-100 -50 0
vitesse extrémité mm/s
Tchamwa phi=1.01 Tchamwa phi=1.03 Bonelli 1.04 tcFig. 3.11 – vitesse de l’extr´emit´e libre : comparaison Bonelli Tchamwa pr`es de la zone de chargement
Une solution est d’utiliser les algorithmes de Galerkin-discontinu. Nous nous sommes plus particuli`erement int´eress´es au cas d’une m´ethode explicite, pour des raisons de temps de calcul, en pensant que dans le cas d’une recherche de pr´ecision dans les hautes fr´equences, il nous fallait in´evitablement utiliser un pas de temps d’un ordre de grandeur proche du pas critique. Dans ce cas, une solution implicite est en g´en´eral beaucoup plus coˆuteuse qu’une solution explicite d’o`u le choix propos´e.
Au regard des premiers r´esultats obtenus, les comparaisons CFD et DGE apportent les commentaires suivants :
– pour un pas de temps tr`es faible (0.01 hcritique) les r´esultats sont identiques, alors que pr`es du pas critique, DGE donne initialement des r´esultats proches de la solution th´eorique du probl`eme continu, contrairement `a CFD.
– au cours du temps, CFD introduit continuellement des fr´equences num´eriques, ce qui est mis en avant pour justifier l’att´enuation intrins`eque qu’introduit DGE pour les hautes fr´equences. DGE fonctionne donc tr`es correctement pour les premiers temps de calcul (ex : 1000 pas de temps critique), par contre pour des temps plus importants, on voit de nouveau apparaˆıtre des fr´equences num´eriques que l’on peut qualifier de parasites car non conformes `a la solution th´eorique initiale. N´eanmoins, la solution obtenue est proche de la solution exacte du probl`eme discr´etis´e en temps, avec un filtrage visible. – DGE sans att´enuation (c’est-`a-dire avec un rayon spectral proche de 1) n’est pas stable !
L’att´enuation est donc in´evitable. Cependant, on peut noter que l’importance de l’att´e-nuation semble d´ecroˆıtre `a mesure que l’on s’´eloigne de discontinuit´es brusques. De plus
3.2. DISCR ´ETISATION TEMPORELLE PAR LA MEF (GALERKIN-DISCONTINU) 51
0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 5e-05
temps en seconde
-40 -20 0 20 40 60 80vitesse extrémité mm/s
rho= 0.1 rho= 0.3 rho= 0.6 rho= 0.9Fig. 3.12 – vitesse de l’extr´emit´e libre : influence du rayon spectral ρ
l’influence du param`etre “rayon spectral” est dans la pratique assez faible.
– l’att´enuation, ajustable via le param`etre “rayon spectral”, n’est pas r´eglable sur une large gamme, contrairement au mod`ele de Tchamwa par exemple.
– Tout comme l’algorithme de Tchamwa, l’amortissement d´epend fortement du pas de temps retenu par rapport au pas de temps critique.
– DGE n´ecessite des temps de calcul largement plus importants que CFD, par exemple d’un facteur 3 par rapport `a CFD.
Il semble donc que DGE soit performant pour la mod´elisation d’un ph´enom`ene sur un temps relativement court. Par rapport au mod`ele de Tchamwa ou CFD, les r´esultats sont plus pr´ecis bien qu’utilisant une att´enuation plus faible. En revanche, les temps de calcul sont plus importants.
N´eanmoins, le mod`ele DGE de Bonelli, tel que nous l’avons implant´e, ne semble pas “la” solution pour une mod´elisation sur une longue p´eriode : dans tous les cas, il y a d´et´erioration des r´esultats par rapport `a la solution th´eorique du probl`eme continu en temps et en espace.
0.00315 0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034 0.00345
temps en seconde
-60 -40 -20 0 20 40 60vitesse extrémité mm/s
rho= 0.1 rho= 0.3 rho= 0.6 rho= 0.9Fig. 3.13 – vitesse de l’extr´emit´e libre : influence du rayon spectral ρ apr`es une vingtaine d’aller/retours
3.3 Conclusion
Cette partie bibliographique illustr´ee de quelques exemples num´eriques 1D a permis de mettre en place les bases sur lesquelles repose cette ´etude. La discr´etisation spatiale sera assur´ee par la M´ethode des El´ements Finis (MEF ) et la discr´etisation temporelle sera assur´ee par la M´ethode des Diff´erences Finies (MDF ) ou la MEF.
Les caract´eristiques de la MDF, `a travers le sch´ema de Newmark, ont ´et´e expliqu´ees en d´etail au lecteur de mani`ere `a ce que la compr´ehension de la prochaine partie soit facilit´ee. Nous avons ainsi pu d´efinir des notions comme la stabilit´e d’un sch´ema, son ordre de pr´e-cision et son caract`ere dissipatif li´e `a la perte d’´energie totale. Dans cette ´etude, nous nous int´eressons quasi-exclusivement aux sch´emas explicites qui ont la qualit´e de permettre des calculs avec de faibles pas de temps. Ils ´evitent ainsi une perte d’informations qui pourraient intervenir lorsque de grands pas de temps sont appliqu´ees. Les sch´emas implicites, avanta-geux en temps de calcul pour de grands pas de temps, perdent ici leurs avantages et justifient l’emploi de leurs homologues explicites. Nous nous sommes int´eress´es de plus pr`es au sch´ema explicite des Diff´erences Finies Centr´ees (CFD) car c’est le seul sch´ema explicite implant´e dans de nombreux codes de calculs industriels.
Nous avons ´egalement choisi de pr´esenter le sch´ema de Runge-Kutta d’une pr´ecision d’ordre 4-5 pour connaˆıtre sa capacit´e `a reproduire le ph´enom`ene physique et r´epondre ainsi `a la question suivante : si la r´eponse num´erique est calcul´ee avec un ordre de pr´ecision plus ´elev´e, le bruit num´erique pr´ec´edemment identifi´e est-il toujours pr´esent ?
3.3. CONCLUSION 53 Un paragraphe concernant l’amortissement a ensuite montr´e plusieurs m´ethodes permet-tant de lutter efficacement contre les oscillations num´eriques parasites engendr´ees par le mod`ele num´erique.
Le bulk-viscosity bas´e sur l’ajout d’un terme de pression au tenseur de contrainte per-met d’obtenir de bons r´esultats en terme d’amortissement. Cette m´ethode introduite par [Von Neuman et Richtmeyer(1950)] est la m´ethode de pr´edilection pour les codes de cal-culs industriels. Elle est mˆeme par d´efaut pour tous les calcal-culs dynamiques dans le code LS-Dyna c.
R´ecemment, de nouveaux sch´emas d’int´egration temporelle amortissants sont apparus. Le sch´ema de Tchamwa a fait l’objet de la th`ese de [Soive(2003)]. Ce dernier a montr´e plusieurs avantages `a mettre au cr´edit de ce sch´ema `a un pas : un amortissement efficace des oscillations parasites, compar´e aux autres sch´emas d’int´egration temporelle qu’il a test´es, et un param`etre d’amortissement r´eglable sur une large plage, ce qui est fait un tr`es bon candidat pour un contrˆole de l’amortissement au cours du calcul.
Enfin, une nouvelle m´ethode de discr´etisation temporelle bas´ee sur la MEF et plus par-ticuli`erement sur les travaux de [Bonelli et al.(2001)] a ´et´e pr´esent´ee. Le fait d’utiliser une discr´etisation temporelle de type MEF nous semble plus convaincant pour repr´esenter un probl`eme de dynamique o`u la discr´etisation spatiale est ´egalement assur´ee par la MEF. L’uti-lisation de la mˆeme m´ethode (MEF ) pour repr´esenter le temps et l’espace peut se justifier par la dualit´e espace - temps apparaissant dans l’´equation des ondes de d’Alembert. De plus, l’utilisation du sch´ema de Bonelli dans le cadre d’une discr´etisation spatiale de type MEF n’a fait l’objet d’aucun travail, `a notre connaissance. Pour ces raisons, ces premi`eres investigations nous permettront d’´evaluer l’efficacit´e de telles m´ethodes.
En d´efinitif, nous ´etudierons plus particuli`erement l’efficacit´e des sch´emas de Runge-Kutta (pr´ecision ´elev´ee), de Tchamwa (amortissement efficace), de Bonelli (int´egration temporelle de type MEF) compar´es aux m´ethodes approuv´ees du Bulk-viscosity (pr´esent dans tous les codes de calculs dynamiques) et de CFD (sch´ema explicite que l’on peut qualifier de base en dynamique). D’autres sch´emas seront ´evalu´es ponctuellement sur le cas 1D pour permettre au lecteur d’obtenir des informations comparatives.