Chapitre 4 Validation de la solution proposée 111
4.1.1 Méthode
4.1.1.2 Test de recalage avec des transformations élémentaires combinées 114
Pour construire les transformations à appliquer aux images I, II et III, nous utilisons égale-ment le modèle de projection 3D–2D de la figure 4.3. Les transformations 3D sont contrôlées par 6 paramètres : 3 rotations d’angles θ, φ et ψ et 3 translations selon les axes ~x, ~y et ~z (cf. figure 4.3).
4.1. Évaluation de la précision du recalage
Tab.4.1 – Valeurs des paramètres de Tcalcobtenues pour les tests de recalage des images montrées dans la figure 4.1. Différentes valeurs de translation selon ~x et ~y ont été appliqués aux images pour construire l’image à recaler avec l’image sans transformation. Les valeurs de la translation, en pixels, sont données par les paramètres h13 et h23. Le tableau donne aussi le nombre d’itérations effectuées par l’algorithme qui minimise la différence d’intensité entre les images pour arriver à la solution.
Image (pixels)Transl h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 10-6 h32 10-6 h33 errmoy
(pixels) errmax (pixels) Itér. Recouv. (%) I (78,2, -78,7)* 1,017 3,80e-4 78,055 5,28e-3 1,006 -79,370 55,122 0,617 0,999 0,99 1,85 10 48,1 (-42,8, 31,6) 1,000 -4,36e-4 -42,775 7,73e-4 0,999 31,568 2,888 -2,990 1,000 0,08 0,16 4 73,00 (-1,1, 2,6) 1,001 -1,49e-4 -1,076 2,52e-4 1,000 2,558 0,864 -0,641 0,999 0,03 0,05 4 98,56 II (78,2, -78,7)* 1,010 1,45e-3 77,941 3,52e-3 1,004 -79,099 28,525 4,001 0,999 0,50 1,07 8 48,1 (-42,8, 31,6) 1,000 -4,24e-5 -42,806 -2,28e-4 1,000 31,594 -0,827 -0,043 1,000 0,04 0,07 4 73,00 (-1,1, 2,6) 1,000 -5,20e-5 -1,111 4,16e-4 1,000 2,566 1,700 -0,366 0,999 0,04 0,07 4 98,56 III (78,2, -78,7)* 0,993 -0,011 78,982 -5,47e-4 0,988 -77,819 -4,418 -3,472 0,999 0,10 1,43 7 48,1 (-42,8, 31,6) 1,000 2,68e-4 -42,854 3,437 1,001 31,558 -0,041 1,829 1,000 0,05 0,07 5 73,00 (-1,1, 2,6) 0,999 1,65e-4 -1,105 1,888 1,000 2,592 -0,410 0,342 1,000 0,02 0,04 4 98,56
Tab. 4.2 – Résultats du recalage de paires d’images reliées géométriquement par des facteurs d’échelle (voir deuxième colonne). Les valeurs maximales sont indiquées par une étoile. La varia-tion du facteur d’échelle est visible sur les paramètres h11 et h22. La dernière colonne fournit le nombre d’itérations qui ont été nécessaires pour que l’algorithme de recalage trouve la solution.
Image d'échelleFacteur h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 10-6
h32 10-6 h33 errmoy (pixels) errmax (pixels) Itér. I 1,14* 1,134 -1,98e-3 -0,211 -9,24e-4 1,132 -0,185 -4,064 -8,096 0,997 0,70 0,93 37 1,1 1,099 -1,34e-3 -0,045 1,39e-5 1,097 -0,077 1,796 -4,538 0,999 0,33 0,47 10 0,9 0,902 2,82e-4 0,129 1,59e-3 0,901 -0,071 5,524 1,632 0,999 0,38 0,50 14 0,87* 0,869 5,64e-4 -0,083 1,24e-3 0,869 -0,216 3,622 1,428 0,997 0,21 0,30 36 II 1,25* 1,220 2,40e-3 -2,423 -5,66e-4 1,222 -2,235 -1,638 5,828 0,977 2,72 2,86 26 1,1 1,099 1,36e-3 -0,452 1,01e-4 1,099 -0,335 0,822 4,265 0,998 0,42 0,51 8 0,9 0,898 -1,20e-3 -0,025 -5,48e-4 0,896 -0,137 -2,251 -4,092 0,996 0,26 0,38 14 0,8* 0,783 -1,20e-3 -1,467 -1,64e-5 0,782 -1,556 0,221 -1,999 0,977 2,60 2,83 38 III 1,2* 1,187 -2,03e-3 -1,107 -8,31e-5 1,185 -1,190 -0,777 - 5,489 0,990 1,53 1,81 14 1,1 1,099 -1,16e-3 -0,232 2,57e-4 1,098 -0,270 -0,231 -3,791 0,999 0,39 0,60 7 0,9 0,899 1,65e-3 -0,079 6,42e-4 0,899 -0,023 2,350 5,061 0,998 0,23 0,42 10 0,87* 0,868 1,23e-3 -0,101 1,14e-3 0,868 -0,104 5,286 4,409 0,996 0,20 0,28 14
Tab.4.3 – Paramètres de transformation calculés par le recalage d’images après application des valeurs de rotation données dans la deuxième colonne. Les paramètres h12et h21contrôlent une rotation pure selon l’axe perpendiculaire à l’image (axe ~z de la figure 4.3).
Image Angle (°) h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 10-6 h32 10-6 h33 errmoy (pixels) errmax (pixels) Itér. I 11* 0,974 -0,190 -0,095 0,190 0,973 -0,987 2,024 -3,986 0,992 0,99 1,05 25 8 0,990 -0,140 0,315 0,140 0,988 -0,424 3,531 -3,103 0,999 0,40 0,53 12 5 0,997 -0,088 0,232 0,088 0,996 -0,194 3,063 -1,634 1,000 0,25 0,30 7 2 1,000 -0,035 0,083 0,035 0,999 -0,133 2,560 1,797 1,000 0,11 0,16 5 II 10* 0,984 -0,174 0,431 0,173 0,984 -0,272 -1,370 -1,992 1,000 0,48 0,51 19 8 0,991 -0,139 0,323 0,140 0,991 -0,255 1,378 0,127 1,001 0,41 0,43 10 5 0,997 -0,087 0,134 0,088 0,997 -0,192 1,311 0,854 1,000 0,25 0,28 6 2 0,999 -0,035 0,087 0,035 0,999 -0,052 1,891 -1,940 1,000 0,09 0,12 5 III 14* 0,968 -0,242 0,266 0,241 0,970 -0,687 -2,410 5,389 0,998 0,78 0,89 28 8 0,989 -0,138 0,105 0,139 0,990 -0,423 -1,391 3,626 0,999 0,46 0,52 12 5 0,996 -0,087 0,141 0,087 0,996 -0,192 -0,930 -0,160 1,000 0,25 0,27 8 2 0,999 -0,035 0,075 0,035 0,999 -0,085 -0,647 1,093 1,000 0,12 0,18 7
Tab. 4.4 – Paramètres de transformation calculés pour le test impliquant des variations du point de vue (perspective). Les angles testés sont donnés dans la deuxième colonne. Les varia-tions de perspective sont contrôlées principalement par les paramètres h31 et h32, cependant les paramètres h11et h22 sont aussi modifiés par les changements de perspective.
Image Angle
persp, (°) h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 10-6 h31 10-4 h33 errmoy (pixels) errmax (pixels) Itér. I 26* 0,991 0,069 -0,126 -3,93e-3 0,962 0,402 -25,944 8,505 0,997 0,42 0,63 50 20 0,997 0,054 0,083 -2,23e-3 0,993 0,387 -14,697 6,677 1,000 0,45 0,73 41 10 0,999 0,028 0,016 -1,08e-3 1,012 0,131 -6,780 3,401 1,000 0,25 0,40 13 5 0,999 0,014 0,026 -8,10e-4 1,010 0,074 -5,296 1,726 1,000 0,14 0,19 8 II 26* 0,983 0,066 -0,825 -2,38e-3 0,953 -0,932 -15,772 8,364 0,986 1,31 1,84 51 20 0,991 0,053 -0,822 -9,06e-4 0,986 -0,752 -4,005 6,621 0,990 0,78 1,10 33 10 0,997 0,027 -0,065 -1,43e-3 1,010 -0,072 -6,169 3,360 0,998 0,22 0,43 13 5 0,998 0,013 0,111 -1,40e-3 1,009 0,051 -5,798 1,678 0,999 0,15 0,30 8 III 20* 0,992 0,054 -0,355 -1,35e-3 0,989 -0,372 -7,207 6,634 0,994 0,50 0,91 44 10 0,998 0,027 0,084 6,35e-5 1,011 -0,020 -0,605 3,355 0,999 0,18 0,28 11 5 1,000 0,014 0,0259 -3,33e-5 1,011 -4,43e-4 0,212 1,691 1,000 0,13 0,25 7
4.1. Évaluation de la précision du recalage effectué ce test en utilisant l’image pour laquelle l’algorithme a eu les moins bons résultats (image I) lors des tests précédents de la section 4.1.1.1. Nous appliquons les transformations ainsi calculées aux images. Ensuite, nous effectuons le recalage de l’image transformée avec l’image de référence. Les erreurs dues aux transformations estimées par notre méthode de recalage sont évaluées par la méthode décrite dans la sous-section 4.1.1 (calcul des erreurs moyennes errmoyet maximales errmaxsur la position des coins de l’image recalée, équation 4.3). Le nombre maximum d’itérations de l’optimisation est également fixé à 60.
Nous avons simulé différentes transformations perspectives en fixant des limites sur chacune des transformations indépendantes :
− 10◦ ≤ θ ≤ 10◦ −10◦ ≤ φ ≤ 10◦ −10◦ ≤ ψ ≤ 10◦ −50 pixels ≤ tx ≤ 50 pixels −50 pixels ≤ ty ≤ 50 pixels 0, 9 ≤ f. e. ≤ 1, 1
avec f. e. le facteur d’échelle. Les transformations indépendantes composant les transformations perspective d’un examen cystoscopique réel se trouvent la plupart du temps dans les intervalles choisis. Le facteur d’échelle est à nouveau obtenu par des translations selon l’axe ~z (figure 4.3). Dans un souci de clarté, nous présentons le facteur d’échelle (sans unité) plutôt que sa translation tz en pixels. Les variations du point de vue (perspective) sont simulées par des rotations θ et ψ autour des axes ~x et ~y.
Puisqu’il est impossible de tester toutes les combinaisons des transformations élémentaires, nous avons défini 12 combinaisons représentatives des mouvements effectués pendant un examen cystoscopique. Plusieurs de ces combinaisons conduisent même à des transformations plus impor-tantes que celles rencontrées lors d’un examen clinique standard. Les transformations combinées utilisées sont données dans le tableau 4.5.
Les différentes combinaisons des transformations élémentaires sont référencées par des numé-ros allant de 1 à 12. Les résultats du recalage des images par notre méthode sont présentés dans le tableau 4.6.
Les résultats de ce test montrent que notre méthode de recalage a échoué pour les tests 3 et 9, atteignant le nombre maximum d’itérations fixé. Pour le test 3, une fois que nous avons réduit les valeurs des paramètres de translation sur ~x et ~y d’un facteur 3 approximativement (voir test 4), le recalage était possible. Pour le test 9, en faisant passer la valeur du facteur d’échelle de 1,09 à 0,97 (voir test 10), le recalage était à nouveau possible. Cela veut dire que la combinaison de paramètres de transformation près des limites des intervalles (déterminés avec le test des transformations élémentaires) fait échouer la méthode de recalage, particulièrement si l’angle ψ (rotation autour de ~z) est grand (environ 9°). Le recalage est possible même si les autres paramètres sont aux limites des intervalles de transformation élémentaires (test 1 et 7). La rotation dans le plan semble donc une des contraintes limitant la précision de notre méthode de recalage.
4.1.1.3 Discussion sur les limites et la précision de recalage
Les tests impliquant les transformations élémentaires, nous permettent d’établir les limites des transformations qui autorisent le recalage des images. Un recalage d’images ayant en commun au moins 55% de leur surface est possible si la transformation est constituée d’une translation 2D
Tab.4.5 – Transformations combinées appliquées à l’image I pour tester la précision du recalage. Les tests ont été numérotés de 1 à 12. θ, φ et ψ sont respectivement des rotations en degrés autour des axes ~x, ~y et ~z. f. e. est le facteur d’échelle.
Test (°) (°) (°) tx (pixels) ty (pixels) f. e.
1 9 -8 6 -45,0 49,7 1,1 2 -7 4 7 -20,8 25,3 0,9 3 -5 -9 10 43,8 33,4 1,05 4 -5 -9 10 -17,5 10,2 1,05 5 10 10 -6 -12,2 -9,95 0,98 6 4 -5 -2 49,2 5,7 0,95 7 2 -10 3 21,3 40,8 1,08 8 10 -10 10 10,5 3,6 1,01 9 -9 9 -10 4,5 7,1 1,09 10 -9 9 -10 4,5 7,1 0,97 11 3 -4 8 11,4 -12,3 1,02 12 6 3 1,5 -45,1 33,9 1,04
pure. Évidemment, l’erreur maximale errmaxpour cette amplitude de translation est importante (environ 2 pixels), même si l’erreur moyenne errmoy reste inférieure à 1 pixel. Pour les tests impliquant des variations du facteur d’échelle et de la rotation autour de l’axe ~z, la performance de l’algorithme est plus « modeste ». Pour le facteur d’échelle, seules des variations entre 87% et 114% de la surface d’origine assurent une erreur maximale de recalage inférieure à 1 pixel. Pour la rotation dans le plan image, des angles en-dessous de 10° permettent un recalage avec une erreur maximale inférieure à 1 pixel pour les trois images. Du côté des variations du point de vue, des erreurs inférieures à 1 pixel pour les trois images sont obtenues lorsque des rotations avec des angles entre 0° et 10° sont appliquées. Ces tests montrent qu’il existe une corrélation entre l’amplitude de la transformation appliquée et l’amplitude de l’erreur.
Les résultats des tests pour des combinaisons de transformations élémentaires, nous ont appris que l’impact de la rotation autour de ~z sur la performance de l’algorithme est effectivement importante. Si la rotation entre les images est d’environ 10° et les autres transformations sont importantes, le recalage échoue. Si cette rotation est petite (< 3°), il est fort probable que l’algorithme de recalage réussisse même si les autres transformations sont importantes. Pour des variations du facteur d’échelle entre 0,9 et 1,1 l’algorithme arrive à recaler les images. Mais, en dehors de cet intervalle, le succès et la précision du recalage est très sensible vis-à-vis des conditions d’illumination et de la « visibilité »des structures (textures) dans les images. D’ailleurs, nous avons observé que pour des taux de recouvrement des images d’environ 70% et pour des transformations dont la rotation dans le plan image est petite, l’algorithme parvient à la solution rapidement et avec une erreur maximale petite.
Nous pouvons conclure que pour des taux de recouvrement entre les images à recaler supé-rieurs ou égales 75% de la taille de l’image et pour des rotations dans le plan image inférieures à 8°, un recalage correct avec une erreur maximale inférieure à 1 pixel est systématiquement possible. Cette erreur est acceptable pour la taille des images que nous considérons, puisqu’elle représente à peine 0,4% de la taille de l’image. Les intervalles des paramètres de transformation que nous avons utilisés sont réalistes dans le cadre du recalage d’images de séquences vidéo-cystoscopiques.
4.2. Évaluation de la robustesse du recalage