Dans ce chapitre, il s'agit d'identifier les difficultés voire les obstacles que les élèves rencontrent dans l'apprentissage de la notion d'affinité à la sortie du collège. Pour avoir une représentation quantitative, nous avons élaboré un test dont nous avons proposé la passation à l'ensemble des enseignants de collège de l'académie de Nantes. Nous allons présenter la méthodologie utilisée pour la conception et la passation de ce test visant à mesurer les connaissances des élèves à la sortie du collège concernant les fonctions affines. Nous présenterons une analyse préalable des différents exercices pour justifier les choix que nous avons effectués. Nous ferons ensuite une analyse des résultats afin de tirer quelques éléments de compréhension des difficultés des élèves. Aline Robert distingue les connaissances techniques qui « correspondent à des mises en fonctionnement isolées, mettant en jeu des applications immédiates de théorèmes, propriétés, définitions, formules, etc. » (Robert, 1998), les connaissances mobilisables qui « correspondent à des mises en fonctionnement plus larges : encore indiquées mais dépassant l'application simple d'une propriété à la fois » (Robert, 1998) et les connaissances disponibles que l'élève peut utiliser dans la résolution d'un problème sans aucune indication. Nous allons repérer à travers l'analyse des procédures des élèves les savoirs mobilisables et les savoirs disponibles. Ces résultats nous permettront de poser les objectifs de travail pour la mise en place d'une ingénierie et de pointer certaines clauses du contrat didactique mis en place dans les classes afin d'identifier celles qui peuvent être favorables à l'apprentissage par problématisation du savoir par les élèves.
I.1 : Les types de problèmes mathématiques relevant de l'affinité et les procédures utilisées pour les résoudre
Si nous considérons une fonction affine f définie d'un ensemble de nombres A dans un ensemble de nombres B. Pour tout i entier naturel, nous noterons xi un élément de A et yi un
élément de B. Les problèmes posés aux élèves peuvent être classés suivant différents critères : la tâche, la nature des nombres en jeu, le contexte de l'exercice, la nature de la fonction.
Pour ce qui concerne la tâche, il peut s'agir de :
- connaissant x1 et f, déterminer y1 (calculer l’image de x1) ;
- connaissant f et y1 déterminer x1 (calculer un antécédent de y1) ;
- connaissant deux couples (x1 ; y1) et (x2 ; y2) et sachant que f est affine déterminer
l'image de x3 ;
- connaissant deux couples (x1 ; y1) et (x2 ; y2) et sachant que f est affine déterminer
l'antécédent de y3 ;
- connaissant deux couples (x1 ; y1) et (x2 ; y2) et sachant que f est affine, déterminer
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Nous pouvons regrouper ces tâches dans trois catégories : déterminer une image, déterminer un antécédent, déterminer une fonction affine. Pour les deux premières questions la réponse est un nombre, pour la dernière il s’agit d’une expression algébrique.
La nature des nombres ainsi que leur rapport sont deux autres variables didactiques : xi
entier ou non, rapport entre x1 et x2 entier ou non, rapport entre les accroissements entier ou
non. Le type de rapport numérique influence le niveau de difficulté du problème (Rajotte, Giroux, & Voyer, 2014).
Enfin la nature du contexte induit des représentations différentes. En particulier s'il s'agit d'une fonction opérant sur deux grandeurs de même nature, le rapport entre les grandeurs est un scalaire sans unité, on parlera de rapport interne (Comin, 2002a). Si les grandeurs sont de natures différentes, le rapport est dit externe, il peut être plus facilement associé à une relation fonctionnelle et implique une fonction réciproque (Levain & Vergnaud, 1995). La question de la continuité liée à l'idée de grandeur continue et non plus discrète est aussi un aspect important du problème.
En fonction de ces variables, les élèves peuvent être amenés à utiliser différentes procédures qui nécessitent des changements de cadre et des conversions de registres. Nous en caractériserons trois selon les registres utilisés : la résolution graphique, la résolution par équations dans le cadre algébrique, la résolution par calculs dans le cadre arithmétique. Pour chaque procédure, nous allons préciser les difficultés et risques d'erreurs afin de préciser notre première hypothèse (voir page 114) :
• La résolution graphique se fait par tracé d'une droite et par des lectures graphiques. Suivant le contexte, les difficultés peuvent venir de l'identification des grandeurs, des unités et du choix de la graduation des axes, de la précision des lectures, de la précision du tracé suivant la proximité des points obtenus.
• La résolution dans le cadre algébrique peut être plus ou moins complexe suivant le nombre de variables dépendantes et la nature des grandeurs et des nombres. Le travail avec des fractions peut engendrer des erreurs de même que la manipulation de nombres décimaux inférieurs à 1. La technique de résolution peut aussi poser des difficultés.
• La résolution par des calculs arithmétiques peut se faire par l'utilisation de la proportionnalité des accroissements et donc l'utilisation des techniques associées aux problèmes de proportionnalité qui reviennent à deux types de raisonnement heuristiques (Simard, 2012a) : les propriétés de linéarités et le retour à l'unité. Les difficultés peuvent venir de la complexité des nombres à manipuler et de la perte de sens parfois associées à des techniques comme le produit en croix.
Concernant cette dernière procédure, si nous nous appuyons sur les travaux de Comin sur l'apprentissage de la proportionnalité, les difficultés que rencontrent les élèves sont plus liées à des problèmes d'enseignement que d'apprentissage. Il s'appuie sur les résultats du travail expérimental de Dupuis et Pluvinage (Dupuis & Pluvinage, 1981) qui définissent trois périodes dans l'enseignement de la proportionnalité : « celle de « la règle de trois » des
Partie 2 – Chapitre I : Le test et les résultats|117
« mathématiques traditionnelles », celle des fonctions linéaires des « mathématiques modernes », celle enfin, des tableaux de proportionnalité des « mathématiques concrètes ». » (Comin, 2002, p.138).
A ces trois périodes correspondent trois organisations mathématiques avec des techniques différentes pour lesquelles il n'existe pas toujours de technologie réellement enseignée (Chevallard, 1999). Comin remarque que les élèves peuvent changer de technique d'un exercice à l'autre et que la diversité des techniques est un facteur important de réussite. Cependant les élèves n'établissent pas de liens entre les organisations, le taux d'élèves de seconde qui associent proportionnalité et application linéaire dans le questionnaire qu'il leur propose ne dépasse pas 57 %. Une réponse donnée par Marianna Bosch est que les techniques de l'arithmétique souffrent de l'absence d'une « algèbre des grandeurs » (Bosch, 1995). La notion de fonction peut y remédier facilement mais « les techniques fondées sur la modélisation algébrique ne permettent pas de justifier l'adéquation du modèle au système étudié » (Comin, 2002, p.139). Il conclut que « l'enseignement de l'algèbre fait gagner en généralité mais n'améliore pas l'extension de son champ d'utilisation » (Comin, 2002, p.143). Ainsi l'enseignement de la proportionnalité ne bénéficie pas d'outils ni de « jargon » permettant l'émergence d'une conception universelle. Nous devons tenir compte de ces données si nous voulons enseigner une approche covariationnelle de la notion de fonction affine. Pour utiliser des techniques liées à la proportionnalité, les élèves doivent reconnaître une situation de proportionnalité. Or « l'utilisation de la conservation des rapports internes est subordonnée à la reconnaissance de l'invariance du rapport externe », cette reconnaissance peut être mise en échec si elle n'est pas « calculable » ou « explicitable » (Comin, 2002, p.142). Dans le cas des fonctions affines, le taux de variation est un nouveau type de proportion en ce sens qu'il s'agit du rapport de deux différences. Notre test doit nous aider à identifier les difficultés liées au traitement de la proportionnalité des écarts sachant que les techniques sont influencées par la nature des nombres et leur fonction.
I.2 : Méthodologie de construction, passation et analyse I.2.1 : Méthodologie de construction
Nous sommes partie d'un constat auprès de quelques classes de seconde et avons entrepris de vérifier si les difficultés repérées par rapport au traitement des situations affines chez les lycéens (Gille, 2008) étaient déjà là en fin de collège. Il s'agit d'une étude quantitative permettant d'identifier des constantes à partir d'un échantillon recueilli auprès de différents établissements de l'académie nantaise. Nous avons listé à partir des manuels de la classe de 3e
les différentes notions mobilisées par les élèves en ce qui concerne l'étude des fonctions affines et avons cherché à établir des exercices portant chacun sur une seule notion. Nous avons choisi des indices qui nous semblaient induire certaines actions pour repérer des invariants dans les contrats didactiques mis en place dans les classes de troisième du collège (élèves de 15 ans). Nous avons cherché à varier le type de questions (ouvertes, fermées, choix multiples, vrai ou faux) sans demander de justifications pour des raisons de traitement mais aussi pour laisser la possibilité à tous les élèves de répondre, quelle que soit leur aisance avec l'écrit. L'ordre des exercices proposés sur deux pages format A4, devait permettre aux élèves
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d'aborder différents registres (Duval, 2002) et de choisir différents degrés de difficulté sur chacune des pages.
Un premier objectif est de mesurer le niveau de maîtrise du vocabulaire lié aux fonction (image, antécédent…) et la capacité qu'ont les élèves à convertir une donnée d'un registre à l'autre. Ce vocabulaire est nouveau pour les élèves, quelques exercices simples vont permettre de voir s’ils le connaissent. Nous avons veillé à ce que ce le vocabulaire ne soit pas un obstacle dans le reste du test.
Un second objectif est de mettre en évidence des « théorèmes en acte » qui peuvent être faux et pourtant largement partagés tels qu’ils sont définis par Vergnaud :
Les concepts se développent dans l’action et sous tendent les formes d’organisation de l’activité que sont les schèmes. Il n’y a pas d’action possible sans propositions tenues pour vraies sur le réel. Ce sont justement ces propositions tenues pour vraies que j’appelle théorèmes-en-acte, y compris pour d’autres domaines d’activité que les mathématiques. Leur portée est souvent locale (elle l'est toujours dans la phase d'émergence) ; ils peuvent rester implicites ; ils peuvent même être faux. (Vergnaud, 2001, p.302)
Certaines connaissances fausses nous semblaient fréquentes dans les classes. Nous avons en particulier isolé les propriétés suivantes déjà repérées dans de nombreuses recherches (Baldy, Dusseau, & Durand-Guerrier, 2007; Comin, 2002a; Hersant, 2005; René De Coteret, 1991; Simard, 2012a) mais ces recherches s'intéressent essentiellement aux élèves de l'école primaire et des classes de 6e de collège. Par ailleurs les derniers changements de
programmes amènent de nouveaux profils d'élèves. Nous allons donc nous intéresser aux théorèmes en acte qui suivent :
• les tableaux de nombres sont des tableaux de proportionnalité ; • une fonction est toujours monotone ;
• les grandeurs sont toujours proportionnelles ;
• une droite représente une situation de proportionnalité.
Nous faisons l'hypothèse que ces connaissances erronées se sont installées peu à peu du fait de l'enseignement de certaines notions. En effet, les tableaux sont utilisés au primaire pour organiser une suite de nombres et son image par un opérateur, ils sont principalement rencontrés dans des situations de proportionnalité. Le tableau devient un ostensif qui appelle l'utilisation de techniques liées à la proportionnalité, d’autant que les élèves sont relativement à l'aise pour compléter un tableau de proportionnalité (Gille, 2008). De la même manière, les grandeurs mesurables sont mesurées par un nombre et une unité et les changements d'unités utilisés au primaire et au collège sont principalement des conversions proportionnelles, tout comme les changements d'échelles qui amènent des calculs de proportionnalité. Prenons l'exemple de la mesure des longueurs, les unités du système métrique se déclinent en
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multiples ou un sous-multiples décimaux du mètre. De même, la conversion des mètres en mille marin se fait à partir de l'égalité : 1 mille marin = 1 852 m et celle des mètres en pieds à partir de la convention : 1 pied = 0,3048 m. Les élèves peuvent donc être amenés à penser que les « grandeurs » appellent un traitement par la proportionnalité alors que cela n'est vrai que pour les grandeurs mesurables. En effet, « une grandeur est mesurable s'il est possible de réaliser (ou d'imaginer) une opération définissant le rapport de deux grandeurs de cette espèce » (Basdevant, Bataille, Fleury, Kohl, & Robert, 2007). Mesurer une grandeur, c'est chercher combien de fois elle renferme une autre grandeur de même espèce prise pour unité. Si bien qu'une mesure de grandeur G comparée à une unité U peut être notée : G = g × U. Si U' est une autre unité, cette mesure de grandeur peut être notée G = g' × U'. Soient g et g' les nombres qui mesurent la même grandeur G avec deux unités U et U', ces unités étant des exemplaires particuliers de la grandeur mesurée, il existe un nombre k qui mesure U dans l'unité U' donc U = k U'. Les mesures dans l'unité U sont donc proportionnelles aux mesures dans l'unité U'. De plus les nombres concrets (nombre suivi de l'unité) sont souvent absents des calculs, les enseignants préfèrent écrire des opérations sur des nombres (Chevallard & Bosch, 2001). Cela amène les élèves à confondre opérations sur les grandeurs et conversions et donc à considérer que tous les calculs effectués dans un contexte faisant intervenir des grandeurs relèvent de la proportionnalité. Si cela est vrai pour des grandeurs mesurables, c’est faux pour des grandeurs repérables (voir partie 3 chapitre III.1.1 page 313). Toujours en lien avec les programmes scolaires, les fonctions rencontrées au collège sont principalement des fonctions monotones et même croissantes, voire croissantes en « fonction du temps » comme nous le verrons dans le chapitre suivant, ce qui peut amener les élèves à penser que toutes les fonctions sont monotones. Enfin, un objet caractérisé par deux conditions nécessaires et suffisantes peut amener les élèves à une généralisation abusive. La fonction linéaire est caractérisée par sa représentation graphique qui est une droite passant par l'origine. Comme la fonction affine est caractérisée par sa représentation graphique qui est une droite, il est très difficile pour les élèves de considérer la fonction linéaire comme un cas particulier des fonctions affines. Les fonctions linéaires et affines sont souvent mises en opposition. De la même façon que les nombres sont soit pairs, soit impairs, les élèves pensent qu'une fonction est soit affine, soit linéaire et ils associent à ce critère une caractéristique qui peut être « passe par l'origine ou non », ou « est une droite ou non ».
Enfin, même si nous cherchons à identifier les notions mobilisées par les élèves sur des tâches isolées, nous testerons cependant quelques conversions qui semblent les plus délicates au début du lycée : le passage du registre graphique et du registre des tableaux au registre des expressions algébriques (Comin, 2009). Si nous reprenons les neufs stades de compétences définis dans la partie 1 chapitre III.1, les exercices sont repérés dans le tableau 12 par les lettres de A à H en face des compétences qu'ils testent. Notre test vise à mettre en évidence les connaissances et certaines clauses du contrat didactique qui nous permettront de mieux comprendre le REX utilisé par les élèves lorsqu'ils résolvent des problèmes.
Le test ne devait pas durer plus de 20 min pour inciter les enseignants à le faire sans perdre de temps sur l'avancée de leur programme, en particulier en fin de troisième à l'approche de l'examen du DNB (Diplôme National du Brevet). L'impératif était de proposer
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un test tenant sur une feuille A4 recto-verso, les photocopies étant à la charge des enseignants. Nous avons utilisé Google Drive10 afin de permettre aux établissements qui le souhaitaient de
répondre au test directement sur l'internet. La saisie des réponses par le même intermédiaire permet d'obtenir directement les données dans un tableur. Les enseignants pouvaient aussi scanner les tests et les envoyer par mail sous fichier pdf.
Nous avions prévu de choisir un échantillon représentatif en choisissant des productions d'établissements publics et privés des cinq départements, en prenant pour chacune des établissements de centre ville, de proche banlieue, de zones sensibles, de zone rurale à petit effectif et à gros effectif.
Représentation des fonctions dans les registres discursifs
Cadre arithmétique cadre algébrique
Usage implicite Usage canonique Usage familier
R ep ré se nt at io n de s fo nc ti on s da ns le s re gi st re s no n di sc ur si fs C ou rb e (c ad re g éo m ét ri q u e) G ra p h e (c ad re f on ct io n n el ) M od e no m og ra ph iq
ue Calcule sur des
grandeurs. Lit des informations sur des graphiques. A H
Calcule sur des nombres. Sait résoudre un problème dans un seul registre à la fois. D A des procédures algébriques aisées. Peut décrire des variations sur la courbe ou sur le tableau. F M od e id éo gr am m at iq ue Sait reconnaître une situation de proportionnalité. B C
Sait manipuler les expressions algébriques. Sait qu’une situation affine se représente par une droite.
D Les capacités sont mobilisables. Sait mettre en relation différents registres et donc valider. G M od e op ér at oi re Résout aisément des problèmes sur les grandeurs que ce soit avec l’aide du graphique ou d'un calcul arithmétique.
B H
Sait associer une fonction affine à des types de situations. Sait caractériser les coefficients sur le graphique.
E Les capacités sont disponibles. Peut utiliser la fonction affine pour modéliser une situation.
Sait décontextualiser un problème et sait faire des aller retour entre les registres PTFC.
Tableau 12: Stades de compétences dans le passage de l'arithmétique à l'algèbre et de la courbe au graphe
10 Test : https://docs.google.com/forms/d/1z0h-
Partie 2 – Chapitre I : Le test et les résultats|121
I.2.2 : Méthodologie de passation
Un premier test a été passé en 2012 par 99 élèves, 32 en fin de 3ème et 67 en début de
2nde dans deux lycées dont le public est issu de divers collèges. Un établissement est en centre
ville, l’autre en périphérie et le troisième en zone rurale. Les enseignants étaient volontaires et participaient de près ou de loin au travail du groupe IREM des Pays de La Loire sur les fonctions. Une première analyse a été faite, mais pour avoir un échantillon suffisamment représentatif, le test a été proposé par l'intermédiaire des IPR de mathématiques à tous les professeurs de mathématiques de l'académie de Nantes en mai 2013. A cette période de l'année, nous sommes sûrs que les fonctions affines ont été étudiées car elles font partie du programme du DNB. L'envoi a été fait par mail, précisant qu'il s'agissait d'une enquête pour un travail de recherche. Le côté non obligatoire était précisé, mais le fait que l'envoi vienne des IPR a sans doute incité les enseignants à participer car nous avons eu plus de 4 000 réponses. Une lettre d'accompagnement précisait le protocole de passation (voir annexe 9) et l'objectif était formulé en ces termes : « L'objet de ma recherche est de repérer ce qui permet ou non aux élèves de problématiser et je me centre sur une connaissance en particulier qui est la fonction affine ». Nous avons pris soin de préciser que nous étudions les connaissances des élèves et non les pratiques de l'enseignant. Nous avons aussi précisé le déroulement en insistant sur plusieurs points :
• La non-intervention des enseignants pendant le test : pas de reformulation, de commentaires, de conseils.
• L'anonymat à la fois du côté des élèves, de l'enseignant et de l'établissement, par un système de codage que je préciserai ultérieurement.
• La possibilité pour les élèves de faire des essais, de poser des questions sur leur feuille de test, de réagir aux questions si besoin. Le travail doit être personnel et le plus spontané possible pour montrer les automatismes mis en place.
• La possibilité d'utiliser la calculatrice pour rassurer les élèves.
La mise en avant de l'apport de ce travail au groupe IREM « fonctions » sur l'académie, devait permettre de considérer ce travail comme une coopération entre collègues