Techniques de résolution des problèmes d’optimisation multiobjectif 43

Il existe un grand nombre de méthodes pour résoudre les problèmes d’optimisation multiobjectif, et la plupart de ceux-ci impliquent la transformation du problème multicritère en une série de problèmes monocritères.

3.2.1. Classification des différentes méthodes

Les méthodes disponibles pour la résolution des problèmes d’optimisation multiobjectif peuvent être classées selon différentes caractéristiques. Un des types de classification est basé sur le nombre de solutions qui sont ou ne sont pas générées, et le rôle du décideur (« Decision Maker », DM) dans le choix de la solution du problème. Cette classification, adoptée par Miettinen (Miettinen, 1999) et Diwekar (Diwekar, 2010) est illustrée sur la Figure 11.

Figure 11. Classification des méthodes de résolution multiobjectif (adaptée de Rangaiah (Rangaiah & Bonilla-Petriciolet, 2013)).

Le décideur est un (ou des) individu (s) (ou entité (s)) apte à juger et sélectionner une solution du front de Pareto afin de l’implémenter, en utilisant son expérience et d’autres considérations non incluses dans le problème d’optimisation multiobjectif. Comme il est illustré sur la Figure 11, les méthodes sont initialement classées en deux groupes principaux : les méthodes de génération et les méthodes basées sur la préférence du décideur. Les premières génèrent une ou plusieurs solutions optimales au sens de Pareto en dehors de données du décideur. Lorsque les solutions sont obtenues, le décideur intervient dans la sélection. Tandis que les méthodes

Méthodes d’Optimisation Multi-objectif Méthodes de Génération Méthodes Basées sur Préférence Méthodes a Posteriori en Utilisant Approche Multi- Objectif (e.g. Algorithme Génétique triée Non-Dominée et Recuit Simulée Multi-Objectif) Méthodes de Non Préférence (e.g. Critère Global, Solution de Compromis Neutre, Centre de Gravité ) Méthodes a Posteriori en Employant Approches Scalaires (e.g. Méthode de Pondération et Méthode ε- Contrainte) Méthodes a Priori (e.g. Function de Valeur et « Goal Programming ») Méthodes Interactives (e.g. Méthode du Compromis par Substitution et NIMBUS)

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basées sur la préférence utilisent les préférences spécifiées par le décideur au cours des différentes étapes pour résoudre le problème.

Les méthodes de génération sont donc divisées en trois sous-groupes, à savoir, les méthodes de non préférence, les méthodes a posteriori en employant les approches scalaires et enfin, les méthodes a posteriori en utilisant l’approche multiobjectif. Les premières, comment leur nom l’indique, ne requièrent pas une spécification de priorité des objectifs. Les méthodes a posteriori sont basées sur la transformation du problème multicritère en une série de problèmes monocritères, qui doivent être résolus à l’optimalité afin de trouver le front de Pareto. Des exemples de ces méthodes sont la méthode  -contrainte et les méthodes de pondération.

Les méthodes a posteriori utilisent une approche multiobjectif pour classer les solutions d’essai en se basant sur les valeurs des fonctions objectif, et finalement trouver plusieurs solutions optimales. Celles-ci comprennent les méthodes évolutives et les méthodes stochastiques, e.g. les algorithmes génétiques et le recuit simulé. En fait, les solutions obtenues sont ultérieurement évaluées par le DM, qui choisit la solution à implémenter. Il est important de souligner que l’importance du DM dans ces méthodes est essentielle, car la procédure de résolution seule n’est pas capable de fournir une unique solution.

En deuxième lieu, les méthodes dites de préférence sont divisées en deux sous-groupes : les méthodes a priori et les méthodes interactives. Dans les premières, les préférences du DM sont d’abord incluses dans le problème d’optimisation multiobjectif, alors transformé en un problème monocritère. Dans ces méthodes, on retrouve les méthodes de la fonction de valeur, l’approche lexicographique et le « goal programming ». L’approche de la fonction de valeur implique la formulation d’une fonction de valeur, qui inclut les objectifs originaux et les préférences du DM. La méthode de pondération est considérée comme un cas particulier de ces méthodes. Ensuite, pour mettre en œuvre la méthode lexicographique, le DM doit ranger les objectifs selon leur l’importance et résoudre le problème monocritère résultant. Dans le goal programming, le DM fourni un niveau d’aspiration pour chaque objectif (dont la réalisation est le but, ou goal) et en rajoutant des contraintes sur ces buts, le problème est transformé en un problème monocritère équivalent.

Finalement, on trouve les méthodes interactives, qui demandent une interaction avec le DM pendant la résolution du problème multicritère. Après chaque itération, le DM obtient la solution Pareto-optimale et peut proposer des changements (soit amélioration, compromis ou aucun) pour chacune des fonctions objectif. Ces préférences sont incluses dans le problème d’optimisation, qui est résolu lors de la prochaine itération. Finalement, les méthodes interactives fournissent une ou

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plusieurs solutions Pareto-optimales. Des exemples de ces méthodes sont la méthode du compromis par substitution et la méthode NIMBUS (Miettinen & Mäkelä, 2000).

En guise de résumé, le Tableau 2 récapitule les avantages et limitations relatives aux groupes des méthodes évoquées.

Méthode Avantages Inconvénients

Méthodes de Non Préférence

Ne requièrent pas d’entrées du DM. Les méthodes peuvent trouver

une solution Pareto- optimale proche du vecteur

idéal.

Temps de calcul élevé

Méthodes a Posteriori en employant approche scalaire La méthode de  - contrainte est simple et

efficace pour les problèmes avec peu d’objectifs différents.

Résolution d’une série de problèmes d’optimisation monocritère. Il n’est pas trivial

de trouver les valeurs d’ pour la convergence du problème. La méthode de pondération n’est pas capable de trouver la solution Pareto-optimale si la région est non- convexe. Difficile de déterminer les valeurs

des coefficients de pondération. Méthodes a

Posteriori en employant

approche Multiobjectif

Grand nombre de solutions pourvue. Rôle du DM après avoir obtenu les

solutions optimales.

Presque toutes les solutions pourvues ne seront pas utilisées, donc elles sont considérées comme une perte de temps d’un point de vue numérique. Avec des problèmes de grande taille le temps de résolution est

prohibitif. Méthodes a

Priori

Ces méthodes fournissent une solution Pareto- optimale respectant les

préférences, elles sont donc relativement

efficaces.

Requièrent les préférences du DM d’abord, ce qui peut s’avérer difficile sans bien connaitre les valeurs des fonctions objectif.

Méthodes Interactives

Le DM joue un rôle actif pendant la résolution du problème. Puisqu’ils ne fournissent qu’une seule

ou quelques solutions Pareto-optimales, elles

sont efficaces.

Le temps passé et les efforts du DM sont nécessaires et ce n’est pas toujours possible.

Il est possible de n’explorer qu’un petit espace du front de Pareto.

Tableau 2. Caractéristiques, avantages et limitations des méthodes (adapté de Rangaiah (Rangaiah & Bonilla-Petriciolet, 2013)).

Le choix de la méthode dépend essentiellement du problème et de la modélisation associée dans le paragraphe. Dans le cas de EIP, un concept de superstructure est envisagée.

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4. Modèles spécifiques d’optimisation pour la