Technique de reconstitution des séries temporelles in-situ en des points des cours

tions limnimétriques . . . 109 5.2.2 Solution par interpolation polynomiale de degré trois ou quatre . . . 111 5.3 Etape 2 : Construction d’une série temporelle de l’erreur approximée . . . 114 5.3.1 Corrections horaires et appariement des mesures in-situ et altimétriques . . . . 116 5.3.2 Construction d’une série temporelle de l’erreur approximée des mesures alti-

métriques . . . 118 5.4 Etape 3 : Calcul de la première approximation des indicateurs de qualité . . . 118

5.4.1 Critères de représentativité hydrologique des séries temporelles in-situ recons- tituées et conditions de recevabilité . . . 120 5.4.2 Approximation de la « qualité globale » des mesures altimétriques . . . 125 5.4.3 Approximation de la « qualité par périodes hydrologiques » des mesures alti-

métriques . . . 125 5.5 Conclusion . . . 128

5.1

Introduction

Le chapitre 4 a introduit les bases d’une « Méthode Standard de Quantification de la Qualité des Produits Alti-Hydrologiques » reposant sur la confrontation entre mesures altimétriques et mesures in- situ reconstituées aux stations virtuelles et sur le développement mathématique des indicateurs de préci- sion aboutissant aux équations (4.19).

Le présent chapitre détaille les trois premières étapes de cette méthode (cf. § 4.3.1) consacrées au calcul des indicateurs de qualité approximésµ_εeSatetσ_eεSatrésultant de cette confrontation entre mesures altimétriques et mesures in-situ reconstituées.

Le chapitre 6 détaillera les trois étapes suivantes permettant de tenir compte des erreurs de mesures in- situ et des erreurs de mesures in-situ reconstituées pour améliorer l’estimation des indicateurs de qualité des mesures altimétriques.

Note : Sauf mention contraire, les séries temporelles altimétriques présentées dans les figures de ce chapitre sont issues du produit alti-hydrologique « AVISO/M-GDR/aec-opp-fg3-fcr2p5 ».

5.2

Etape 1 : Reconstitution d’une série temporelle in-situ à la station

virtuelle à partir des mesures in-situ amont et aval

Pour la majorité des stations virtuelles altimétriques, la station limnimétrique la plus proche se situe à une distance trop grande pour pouvoir raisonnablement être comparée directement à la série temporelle altimétrique. La figure 5.1 montre, dans le cas du bassin amazonien, l’histogramme de distribution des distances des stations virtuelles aux stations limnimétriques les plus proches. La distance médiane pour 38 stations virtuelles (sur 77) est de55km environ.

50 100 150 200 250 0 2 4 6 8 10

Distance a station la station limnimetrique la plus proche (dspp) (km)

Nombre

FIG. 5.1: Histogramme des distances des stations virtuelles aux stations limnimétriques les plus proches. De ce fait, la comparaison directe entre mesures altimétriques et mesures in-situ n’est possible que pour un très faible nombre de stations virtuelles et ne fournit pas une information statistiquement signifi- cative sur la précision des mesures altimétriques (seulement2 stations virtuelles disposent d’une station limnimétrique à moins de10km de distance).

Pour cette raison il est nécessaire d’appuyer l’analyse de la précision sur des séries temporelles in-situ reconstituées. A cette fin, nous avons mis au point une technique d’interpolation de la ligne d’eau à un instant t fixé, basée sur des mesures in-situ issues de stations limnimétriques amont et aval (de deux à quatre stations limnimétriques1_).

Plusieurs configurations peuvent se présenter selon la situation de la station virtuelle et la disponibi- lité des stations limnimétriques en amont et/ou à l’aval. Dans le cas où des stations limnimétriques sont

1

Notons toutefois que l’interpolation basée sur deux stations limnimétriques revient, quelle que soit la méthode employée, à de l’interpolation linéaire.

présentes seulement à l’amont ou à l’aval, nous nous retrouvons dans une configuration dite « d’extra- polation ». Dans le cas où des stations limnimétriques sont présentes à la fois à l’amont et à l’aval, nous nous retrouvons dans une configuration dite « d’interpolation » ; configuration a priori la plus favorable.

Plusieurs techniques pourraient être utilisées pour estimer le niveau réel des cours d’eau sous la trace du satellite. L’utilisation de modèles de propagation hydrauliques déterministes (ou de modèles concep- tuels) tels que des modèles du second ordre avec retard permet de calculer en tout point x le niveau des eaux entre deux stations limnimétriques. Cependant, deux raisons nous ont poussés à privilégier la méthode d’interpolation présentée ci-dessous :

– La régularité des profils des lignes d’eau à un instant t fixé (cf. § 5.2.1, p. 109), nous permet de définir une technique simple, stable et moins gourmande en temps de calcul.

– Le calage des paramètres de modèles hydrauliques est en général un travail assez lourd, dont les résultats peuvent être d’une qualité insuffisante pour la mise en œuvre de la Méthode Standard de Quantification de la Qualité des Produits Alti-Hydrologiques.

5.2.1 Technique de reconstitution des séries temporelles in-situ en des points des cours d’eau par interpolation polynomiale à minimum d’énergie entre les stations limni- métriques

Le principe d’interpolation que nous proposons de mettre en œuvre ici repose sur une hypothèse physique sur la forme du profil de la ligne d’eau d’un cours d’eau à un instantt fixé2_{. Nous supposons} que pour des fleuves de plaine considérés sur de grandes distances, le profil longitudinal de la ligne d’eau se rapproche d’une courbe strictement croissante et convexe qui peut être qualifiée de courbe à «énergie minimale » du profil longitudinal. Cette hypothèse repose sur le fait que l’écoulement le long du cours d’eau a pour effet d’éroder plus rapidement le fond du lit aux endroits où les eaux dissipent le plus d’énergie (pente forte, vitesse d’écoulement élevée), la force d’arrachement y étant plus grande. Ce phénomène d’érosion a pour conséquence le lissage du fond du lit, et donc du profil de la ligne d’eau.

La figure 5.2 montre un échantillonnage spatial du profil longitudinal de la ligne d’eau des fleuves Solimões et Amazone à différentes dates (tous les deux mois) obtenu à partir des mesures in-situ (ANA), les stations limnimétriques ayant été nivelées par [Kosuth et al., 2006]. La forme convexe et lisse de la ligne d’eau sous-tend l’hypothèse selon laquelle son profil longitudinal à un instantt fixé est à énergie minimale (cf. éq. (5.1)).

SoitZ(x, t), le niveau d’un cours d’eau à l’abscisse x et à l’instant t. Pour un tronçon de cours d’eau délimité par les abscisses curvilignes ∆x = [xmin, xmax], nous appellerons « énergie de son profil »3

l’expression_{E(t, ∆x) ci-dessous. Soit pour un tronçon ∆x :}

E(t, ∆x) = Z xmax xmin  ∂2Z(x, t) ∂x2 2 dx (5.1) avec :     xmin= inf(∆x) xmax= sup(∆x) 2

Le profil de la ligne d’eau d’un cours d’eau, à un instantt fixé, représente l’altitude de la surface de l’eau en fonction de son

abscisse curvilignex. Nous adoptons pour convention que l’abscisse curviligne d’un cours d’eau trouve son origine à l’océan

et croît à mesure que l’on s’en éloigne vers l’amont. 3

Notons qu’il ne s’agit pas de l’énergie hydraulique de l’écoulement mais d’une hypothèse sur la régularité longitudinale de la perte d’énergie.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000 10 20 30 40 50 60 70

Abscisse curviligne (km) (Ouest->Est) Z Mis (m) Embouchure Santarem Obidos Parintins Jatuarana Manacapuru Anama Codajas Itapeua Tefe Fonte Boa

Sao Paulo De Olivenca

Tabatinga Abscisse de la station virtuelle TP-076A-Solimoes 01/01/1997 01/03/1997 01/05/1997 01/07/1997 01/09/1997 01/11/1997

FIG. 5.2: Illustration du profil de la ligne d’eau en fonction de l’abscisse curviligne des fleuves Solimões et Amazone à différentes dates de l’année 1997. Les mesures sont issues de douze stations limnimétri- ques in-situ dont le nivellement a été réalisé à partir de mesures d’altimétrie radar [Kosuth et al., 2006]. La ligne verticale en pointillés est positionnée sur l’abscisse de la station virtuelle « TP-076A-Solimoes » pour laquelle un exemple de série temporelle in-situ reconstituée est donné à la figure 5.4.

FIG. 5.3: Carte des stations limnimétriques utilisées pour l’illustration du profil de la ligne d’eau de la figure 5.2. (Carte Google Maps)

L’enjeu réside dans le choix d’une fonction mathématique Z(x, t) continue doublement dérivable permettant d’intégrer la contrainte de minimisation de l’énergie du profil de la ligne d’eau à l’instant t sur l’intervalle considéré. La fonction choisie doit vérifier les trois conditions suivantes4 :

1. elle passe par les pointsN de mesures fournis par les stations limnimétriques sélectionnées, 2. elle est continue et doublement dérivable sur l’intervalle∆x, sa dérivée seconde étant continue, 3. l’énergie_{E de la fonction sur l’intervalle ∆x est minimale.}