Techniques de contrôle de l’erreur

Les méthodes d’adaptation de maillage ont été introduites dans l'étude de la MEF par Babuska et Rheinboldt (1978, 1980). Après avoir déterminé les erreurs, il était intéressant pour les chercheurs de développer des méthodes d’adaptation qui, en tenant compte des erreurs calculées, améliorent les solutions approchées à partir d’un maillage courant. Au cours du temps, une série de techniques adaptatives a été développée. Leur objectif est d'obtenir facilement des solutions plus précises. L'efficacité des techniques adaptatives dépend de la qualité de l'estimateur d'erreur choisi.

Comme une grande partie des erreurs de discrétisation sont des erreurs de discrétisation spatiale, la solution MEF peut être considérablement améliorée par un remaillage. Une méthode automatique de génération de maillage est alors considérée. Zhu et Zienkiewicz (1997) définissent les caractéristiques de base d'un générateur automatique de maillage : robuste, rapide, facile à utiliser et à générer de bonnes mailles.

Les chercheurs ont proposé trois méthodes pour développer des générateurs automatiques de maillage :

- triangulation de Delauney ; - méthode frontale avancée ; - méthode “finite octree”.

Chacune de ces méthodes présente des désavantages. La triangulation de Delaunay est une méthode globale, ce qui rend difficile le contrôle de la qualité du maillage. La technique frontale avancée est difficile à implémenter dans les codes

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numériques et la méthode “finite octree” dépend fortement des coordonnées du point de la géométrie du modèle.

La génération automatique de maillage 3D est intéressante car un certain nombre de structures complexes ne peuvent être analysées à l'aide de modélisation 2D. La première génération de maillage est souvent coûteuse, donc, l’application d’une des techniques de régénération de mailles serait encore plus coûteuse et souvent inefficace. Zhu et Zienkiewicz (1997) proposent une combinaison entre la triangulation de Delauney et la méthode frontale avancée pour la génération automatique de maillage 3D avec des éléments tétraédriques. Depuis lors, un certain nombre d'auteurs ont étudié et essayer d'améliorer la génération automatique de maillage (Boussetta, 2005; Rachowicz et al., 2006; Kurtz et Demkowicz, 2007).

Les méthodes d’adaptation de maillage sont les suivantes :

- r-adaptation: optimise la position des nœuds du maillage (Carroll et Baker, 1973 ; Kikuchi et al., 1986). La méthode est présentée dans Figure II.6.

L’inconvénient majeur de cette méthode réside dans le fait que l’amélioration de la précision est limitée par le nombre de degrés de liberté disponibles. Le nombre de degrés de liberté est constant.

Figure II.6 Représentation graphique de la méthode r-adaptation (Delmas, 2008)

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Cette méthode consiste à modifier la taille des éléments en conservant le type d’interpolation et la topologie du maillage. Il y a deux manières pour mettre en œuvre cette approche :

a) raffinement local, appelé aussi “element bisection method” ou adaptation hiérarchique de maillage. Le raffinement est réalisé seulement dans les zones d’intérêt, Figure II.7 :

Figure II.7 h-adaptation : représentation graphique de la méthode de raffinement local (Delmas, 2008)

b) méthode globale de h-remaillage : le maillage est complètement régénéré (Carnet et al., 1981). Une représentation graphique de la méthode est présentée dans Figure II.8. L’avantage de cette méthode est de pouvoir uniformiser efficacement la distribution de l’erreur.

Figure II.8 h-adaptation : représentation graphique de la méthode de raffinement global (Delmas, 2008)

- p-adaptation: augmenter le degré d’interpolation des éléments, la topologie de maillage est conservée (Babuska et al., 1981 ; Babuska et Suri, 1990). Une représentation graphique de la méthode est présentée dans Figure II.9.

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Figure II.9 Représentation graphique de la méthode p-adaptation (Delmas, 2008)

Le degré d’interpolation des éléments est augmenté en conservant le maillage initial. Cette méthode se rapproche de plus la forme du modèle, ce qui convient pour les surfaces courbes. Les éléments linéaires introduisent des erreurs plus importantes, car ils ne décrivent pas la surface réelle.

- hp-adaptation : combinaison entre h-adaptation et p-adaptation.

Une technique d’adaptation très utilisée est la combinaison entre le type h et le type p. La méthode optimise les résultats par remaillage et augmentation du degré d'interpolation des éléments. Une première approche consiste à appliquer d'abord l’adaptation de type h pour atteindre une précision intermédiaire, puis à appliquer l’adaptation de type p (Zienkiewicz et al., 1989). Une autre approche consiste à utiliser les deux méthodes de façon à optimiser la vitesse de convergence (Rank et Babuska, 1987). Des méthodes d’amélioration de l’adaptation de type hp ont été proposées par Paczelt et al. (1999) pour des problèmes de contact et par Solin et Demkowicz (2004) pour des problèmes elliptiques.

Askes et al. (2002) ont développé une technique d’adaptation de maillage à partir de l’adaptation de type r et de l’adaptation de type h. L’intérêt était d’utiliser la meilleure caractéristique de chaque technique individuelle et de les combiner afin d'obtenir une stratégie d’adaptation plus efficace.

Des erreurs significatives sont souvent concentrées dans certaines zones du maillage, il est alors intéressant d'affiner le maillage dans ces régions pour optimiser le temps de calcul. Mar (1993) a introduit une méthode de raffinement qui augmente localement la qualité du maillage dans les zones d’intérêt.

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Les problèmes multiphasiques représentent une autre catégorie de problèmes coûteux pour les méthodes d’adaptation. El-Hamalawi et Bolton (1999) et Stelzer et Hofstetter (2005) ont essayé d’améliorer l’efficacité des techniques d’adaptation.

Les techniques présentées ci-dessus nécessitent un modèle discrétisé d’origine à partir duquel un maillage adapté est obtenu. Cette procédure n'est pas satisfaisante, elle entraîne des coûts élevés de calcul et devient impraticable pour les modèles numériques complexes. Bugeda et al. (2008) proposent une nouvelle stratégie d’adaptation qui permet de générer un maillage amélioré sans effectuer entièrement une technique de remaillage.

La méthode d’adaptation du maillage reste un sujet en cours de développement jusqu'à ce qu’une méthode robuste, efficace et facile d’emploi soit mise au point.

II.2.7 Quelques exemples de problèmes traités par les méthodes