Dans ce chapitre, nous allons poser les éléments théoriques qui nous ont permis de mettre en place les expérimentations et de les analyser. Différents cadres interviennent à différents niveaux ou temps d'analyse. Nous allons préciser en quoi chacun de ces cadres apporte un éclairage pertinent, tout en pointant les limites de notre étude. Nous allons partir des difficultés des élèves pour identifier deux axes de travail : l'un autour du savoir problématisé et l'autre autour de situations d'enseignement-apprentissage problématisante. Il s'agit d'identifier ce que signifie un savoir problématisé en mathématiques et le cadre épistémique correspondant, en particulier ce que serait des nécessités et le registre explicatif en mathématiques. Partant de ce cadre, nous nous interrogerons sur l'activité de l'élève, sur les situations qui peuvent amener l'élève à problématiser.
III.1 : Mise en évidence des difficultés repérées
L'enseignement-apprentissage des fonctions affines pose des difficultés aux lycéens. Comme nous le verrons dans la partie 2 chapitre I, les élèves peuvent mettre en place des automatismes de calculs ou des techniques, ils ont des connaissances procédurales mais ces connaissances sont rarement mobilisables pour résoudre des problèmes non routiniers (Grau, 2011). En particulier les enseignants constatent que les notions sont peu disponibles au sens de Robert en sciences expérimentales, en sciences économiques ou en sciences de l'ingénieur (Robert, 1998). De même au sein des mathématiques, il peut être difficile pour les élèves d'utiliser les connaissances qu'ils ont des fonctions affines pour aborder la dérivation, les approximations linéaires ou les interpolations linéaires. Plusieurs pistes sont possibles pour analyser cette question :
• modifier le savoir à enseigner ; • modifier la pratique pédagogique ;
• mieux comprendre comment l'élève s'approprie les concepts ;
• mieux comprendre la manière dont l'élève s'engage dans la résolution de problèmes.
Comme nous avons pu le voir au chapitre 1, la notion de fonction affine a évolué dans l’histoire des mathématiques, elle n'a pas la même expression ni la même fonctionnalité suivant les époques. Actuellement, l’enseignement des fonctions est lié à l’idée de modélisation et d'approximation. Il existe une dualité entre le formalisme rigoureux de l'écriture algébrique et l'interpolation linéaire qui s'appuie sur des intuitions et des approximations. Cette dualité peut être liée à la différence que nous avons relevée au chapitre 2 entre la fonction modèle empirique et la fonction modèle théorique. Il peut sembler incohérent aux élèves de résoudre algébriquement des équations pour déterminer des valeurs de mesures qui par nature sont approchées. Tout comme il peut leur sembler incohérent de déterminer de manière précise le point d'intersection de deux droites alors que l'on se
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contentera d'une lecture graphique dans d'autres cas. On peut donc penser qu'il serait bon d’expliciter le cadre de travail aux élèves.
Si les programmes scolaires précisent qu'il ne sera pas donné de définition d'une fonction, on peut lire dans la plupart des manuels : « la fonction est définie par... », suivi d'un programme de calcul P, d'une formule algébrique F, d'un tableau de valeurs T ou d'une courbe représentative C, ceci pour définir une fonction particulière. Nous noterons PTFC ce système de définition. Si nous cherchons les liens entre ces différents registres (Duval, 1995), nous pouvons identifier certains traitements qui permettent de passer de l'un à l'autre.
• Le tableau de valeurs donne les coordonnées de points qui sont sur la courbe représentative de la fonction, il permet dans certains cas (en particulier si la fonction correspond à un ou deux opérateurs simples) de déterminer le programme de calcul de la fonction correspondante, ce programme est implicitement nécessaire pour établir l'expression algébrique de la fonction.
• La courbe représentative permet de lire les coordonnées de points qui peuvent être placés dans un tableau de valeurs, elle peut donner une idée de la forme de l'expression algébrique de la fonction (la droite suppose une expression linéaire du premier degré, la parabole du second etc.). La courbe peut alors amener à définir le programme de calcul mais pas directement, il est nécessaire d'avoir une idée de son expression algébrique.
• Le programme de calcul permet d'effectuer des calculs d'images, de résoudre des équations et donc de trouver des valeurs qu'il est possible d'organiser dans un tableau de valeurs. Remplacer le nombre entrant dans le programme par une lettre x désignant une variable dans l'ensemble de définition permet d'écrire l'expression algébrique de la fonction. Le programme ne donne pas directement des informations liées à la courbe représentative, il faut soit l'utiliser pour définir des points de cette courbe, soit avoir une idée de l'allure de la courbe d’après son expression algébrique.
• La formule permet quant à elle de mettre en place le programme de calcul correspondant ou d'avoir une idée de l'allure de la courbe (l'expression canonique du second degré permet de connaître directement les coordonnées du sommet de la parabole par exemple). La formule ne donne pas directement les valeurs du tableau, puisqu'un calcul est nécessaire et donc demande l'application du programme de calcul.
Nous avons donc des liens directs entre P et TF, entre T et PC, entre C et TF et entre F et PC, ce qui peut se schématiser par la représentation d'un losange PTFC dont chaque côté symbolise une action qui permet de passer d'un registre à l'autre (voir schéma 8 ). Pour chaque conversion (Duval, 2006), le sens dans lequel il s'effectue correspond à des tâches qui peuvent avoir plus ou moins de sens et être plus ou moins faciles. Il est par exemple plus facile de tracer une courbe à partir d'une expression algébrique que de déterminer une expression algébrique à partir d'une courbe. La courbe étant considérée comme un lieu de points géométriques, la courbe est un objet matériel associé au graphe de la fonction. Ceci est lié en particulier aux lectures sur le graphique qui ne permettent pas toujours de déterminer
Partie 1 – Chapitre III : Le choix du cadre théorique|77
précisément les valeurs des différents coefficients qui interviennent dans l'expression algébrique de la fonction. Pour les fonctions affines, l'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite représentative de la fonction affine peut être imprécise et le coefficient multiplicateur peut être délicat à déterminer puisqu'il n'est généralement pas indiqué par un ostensif. Le passage du programme à l'expression algébrique mobilise des compétences en calcul algébrique mais les difficultés sont relativement les mêmes dans les deux sens du travail. Par contre si le programme permet de calculer images et antécédents pour compléter le tableau de valeurs, l'inverse est plus délicat puisque pour une série de valeurs, il peut exister différentes opérations qui permettent d'obtenir les mêmes couples. Le problème étant de savoir combien de valeurs sont nécessaires pour définir le programme correspondant, ce qui revient à un problème d'interpolation. Le tableau de valeurs est alors insuffisant car c'est l'allure globale de la courbe qui renseigne sur le type d'interpolation qui semble le mieux adapté à la situation. Dans notre cas, le problème de l'interpolation linéaire revient à définir le programme de calcul correspondant à une fonction affine définie par deux couples de valeurs.
Raymond Duval (Duval, 1993) parle de « registres » pour désigner des systèmes sémiotiques différents. L’objet mathématique est un objet inaccessible qui est défini dans un certain cadre, c'est-à-dire un ensemble de concepts susceptibles d'être organisés en une progression théorique (Douady, 1986) mais qu’on se représente dans un registre de représentation sémiotique comme dans le cas des fonctions : écriture algébrique, représentation graphique, organisation de valeurs dans des tableaux, programme de calcul. Si effectuer un changement de cadre revient à une réinterprétation portant sur la formulation des problèmes à résoudre, à l’intérieur d’un même cadre, il se peut que le problème exige de
Schéma 8: Caractérisation PTFC d'une fonction affine
F T Tableau de valeurs Courbe représentative Programme de calcul Formule Chaque couple (x ; y)
correspond à une entrée/sortie du programme de calcul
La courbe est figurative du graphe de la fonction
Chaque
couple (x ; y) correspond aux coordonnées d'un point de la
courbe représentative
Caractérise une classe de situations par un
processus
Fonction Affine C
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changer de registre pour utiliser un autre traitement relatif à un autre système. Il s’agit donc de convertir la représentation faite dans un registre dans un autre registre. Cette conversion (Duval, 2006) pose problème aux élèves puisqu’elle ne relève ni de règles, ni de correspondances isomorphes. Cette conversion n’est donc ni un codage, ni une traduction. Si le retour à l’objet matériel (tracé, signe, signifiant…) est possible, il devient plus facile de mettre en correspondance deux représentations dans deux registres différents, mais l’objet mathématique étant inaccessible, il faut pouvoir passer d’un registre à l’autre sans passer par l’objet lui-même. Le cas des fonctions affines est particulièrement complexe puisqu’il existe de multiples représentations de la fonction affine qui ne désignent pas toujours les mêmes caractéristiques de l’objet. Duval précise : « La conversion ne se fait pas au niveau de ce que chaque représentation représente mais à celui des unités de sens pertinentes qui constituent son contenu. » Il s’agirait donc de mettre en évidence des unités de sens par exemple en partant d’un registre et d’étudier, en ne faisant varier qu’un facteur à la fois dans ce registre de départ, ce que cela modifie dans un autre registre. «Le changement de cadres est un moyen d'obtenir des formulations différentes d'un problème qui sans être tout à fait équivalentes, permettent la mise en œuvre d'outils et de techniques qui ne s'imposaient pas dans la première formulation» (Douady, 1986, p.11). Le changement de cadre provoque donc une extension de sens des objets alors que le changement de registre permet dans un même cadre d'utiliser d'autres propriétés d'un même objet. La difficulté dans l'apprentissage est que, pour les élèves, « deux représentations d'un même objet sont deux représentations de deux objets totalement différents, et ils ne voient pas comment on a pu passer de l'une à l'autre » (Duval, 2002).
La conversion de registre a alors deux fonctions différentes. La première est une fonction pragmatique, elle est liée à la nécessité de choisir le registre le plus approprié au traitement afin de résoudre le problème. Un élève particulièrement à l'aise avec les transformations des écritures algébriques aura tendance à utiliser la formule algébrique de la fonction affine pour résoudre le problème posé. Un autre plus à l'aise avec la lecture graphique fera un tracé. Certains registres sont explicitement associés à des types de traitement. Par exemple la consigne « résoudre graphiquement » amène de fait l'utilisation du registre graphique. Pour d'autres le choix peut être plus implicite et fonction des techniques automatisées. La conversion de registre a une autre fonction plus heuristique liée au concept visé. En effet, puisque le concept se construit sur les représentations qui ne sont possibles que si le registre est connu, la conversion de registre doit permettre une représentation complète de la notion dans chacun de ces registres et le passage de l'un à l'autre permet d'expliciter ses caractéristiques. La conversion joue donc un rôle dans la construction même du concept.
La construction des concepts mathématiques dépend donc étroitement de la capacité d’utiliser plusieurs registres de représentations sémiotiques de ces concepts et donc de la capacité à :
• Les représenter sur un registre donné.
• Traiter ces représentations à l’intérieur d’un même registre.
Partie 1 – Chapitre III : Le choix du cadre théorique|79
Nous allons nous intéresser particulièrement à deux registres monofonctionnels, c'est- à-dire dont les traitements sont essentiellement algorithmiques, l'un étant discursif, c’est-à- dire qu’il permet un traitement discursif : le système d’écriture, numérique, littéral, algébrique, symbolique, et l'autre non discursif : les graphes cartésiens (Duval, 2002). Nous avons deux sauts conceptuels qui sont le passage de l’arithmétique à l’algèbre (Comin, 2009) et le passage de la courbe au graphe (Chauvat, 1998).
Gérard Chauvat (Chauvat, 1998) définit trois modes de fonctionnement vis-à-vis des représentations graphiques des fonctions :
Le mode nomographique : correspond à un rapport au dessin sans souci de son signifiant.
Le mode idéogrammatique : le graphique correspond alors à un idéogramme, il sert à la communication, le dessin représente une idée.
Le mode opératoire : le graphique est considéré comme un processus interactif, il ne donne pas de réponses mais il est indispensable pour donner la réponse.
La notion de courbe peut donc devenir une connaissance obstacle suivant le mode dans lequel elle est utilisée. Par exemple pour la fonction affine, la droite est un emblème, sa fonction est avant tout idéogrammatique, « le tracé à la règle tue la relation entre les coordonnées » (Chauvat, 1998). Même si les élèves de troisième étudient les généralités sur les fonctions, les seules fonctions au programme du collège sont les fonctions linéaires et affines. Cette fréquentation favorise la mise en place de théorèmes en acte du type : « la représentation d’une fonction est une droite » ou « deux points suffisent pour tracer la représentation graphique d’une fonction ». Le risque est d’institutionnaliser des aspects généraux alors que le processus de conceptualisation n’est qu’à peine entamé. L'enjeu est donc de proposer des situations d'apprentissage qui demandent à l’élève d’utiliser le graphique selon les trois modes et qui favorisent le passage au mode opératoire.
Si maintenant nous nous appuyons sur les travaux d’Eugène Comin (Comin, 2009) sur le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans le cadre des fonctions, il apparaît que le saut conceptuel indispensable est le passage de la grandeur à la notion de variable numérique. Ce saut passe par une conversion de registre et la formule est sans doute l’objet d’étude qui permet le mieux de travailler ce changement de cadre. Nous pouvons résumer les représentations liées aux fonctions suivant qu’elles sont perçues dans le cadre arithmétique ou dans le cadre algébrique dans le tableau 6 .
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Cadre arithmétique Cadre algébrique
Travail sur des Grandeurs Travail sur des variables numériques
Exprime une dépendance entre grandeurs. Exprime une correspondance entre nombres abstraits.
Peut être définie par une formule
arithmétique sur des mesures et leurs unités.
Peut être définie par une formule algébrique. Résume un calcul. Modélise une classe de situations.
Les lettres et mots désignent des grandeurs mesurées.
Les lettres désignent des nombres réels. Le résultat est une mesure et son unité. Les variables décrivent des ensembles
numériques (x et y sont des variables muettes).
Le sens est porté par la structure des
grandeurs. Le sens est porté par la structure de ℝ et le processus itératif. Pour l’élève la formule désigne un calcul et
les lettres désignent des mesures. La formule désigne une fonction, les lettres désignent des variables.
Tableau 6: Caractérisation des fonctions dans les cadres arithmétiques et algébriques
Comin définit aussi trois niveaux de maîtrise :
L’usage implicite : l’élève utilise des modèles implicites d’action, il infère un raisonnement arithmétique
L’usage canonique : l’élève utilise un savoir institutionnalisé comme outil comme par exemple les tableaux de valeurs, les programmes ou les formules.
L’usage familier : l’élève met en œuvre une conceptualisation algébrique.
Nous avons croisé ces deux aspects pour déterminer des profils d'élèves en listant leurs compétences suivant leur maîtrise de ces deux aspects algébrique et graphique. Nous avons obtenu neuf classes et nous avons utilisé ces classes pour mesurer les progrès des élèves au cours des activités. Nous noterons PTFC l'ensemble des caractérisations des fonctions : programme, tableau, fonction, courbe. Dans le tableau 7, nous avons décrit les compétences des élèves pour chaque classe. Nous pouvons imaginer une progression dans ce tableau mais elle n'est pas forcément linéaire. En effet, plus d’expertise dans le passage de la courbe au graphe peut entraîner un recul dans le passage de l’arithmétique à l’algèbre et ce sur certaines situations plutôt que sur d’autres. Ce tableau va nous permettre d'identifier les changements de registres qui posent le plus de difficultés aux élèves et les connaissances qu'il serait souhaitable de développer pour permettre ces changements de registres.
Partie 1 – Chapitre III : Le choix du cadre théorique|81
Représentation des fonctions dans les registres discursifs
Cadre arithmétique cadre algébrique
Usage implicite Usage canonique Usage familier
R ep ré se nt at io n de s fo nc tio ns d an s le s re gi st re s no n di sc ur si fs C ou rb e (c ad re g éo m ét ri q u e) G ra p h e (c ad re f on ct io n n el ) Mode
nomographique Calcule sur des grandeurs.
Lit des
informations sur des graphiques.
Calcule sur des nombres. Sait résoudre un problème dans un seul registre à la fois. A des procédures algébriques aisées. Peut décrire des variations sur la courbe ou sur le tableau.
Mode
idéogrammatique Sait reconnaître une situation de
proportionnalité.
Sait manipuler les expressions algébriques. Sait qu’une situation affine se représente par une droite.
Les capacités sont mobilisables. Sait mettre en relation différents registres et donc valider.
Mode opératoire Résout aisément
des problèmes sur les grandeurs que ce soit avec l’aide du graphique ou d'un calcul arithmétique.
Sait associer une fonction affine à des types de situations. Sait caractériser les coefficients sur le graphique.
Les capacités sont disponibles. Peut utiliser la fonction affine pour modéliser une situation. Sait décontextualiser un problème et sait faire des aller retour entre les registres PTFC.
Tableau 7: neuf classes de compétences liées à l'apprentissage des fonctions affines
Les fonctions affines relèvent de la théorie des espaces vectoriels et s’appuient sur l'idée de transformation géométrique, deux notions qui ne sont plus au programme du collège et du lycée. Un groupe de recherche de l'IREM de Poitiers a pris une entrée épistémologique pour lister les grandes questions autour desquelles s'organise la notion de fonction. Ils établissent que les grands problèmes mathématiques sont : Comment optimiser une quantité ? Comment connaître les variations d'une quantité ? Comment comparer des quantités ? (IREM de Poitiers Groupe Lycée, 2011). Au collège, les problèmes posés aux élèves sont contextualisés et la résolution peut s'appuyer sur des techniques qui peuvent se passer de l'algèbre (graphiques, calculs numériques, tableur). En effet, les résolutions algébriques du premier degré n'ont que peu d'intérêt, elles peuvent même devenir une source d'erreur si les techniques n'ont pas pris tout leur sens. Prenons l'exemple des équations du type ax = b avec a et b deux réels non nuls, beaucoup d'élèves hésitent entre x=b
a et x= a
b alors que pour
résoudre 5x = 20 la table de multiplication de 5 devrait permettre de résoudre immédiatement l'équation en la regardant comme une multiplication « à trou ». En seconde, les fonctions du second degré peuvent amener à des résolutions algébriques qui nécessitent plus de technicité.
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On peut donc regretter que la notion de fonction affine soit encore abordée au collège par son formalisme et son aspect algébrique alors que ces aspects ne sont absolument pas nécessaires pour la résolution des problèmes posés à ce niveau de la scolarité. On peut même s’interroger sur la pertinence de l’introduction des notations et du vocabulaire avant la classe de première où le travail sur la dérivation rend ce formalisme incontournable. Nous verrons que les élèves écrivent spontanément le signe d'égalité pour signifier que deux variables sont en