GTix)−1GixV − V GTixSTiW R−1SiGixV − V GTixSTi R−1W SiGixV (4.52) + V GTixSTi R−1W N
!
i=1 (SiGia)W R−1SiGixV + V GTixSTi R−1W R−1SiGixV (4.53) Comme R= I +W N!
i=1 SiGia (4.54)L’expression de la variance se réduit à :
VEi≈ V GTix(GixV GTix)−1GixV−V GTixSTi R−1W SiGixV (4.55)
On peut donc calculer une valeur approchée des termes correctifs normalisées En(i)k(4.47) et la comparer ensuite à un seuil donné T . Lorsqu’un ou plusieurs de ces termes dépassent le seuil, on note m l’indice correspondant à celui ayant la plus grande correction normalisée en valeur absolue :
En(i)m= max En(i)k, k = 1, ..., v (4.56) Dans ce cas, la variance de la mesure xm correspondant à la plus grande correction norma-lisée est considérablement augmentée (par exemple, cent fois sa valeur initiale) dans le but de simuler l’absence de cette mesure pour cette fenêtre. L’algorithme est représenté sur le schéma de la figure4.14, où t est l’indice correspondant à la dernière observation inclus dans la fenêtre d’observation glissante et TCN est l’acronyme pour “termes correctifs normalisés”.
Dans le cas de modèle non linéaire, il peut arriver que la plus grande correction normalisée ne corresponde pas à la mesure erronée. Cela est dû au fait que la mesure incriminée se retrouve multipliée, dans les équations du modèle, par d’autres variables, et que la méthode de réconci-liation de données reporte l’erreur de mesure sur ces autres variables mesurées. Cependant en augmentant fortement la variance associée à une autre mesure que celle erronée, cela ne permet généralement pas de résoudre le problème et d’obtenir des corrections normalisées inférieures au seuil T fixé. Dans ce cas, il est alors nécessaire de s’intéresser aux autres mesures dont les corrections normalisées sont supérieures à T . Par ordre du plus grand au plus petit, on modifie les variances correspondantes jusqu’à détecter la mesure défectueuse qui permet en augmentant sa variance d’obtenir l’ensemble des corrections normalisées inférieures au seuil T .
4.3. Rejet de valeurs aberrantes
Figure 4.14 – Algorithme
4.3.2.1 Application numérique
On considère le même modèle que celui employé dans les applications numériques pré-cédentes et l’on se place dans les mêmes conditions que pour l’exemple de l’utilisation de la distribution contaminée. La base de données des mesures du vecteur des variables d’état xi a été recréée à partir de nouvelles valeurs aléatoires. Des valeurs aberrantes ont été ajoutées sur la mesure de la variable x3, elles sont reportées dans le tableau4.8. De même, les paramètres a1 et a2sont toujours sujets à des dérives.
Observation 40 80 120− 130
Biais multiplicatif sur la mesure 1.5 0.5 1.5 Tableau 4.8 – Données aberrantes des mesures de x3
4.3.2.2 Résultat
On tire les mêmes conclusions que celles que l’on a pu obtenir dans le cas d’une distribu-tion contaminée. Comme en témoigne la figure 4.15 qui montre la mesure et l’estimée de la variable x3en présence de grosses erreurs, l’algorithme proposé, en modifiant dynamiquement la variance des mesures suspectées, permet donc d’obtenir de bonnes estimées de la variable x3 qui ne sont pas entachées par la présence de données aberrantes. Cependant contrairement au cas de l’utilisation de l’algorithme employant la distribution contaminée, on dispose des relevés des corrections normalisées qui nous informent de la présence de ces données aberrantes. Cette différence peut s’avérer importante en prévision d’un diagnostic des capteurs de mesures sur le long terme.
De même que pour l’autre méthode en présence de ces données aberrantes, le suivi des dé-rives des paramètres du modèle reste efficace comme on peut le constater sur les figures4.16et
4.17même si l’on peut quand même apercevoir une légère influence des données aberrantes sur l’estimation de a2pour cet exemple.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −5 −4 −3 −2 −1 0 Observation 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −10 0 10 20 Observation Corrections normalisées Mesure x 3 Estimée x
3 avec une fenêtre N=20 données aberrantes
4.3. Rejet de valeurs aberrantes 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Observation Valeur Valeur vraie
Estimée avec une fenêtre N=20
Figure 4.16 – Estimation du paramètre a1
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Observation Valeur Valeur vraie
Estimée avec fenêtre N=20
4.4 Conclusion
Dans ce chapitre, une méthode générale de réconciliation robuste de données et d’estimation paramétrique a été proposée dans le cas de modèle non linéaire. La réconciliation de données, basée sur l’équilibrage de bilans, a fourni simultanément des estimées des données mesurées et des paramètres cohérentes avec le modèle. Il est également intéressant de noter que la connais-sance de la distribution des erreurs des paramètres n’est pas un facteur limitant ; en effet il est facile d’adapter l’algorithme pour qu’il s’applique sans connaissance “a priori” sur les para-mètres. La robustesse aux grosses erreurs de mesures a été introduite par l’intermédiaire de deux méthodes, d’une part en utilisant une distribution des erreurs dites “contaminées” et d’autre part en modifiant la variance des mesures incriminées. Ces deux méthodes fonctionnent dans le cadre d’un modèle simple non linéaire. Cependant l’intérêt de l’information supplémentaire apportée par les corrections normalisées et le diagnostic des capteurs de mesures nous pousse à privilé-gier l’emploi de la seconde méthode pour l’évaluation avec des données réelles du point de vue de l’ajustement de modèle le long des coulées ; ceci permet d’observer l’impact de l’ajustement du préréglage sur les coulées successives.