Revenons enfin `a notre “atome” de quantons sans spin en pr´esence d’un noyau in-finiment lourd. Soumis `a un champ ´electromagn´etique, son hamiltonien est donn´e par les ´equations (II.23), (II.24) et (II.25). Le choix de la jauge de radiation per-met de n´egliger pr´ecis´ement la contribution du potentiel coulombien instantan´e, φ, `a l’interaction, dans la mesure o`u l’atome est assez loin des sources du champ
´electromagn´etique. Supposons aussi le champ assez faible pour pouvoir n´egliger le terme diamagn´etique enA2, du second ordre par rapport au terme paramagn´etique proportionnel `a A (donc pas d’effets non lin´eaires). L’hamiltonien d’interaction, sous la forme factoris´ee (II.28), (II.29), se r´eduit alors `a
Hint≈ −q
d3r j(r)·A(r, t), (II.61) en repr´esentation de positions des quantons.
Le courant de mati`ere j est d´efini en (II.27); il d´epend des grandeurs physi-ques positions et impulsions des quantons, et du param`etre position r. Il est par contre ind´ependant du champ ´electromagn´etique, tandis que A(r, t), ind´ependant des grandeurs physiques des quantons, est un simple facteur r´eel, pas un op´erateur.
Ce courant j n’a rien `a voir avec le courant source du champ ´electromagn´etique, contingence technique dont nous n’aurons plus `a nous pr´eoccuper. L’hamiltonien d’interactionHint d´epend, quant `a lui, des positions et impulsions des quantons et du temps, mais pas du param`etrersur lequel on a maintenant int´egr´e.
R´efugions-nous dans notre boˆıte pour d´ecrire le rayonnement. L’utilisation du d´eveloppement du potentiel vecteur en modes plans rectilignes (II.46) conduit `a l’expression de l’hamiltonien d’interaction
Hint=− q
√V
kT
AkTˆεεεkT·j−ke−iωt+A∗kTˆεεε∗kT ·jkeiωt
,
plus simple qu’il n’y paraˆıt, car les seuls op´erateurs agissant dans l’espace des ´etats des quantons sont les
jkdf=
d3re−ik·r j(r), (II.62)
27Voir par exemple [26] et [49].
II Exercices 49 soit, par d´efinition dej,
jk= 1 2m
Z
i=1
Pie−ik·ri+e−ik·riPi
.
Dans le cas d’un faisceau monomodekT, il ne reste que Hint =− q
√V
AkTˆεεεkT·j−ke−iωt+A∗kTεεˆε∗kT ·jkeiωt
. (II.63)
Le terme d’interaction a alors une variation temporelle purement harmonique et, suivant le rappel de la section pr´ec´edente, le taux de transition (on dit d’excitation dans ce cas) d’un atome initialement dans son ´etat fondamentalAest:
ΓA→B =2πq2
¯hV AkT2B|ˆεεεkT·j−k|A2δ(EB−EA−¯hω), (II.64) c’est-`a-dire non n´egligeable seulement vers des ´etats finalsBtels queEB≈EA+¯hω.
Cette formule rend compte `a merveille des processus d’absorption au cours desquels un atome passe de son fondamental `a un ´etat excit´e sous l’action d’un rayon-nement ´electromagn´etique ext´erieur pas trop intense. Avec un faisceau de fr´equence ad´equate, l’´etat final peut ˆetre tellement excit´e qu’il correspond `a l’´ejection d’un quanton dans un ´etat non li´e. On a donc aussi une description quantique de l’effet photo-´electrique.
Tout aussi simplement, en partant de l’´etat initial excit´eB, la contribution du deuxi`eme terme de (II.63) cette fois, permet de calculer le taux de d´esexcitation ΓB→A, d’ailleurs ´egal `a ΓA→B.
Tout serait-il donc maintenant pour le mieux dans le meilleur des mondes? Loin s’en faut. Nous allons voir que le mod`ele semi-classique de l’interaction mati`ere-rayonnement auquel nous sommes parvenus ne fait pas toute la lumi`ere sur les ph´enom`enes observables, et que les tentatives de r´eparation heuristiques conduisent
`
a des descriptions du rayonnement contradictoires.
Exercices
1. Feynman [29, l. II §27-3] recommande un “truc” de calcul fort commode lorsque l’op´erateur d´erivatif ∇∇∇ s’applique `a un produit de fonctions, que celles-ci soient scalaires ou vectorielles. Il suffit de d´ecomposer l’op´erateur en somme d’op´erateurs analogues agissant respectivement sur chacune des fonctions et in-diff´eremment `a gauche ou `a droite. Il ne reste plus ensuite qu’`a appliquer les r`egles ordinaires de l’alg`ebre vectorielle `a ces op´erateurs sp´ecialis´es. Par exemple:
∇∇∇ ·(A∧B) = (∇∇∇A+∇∇∇B)·(A∧B)
= ∇∇∇A·(A∧B) +∇∇∇B·(A∧B)
= B·(∇∇∇A∧A) +A·(B∧ ∇∇∇B)
= B·(∇∇ ∧∇ A)−A·(∇∇∇B∧B)
= B·(∇∇ ∧∇ A)−A·(∇∇ ∧∇ B).
i) Calculez de cette fa¸con ∇∇(f g), o`∇ u f et g sont des fonctions scalaires. En d´eduire l’expression d´evelopp´ee de∇∇∇
eiω(r)f(r)
.
ii) Calculez de la mˆeme fa¸con ∇∇ ·∇ (fA), o`u Aest une fonction vectorielle. En d´eduire les expressions de:
a)∇∇∇ ·
eiω(r)A(r)
;
b)∇∇ ·∇ (εεε eik·r), ouεεεet ksont des vecteurs constants;
c)∇∇∇ ·(f∇∇∇g), ouf etg sont des fonctions scalaires.
iii) Calculez∇∇∇ ∧
A(r, t)ψ(r, t)
. En d´eduire l’expression de∇∇∇ ∧(εεε eik·r).
2. La fonction-d’onde ψ(r, t) = e−i¯hqω(r,t)ψ(r, t) ´evolue selon l’´equation de Schr¨odinger libre
i¯h∂
∂tψ= P2 2mψ.
i) CalculezP2e−i¯hqωψ,
a) na¨ıvement, en utilisant directementP2=−¯h2∆;
b) plus astucieusement, en suivant la m´ethode expos´ee dans le texte (p. 13) et grˆace aux relations trouv´ees (Exercice 1), c’est `a dire en calculant d’abord Pe−ihq¯ωψ, puis l’action deP(sous forme de produit scalaire) sur le r´esultat.
c) Appr´eciez la simplicit´e de la deuxi`eme m´ethode de calcul.
ii) En d´eduire l’´equation d’´evolution deψ.
3. V´erifiez que les mˆemes champs E,B (d´efinis par (II.6–II.7)) d´erivent des potentiels φ,Aet des potentiels transform´esφ,A (d´efinis par (II.11–II.12)).
4. Les fonctions-d’ondeψetψsont reli´ees par la transformation de jauge locale (´eq. (II.3)):
ψ(r, t) =e−ihq¯ω(r,t)ψ(r, t).
i) Comparez les ´el´ements de matrice a) ψ(t)|R|ψ(t)etψ(t)|R|ψ(t);
b)ψ(t)|P|ψ(t)etψ(t)|P|ψ(t).
ii) V´erifiez que ψ(t)|(P−qA)|ψ(t)est invariant de jauge.
5. De l’utilit´e du tenseur antisym´etrique de Levi-Civita (p. 22):
II Exercices 51 i) Montrez queεijk=εkij=εjki.
ii) V´erifiez que la composanteid’un produit vectoriel peut s’´ecrire (A∧B)i=εijkAjBk.
iii) V´erifiez que εijkεilm =δjlδkm−δjmδkl. En d´eduire des expressions com-modes deA∧(B∧C),∇∇ ∧∇ (∇∇∇ ∧A) et (A∧B)·(C∧D).
6. Etant donn´e une constante r´eelleB . . .
i) D´eterminez une fonction de jaugeω(r, t) qui permette de passer des potentielsφ= 0,A= (−By/2, Bx/2,0),
aux potentielsφ = 0,A= (−By,0,0).
ii) V´erifiez que les champsEet Bsont encore les mˆemes.
iii) Mˆemes questions pour passer `a φ=−V x,A= (V t, Bx,0), o`uV est une constante.
7. A propos des moments angulaire orbital et de spin d’un quanton.
i) V´erifiez que la propri´et´e [Ri, Pj] =i¯hδij et la d´efinitionLdf=R∧Pimpliquent [Li, Lj] =i¯hεijkLk.
ii) V´erifiez que la propri´et´e [Ji, Jj] =i¯hεijkJk et la d´efinitionS df=J−L im-pliquent [Si, Sj] =i¯hεijkSk.
iii) Montrez que [Ji, Rj] = i¯hεijkRk et [Ji, Pj] = i¯hεijkPk. (Commutateurs caract´eristiques d’op´erateurs vectoriels.)
iv) Montrez que [Si, Rj] = [Si, Pj] = 0.
8. A propos des diverses formes de l’´equation de Schr¨odinger d’un quanton libre de spin 1/2.
i) Ecrivez l’´equation aux d´eriv´ees partielles correspondant `a (II.19), dans le cas a= 0.
ii) D´eterminez le syst`eme diff´erentiel lin´eaire du premier ordre ´equivalent `a cette
´equation. (Le “truc” consiste `a d´efinir des fonctions `a deux composantes auxiliaires χx
df=∂xψ,etc.) Quel est le rang de ce syst`eme?
iii) Et dans le cas g´en´eral (adiff´erent de 0 et de 1)?
9. Dans le cas d’un quanton de spin 1/2, quelle th´eorie de jauge pouvez vous fonder sur l’hamiltonien libre (aest un param`etre r´eel)
H0=2m1
aP2+ (1−a)(σσσ·P)2
?
Quelle valeur du facteurg cette th´eorie pr´edit-elle pour le quanton?
10. A propos des matrices de Pauli.
i) Calculez les matrices repr´esentatives de Sx, Sy et Sz dans la base des ´etats propres de S2 et Sz: |1/2 1/2 et |1/2 −1/2. Pour cela il faut se souvenir que
pour tout triplet d’op´erateurs satisfaisant les relations (II.15) (c’est le cas deSx,Sy et Sz) on a
Jz|j m = ¯hm|j m J±|j m = ¯h
j(j+ 1)−m(m±1)|j m±1, avec 2mentier ∈[−2j,2j], etJ±df=Jx±iJy.
ii) En d´eduire les expressions des trois matrices de Pauli.
iii) Calculez les neuf produitsσiσj et v´erifiez les propri´et´es (II.17).
iv) A l’aide des propri´et´es des εijk (trouv´ees dans l’exercice 5), d´emontrez l’identit´e (II.18).
11. Op´erateur vitesse d’un quanton.
i) Montrez que l’´evolution de la valeur moyenne d’une grandeur physique d’un syst`eme d’hamiltonienH est donn´ee par
i¯hd
dtψ(t)|G|ψ(t)=ψ(t)|[G, H]|ψ(t)+ψ(t)|i¯hdG dt|ψ(t).
ii) Calculez le commutateur [X1, H] de la composantexde la position du quan-ton 1 avec l’hamilquan-tonien (II.22).
iii) En d´eduire l’expression de l’op´erateur vitesse Vi du quanton i. Celle-ci est-elle invariante de jauge?