5.3 Non-stationnarité stochastique ou déterministe
5.3.2 Test de stationnarité à une tendance déterministe près
---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.01207 on 57 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1975, Adjusted R-squared: 0.1693
F-statistic: 7.013 on 2 and 57 DF, p-value: 0.001893
Value of test-statistic is: -3.3975 5.8255 Critical values for test statistics:
1pct 5pct 10pct
tau2 -3.51 -2.89 -2.58
phi1 6.70 4.71 3.86
Les statistiques fournies sont tau2 et phi1 ; tau2 prend la valeur −3.3975 qui
correspond à une p-value entre 1% et 5%, il n’est donc pas évident de conclure si cette série est ou non stationnaire. Examinons alors phi1 : elle prend la valeur 5.8255, qui correspond encore à une p-value entre 1% et 5%. Il est encore difficile de conclure. Pour clarifier la situation, on peut tenter une modélisation par un ARMA et examiner la somme des coefficients d’autorégression. Il est aussi possible de tester la stationnarité de la série par un test dont l’hypothèse nulle est la stationnarité : c’est le cas du test de KPSS présenté au paragraphe suivant. Remarques
– Utiliser une autorégression assez longue pour capter l’autocorrélation de la série est une démarche déjà rencontrée dans la méthode MINIC.
– L’ordre p de l’autorégression n’étant pas connu, on commence avec un ordre élevé, qu’on diminue tant que le coefficient d’ordre le plus élevé n’est pas signi-ficatif.
– Il se peut qu’une série soit intégrée d’ordre 2, on le voit si, après différenciation à l’ordre 1, on détecte encore une racine unité sur la série différenciée.
– Le test ADF, comme la plupart des tests, est conservatif, c’est-à-dire qu’il a tendance à garder l’hypothèse nulle, donc à conclure faussement qu’une série est non stationnaire. C’est pourquoi il est intéressant de disposer de tests où la non-stationnarité est attachée à l’alternative. C’est ce que fait le test de KPSS que nous examinons au prochain paragraphe.
5.3.2 Test de stationnarité à une tendance déterministe près
Nous envisageons ici le test KPSS de Kwiatkowski et al. (1992) utilisable sous R grâce à la fonction ur.kpss(). Dans ce test, l’hypothèse nulle est - la série est
stationnaire, soit à une tendance près, soit à une moyenne non nulle près - contre l’alternative - la série est non stationnaire en un certain sens. Précisément, le test suppose que la série est la somme d’une marche aléatoire, d’un trend déterministe et d’une erreur stationnaire :
yt= Rt+ β1+ β2t + Ut,
où Rtest la marche aléatoire : Rt= Rt−1+ zt, zt, BNN(0, σ2
z), β1+ β2t une
ten-dance déterministe et d’une erreur stationnaire Ut. Notons qu’il n’est pas évident que yt obéisse à un modèle ARIMA. Pour tester que la série yt est stationnaire à une tendance près, l’hypothèse nulle est σz2 = 0, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de composante « marche aléatoire ». La statistique du test KPSS est celle du test du multiplicateur de Lagrange pour tester σz2= 0 contre l’alternative σz2> 0 :
KPSS = (T−2 T t=1
St2)/λ2
où St= t
j=1uj, ut est le résidu de la régression de yt sur la composante déter-ministe supposée et λ2 un estimateur convergent de la variance de long terme de
ut basé sur ut. Sous l’hypothèse nulle, la loi de KPSS converge vers une loi non standard qui ne dépend pas des valeurs des β, mais seulement de la forme de la tendance qui peut être un niveau (β2= 0) ou une tendance linéaire, β1+ β2t. On rejette l’hypothèse nulle de stationnarité pour de grandes valeurs de la statistique de test.
Exemple 5.3 (Séries simulées) Simulons x un bruit blanc, donc stationnaire, et formons y, la série intégrée de x (fig. 5.4)
−3 −1 1 2 3 BB 01 0 3 0 M. aléat.
grâce aux commandes : > set.seed(231) > x=rnorm(1000) > y=cumsum(x) > xy=ts(cbind(x,y)) > colnames(xy)=c('BB','M. al´eat.') > plot.ts(xy,xlab="temps",main='', + oma.multi=c(0,0,.2,0),mar.multi=c(0,4,0,.5),cex=.8)
Nous testons d’abord que x est stationnaire de moyenne constante. Pour cette hypothèse nulle, on utilise l’option type = "mu" dans ur.kpss().
> summary(ur.kpss(x,type ="mu"))
####################### # KPSS Unit Root Test # #######################
Test is of type: mu with 7 lags. Value of test-statistic is: 0.0562
Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.347 0.463 0.574 0.739
La statistique prend la valeur 0.0562, qui correspond à une p-value très supérieure à 10%. On ne rejette donc pas l’hypothèse de stationnarité. Considérons maintenant l’hypothèse nulle que x est stationnaire à une tendance linéaire près. On teste cette hypothèse grâce à l’option type = "tau".
> summary(ur.kpss(x,type="tau"))
####################### # KPSS Unit Root Test # #######################
Test is of type: tau with 7 lags. Value of test-statistic is: 0.0502
Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.119 0.146 0.176 0.216
On ne rejette pas l’hypothèse de stationnarité de x à une tendance près.
Examinons maintenant la série intégrée y et testons sa stationnarité d’abord à un niveau moyen constant près, puis à une tendance linéaire près.
####################### # KPSS Unit Root Test # #######################
Test is of type: mu with 7 lags. Value of test-statistic is: 9.313
Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.347 0.463 0.574 0.739
> summary(ur.kpss(y,type="tau"))
####################### # KPSS Unit Root Test # #######################
Test is of type: tau with 7 lags. Value of test-statistic is: 0.7157
Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.119 0.146 0.176 0.216
Dans les deux cas, le niveau de signification empirique correspond à des p-values extrêmement faibles. On rejette chaque fois l’hypothèse de stationnarité. L’exemple est caricaturalement simple.
Exemple 5.4 (Taux d’intérêt - suite) Considérons maintenant la série i1 pour laquelle on n’a pas pu conclure (stationnarité/non-stationnarité) au paragraphe précédent. L’examen du chronogramme de la série ne permet pas de décider a priori si elle peut être stationnaire à un niveau moyen près, à une tendance li-néaire près, donc on considère les deux cas.
> summary(ur.kpss(i1,type="mu"))
####################### # KPSS Unit Root Test # #######################
Test is of type: mu with 3 lags. Value of test-statistic is: 0.2737
Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
Le niveau de signification empirique est très élevé : on conclut que la série est stationnaire. Mais considérons l’hypothèse nulle : la série est stationnaire à une tendance déterministe près.
> summary( ur.kpss(i1,type="tau"))
####################### # KPSS Unit Root Test # #######################
Test is of type: tau with 3 lags. Value of test-statistic is: 0.1439
Critical value for a significance level of:
10pct 5pct 2.5pct 1pct
critical values 0.119 0.146 0.176 0.216
La p-value est un peu plus faible que 5% : on conclut à la non-stationnarité de la série. Essayons une modélisation ARIMA. On essaie d’abord un ARIMA(1,1,1) avec dérive.
> (m1=Arima(i1,order=c(1,1,0),include.drift=TRUE))
Series: i1
ARIMA(1,1,0) with drift ...
Coefficients:
ar1 drift
0.1852 6e-04
s.e. 0.1256 2e-03
sigma^2 estimated as 0.0001636: log likelihood = 179.33
AIC = -352.66 AICc = -352.23 BIC = -346.32
La dérive n’est pas significative, résultat cohérent avec le chronogramme de la série. On essaie également un modèle stationnaire AR(2).
> (m2=Arima(i1,order=c(2,0,0),include.mean=TRUE))
...
Coefficients:
ar1 ar2 intercept
1.1116 -0.2880 0.0984
s.e. 0.1211 0.1262 0.0085
sigma^2 estimated as 0.0001478: log likelihood = 184.67
AIC = -361.35 AICc = -360.65 BIC = -352.84
> ret=c(3,6,9,12)
[,1] [,2] [,3] [,4]
Retard 3.0000000 6.0000000 9.000000 12.0000000
p-value 0.9528142 0.9966868 0.967664 0.8455333
> t_stat(m2)
ar1 ar2 intercept
t.stat 9.17698 -2.281389 11.51864
p.val 0.00000 0.022525 0.00000
L’ajustement est satisfaisant, les critères d’information sont uniformément plus faibles que pour l’ajustement par un ARIMA(1,1,0) et la somme des coefficients d’autorégression vaut 0.922, sensiblement inférieur à 1.