Pr´ esentation des outils d’amortissement
3.2 Discr´ etisation temporelle par la MEF (Galerkin- (Galerkin-discontinu)(Galerkin-discontinu)
3.2.1 Introduction
Les m´ethodes traditionnelles utilis´ees pour traduire l’´evolution temporelle de l’´equilibre sont fond´ees sur l’hypoth`ese d’une ´evolution continue. Parmi ces m´ethodes, nous avons vu les diff´erences finies centr´ees (CFD) pour l’explicite et la famille des m´ethodes de Newmark pour l’implicite. Dans le cas de fortes impulsions : impacts ou chocs, on observe des oscillations num´eriques qui n’ont aucun fondement physique : par exemple apr`es un cr´eneau de force. L’objectif ici est d’investiguer la m´ethode de Galerkin-discontinu, qui inclut par essence la possibilit´e d’avoir des discontinuit´es en position ou en vitesse. Diff´erents mod`eles ont ´et´e propos´es dans la litt´erature.
Par exemple X. D. Li et N.-E. Wiberg ([Li et Wiberg(1996)]) proposent une discr´etisa-tion de type P1-P1 en posidiscr´etisa-tion - vitesse. La posidiscr´etisa-tion et la vitesse sont des variables qui peuvent-ˆetre discontinues entre deux pas de temps, ainsi sur chaque intervalle de temps, il y a 4 inconnues, d´eplacement et vitesse initiaux et finals. La formulation variationnelle est clairement d´efinie et de mani`ere `a ´eviter la r´esolution d’un syst`eme 4 fois plus volumineux en ddl que le cas classique (CFD par exemple), une proc´edure it´erative est mise en place qui converge en 2 `a 6 it´erations sur les exemples donn´es. Une proc´edure d’adaptation automa-tique de pas de temps est propos´ee en fonction d’une norme d’erreur fond´ee sur le saut en vitesse et en position observ´e `a chaque pas de temps. De nombreux exemples classiques de validation montrent l’int´erˆet de la m´ethode : 1 ddl, 2 ddl coupl´e, 2 ddl avec un mode lent et un mode tr`es rapide que l’on veut supprimer, et enfin une supperposition de masse res-sort mod´elisant un immeuble soumis `a une onde de cisaillement (dont l’´equation est trait´ee comme un probl`eme 1D). Les auteurs, de mani`ere identique `a la plupart des autres travaux, montrent que la convergence est du troisi`eme ordre. Elle est bien meilleure que celle de Newmark classique, ce qui permet de retenir un pas de temps important. Il est important de noter que le syst`eme de pilotage en pas de temps semble efficace dans les cas o`u on ne s’int´eresse pas justement au saut ! Dans les autres cas, les r´esultats ne sont pas convaincants. La formulation est principalement implicite, inconditionnellement stable.
Les travaux de C.C. Chien, C.S. Yang, J.H. Tang ([Chien et al.(2003)]) d´ecrivent une m´e-thode (Time-Discontinuous-Galerkin : TDG) qui fait suite au travail de Li and Wiberg, l’apport principal ´etant le passage en 3D, la comparaison dans ce cas avec d’autres m´e-thodes classiques, et l’introduction d’une modification de l’algorithme it´eratif qui permet de diminuer le coˆut de calcul. L’analyse de la stabilit´e et de la pr´ecision est faite `a partir d’un oscillateur `a 1 ddl. Les r´esultats sont compar´es aux sch´emas classiques : Newmark, HHT, Wilson et Houbolt. On retrouve une pr´ecision du 3`eme ordre, et on observe un amortissement important des fr´equences num´eriques.
Xikui Li, Dongmei Yao, R. W. Lewis ([Li et al.(2003)]) proposent une formulation o`u seule la vitesse peut-ˆetre discontinue. L’interpolation de la position s’appuie sur les polynˆomes d’Hermite, et la vitesse est lin´eaire sur le pas de temps. Par rapport au mod`ele pr´ec´edent, le nombre de vecteurs inconnues passe de 4 `a 3. Les r´esultats obtenus semblent convaincants.
Ces derni`eres ann´ees, de tr`es nombreux travaux ont ´et´e men´es sur le sujet. Cependant, parmi l’ensemble des mod`eles propos´es, tr`es peu concernent un avancement explicite, th`eme principal de notre ´etude. Les travaux r´ecents les plus int´eressants semblent ˆetre ceux pr´esent´es
3.2. DISCR ´ETISATION TEMPORELLE PAR LA MEF (GALERKIN-DISCONTINU) 41 par Bonelli et all ([Bonelli et al.(2001)], [Bonelli et Bursi(2002)]. Ce mod`ele a ´et´e implant´e dans Herezh++ et est d´ecrit plus en d´etail par la suite.
3.2.2 Le mod`ele de Bonelli
Cette partie concerne la mod´elisation propos´ee par Bonelli et all ([Bonelli et al.(2001)], [Bonelli et Bursi(2002)] et les particularit´es de l’implantation dans Herezh++. La premi`ere publication traite du cas lin´eaire, la seconde est une extension au cas non lin´eaire des puis-sances internes. Dans le cas de l’implantation dans Herezh++, l’algorithme est ´egalement ´etendu au cas des puissances externes non-lin´eaires. On consid`ere la partition habituelle du temps, et on s’int´eresse `a l’int´egration du processus sur un pas de temps. Les deux inconnues du probl`eme sont la quantit´e de mouvement (au lieu de la vitesse) et la position, chacune pouvant-ˆetre discontinue aux bornes du pas de temps. L’interpolation de ces deux inconnues est de type P1-P1, c’est-`a-dire lin´eaires. Soient q(t) et p(t) la position et la quantit´e de mouvement. q(t) = t1(t) q1+ t2(t) q2 , p(t) = t1(t) p1+ t2(t) p2 (3.30) avec q1 = q(t+ n), q2 = q(t−n+1), p1 = p(t+ n), p2 = p(t−n+1) et t1(t) = (tn+1− t) h et t2(t) = t − (tn) h (3.31)
On associe aux positions et aux quantit´es de mouvement, les champs de fonctions tests suivantes :
wq(t) = t1(t) wq1+ t2(t) wq2 , wp(t) = t1(t) wp1+ t2(t) wp2 (3.32) Avec ces diff´erentes quantit´es, la m´ethode de Galerkin-Discontinu peut s’´ecrire sous la forme suivante : Z In wq ˙p(t) + Rint q(t), V (t) − Rext q(t), V (t) dt + Z In wp M−1p(t) − ˙q(t) dt −wpr q(t+n) − q0 +wqr p(t+n) − p0 = 0 (3.33)
pour r = 1 et r = 2, et o`u In est l’intervalle de temps consid´er´e ]tn, tn+1[, p0 = p(t− n), q0 = q(t−
n), V (t) est la vitesse au temps t, Rint(q(t), V (t)) est la puissance des efforts internes, Rext(q(t), V (t)) est la puissance des efforts externes.
On remarque que les conditions de continuit´e en vitesse et en d´eplacement sont prises de mani`ere “faibles” `a l’aide des troisi`eme et quatri`eme termes de (3.33), tandis que le premier terme repr´esente la forme variationelle des ´equations d’´equilibres des puissances int´egr´ees sur le pas de temps, et le deuxi`eme terme repr´esente la forme variationnelle de la relation vitesse-d´eplacement `a travers la quantit´e de mouvement.
Les expressions (3.30) et (3.31) sont introduites dans (3.33) et l’int´egration temporelle est effectu´ee de mani`ere explicite ce qui conduit `a (en retenant globalement la d´emarche propos´ee par Bonelli) :
Pq 1+p1 2 + p2 2 = p0+ Pi 1 pour wq1 Pq 2−p21 +p2 2 = Pi 2 pour wq2 −q21 −q22 +h 3M −1p1+h 6M −1p2 = −q0 pour wp1 q1 2 −q22 +h 6M −1p1+h 3M −1p2 = 0 pour wp2 (3.34) o`u pour α = 1 et 2 : Pq α = Z ti+1 ti tα(t) Rint(q(t), V (t))dt Pi α = Z ti+1 ti tα(t) Rext(q(t), V (t))dt (3.35)
Dans ces expressions, l’int´egration en temps est effectu´ee selon une quadrature de Gauss. Les auteurs pr´econisent 3 points d’int´egration par s´ecurit´e, bien que les tests que nous avons effectu´es montrent qu’a priori 2 points sont suffisants.
De mani`ere `a obtenir une r´esolution quasi-explicite, une m´ethodologie de type pr´ediction-correction est retenue avec une `a trois passes de pr´ediction-correction. Dans la pratique, deux passes conduisent `a un bon compromis pr´ecision/rapidit´e.
Nous rappelons les grandes lignes de la m´ethode qui est l´eg`erement modifi´ee pour prendre en compte un comportement non lin´eaire du chargement.
Tout d’abord, un r´e-arrangement des expressions (3.34) conduit au syst`eme d’´equations suivant, avec k l’indice de la passe de correction :
0 = r1(k) = 1 hM q2− Pq 1(k) − Pi 1(k) − p0− 1 h M q0 0 = r2(k) = 1 hM q1+ 1 3(Pq 2(k) + Pi 1(k)) − 1 h M q0 (3.36)
Dans ces expressions, les quantit´es de mouvements ont ´et´e condens´ees explicitement en fonction des d´eplacements selon :
p1 = 1
hM (3 q1+ q2− 4 q0) p2 = 1
hM (−3 q1+ q2+ 2 q0) (3.37)
3.2. DISCR ´ETISATION TEMPORELLE PAR LA MEF (GALERKIN-DISCONTINU) 43