A resolu¸c˜ao de congruˆencias polinomiais (2.3) & (2.4) pode reduzir-se aos casos que temos vindo a estudar, como vamos ver. Note-se que para a discuss˜ao que segue n˜ao importa se f (x) ´e ou n˜ao um polin´omio.
Suponhamos ent˜ao que n ´e um n´umero natural composto, digamos n = pα1 1 p α2 2 · · · p αk k
para certos n´umeros primos pi.
Generalizando o argumento apresentado no exemplo 2.5.1, observe-se que f (x) ≡ 0 (mod n) ⇒ f (x) ≡ 0 (mod pαi
i ) (1 ≤ i ≤ k),
pelo que as solu¸c˜oes da congruˆencia
f (x) ≡ 0 (mod n) (2.13)
se encontram entre as do sistema de congruˆencias
f (x) ≡ 0 (mod pαi
i )
1 ≤ i ≤ k
Acontece que este sistema ´e mesmo equivalente `a congruˆencia (2.13), pois potˆencias de primos distintos s˜ao primas entre si e o seu produto divide qualquer n´umero dividido simultaneamente por todas elas (se a|c, b|c e a e b s˜ao primos entre si, ent˜ao ab|c.) Prov´amos ent˜ao o seguinte
Teorema 2.5.6 Se n ´e um n´umero composto de factores de base prima pαi
i n = pα1 1 · · · p αk k , a congruˆencia f (x) ≡ 0 (mod n) ´
e equivalente ao sistema de congruˆencias
f (x) ≡ 0 (mod pαi
i )
Vimos j´a que algumas congruˆencias polinomiais f (x) ≡ 0 (mod n) n˜ao tˆem solu¸c˜ao, mas se todas as do sistema (2.14) tiverem, ent˜ao h´a de facto solu¸c˜ao e dever´a ser poss´ıvel determin´a-la. Utilizaremos o seguinte lema
Lema 2.5.2 (Teorema Chinˆes do Resto) Se m1, ..., mk s˜ao n´umeros naturais pri-
mos entre si dois a dois e b1, ..., bk s˜ao n´umeros inteiros quaisquer, o sistema de con-
gruˆencias
x ≡ bi (mod mi)
1 ≤ i ≤ k (2.15)
tem solu¸c˜ao e quaisquer duas solu¸c˜oes s˜ao congruentes (mod m1· · · mk).
Dem. Comecemos pela afirma¸c˜ao final.
Se x e y s˜ao solu¸c˜oes do sistema (2.15), ent˜ao x − y ≡ 0 (mod mi) para qualquer
dos mi, ou seja, x − y ´e divis´ıvel por qualquer dos mi. Como os mi s˜ao primos entre si,
o seu produto divide x − y, como se pretendia concluir.
Quanto `a existˆencia de solu¸c˜ao para o sistema: vamos procur´a-la na forma
x = x1b1+ · · · + xkbk (2.16)
de modo que, para cada i,
1. todas as parcelas com poss´ıvel excep¸c˜ao da i-´esima sejam divis´ıveis por mi,
2. a i-´esima parcela seja congruente com bi (mod mi).
Para verificar a primeira condi¸c˜ao basta que
m0i = k Y j=1 j6=i mj |xi;
para verificar a segunda basta que
xi ≡ 1 (mod mi)
As duas condi¸c˜oes s˜ao verificadas simultˆaneamente se
(m0i)∗m0i ≡ 1 (mod mi) & xi = (m0i)∗m0i (2.17)
Ora cada m0i ´e primo com mi, portanto os inversos aritm´eticos (m0i)∗ existem e as
Exemplo 2.5.4 Considere-se a congruˆencia
x2− 1 ≡ 0 (mod 108). (2.18)
Como 108 = 22· 33, pelo teorema 2.5.6, (2.18) ´e equivalente ao sistema
x2− 1 ≡ 0 (mod 22) (i)
x2− 1 ≡ 0 (mod 33) (ii) (2.19)
Por simples inspec¸c˜ao conclui-se que as solu¸c˜oes da congruˆencia (i) s˜ao dadas por x ≡ 1, −1 (mod 22).
Quanto a (ii), vamos utilizar o teorema 2.5.5. O m´odulo 32 ´e ainda razoavelmente baixo e, tamb´em por inspec¸c˜ao, se podem obter as solu¸c˜oes
x ≡ 1, −1 (mod 32). Ora f0(x) = 2x donde
f0(1) = 2 ≡ −1 6≡ 0 (mod 3) & f0(−1) = −2 ≡ 1 6≡ 0 (mod 3).
Ambas as derivadas s˜ao invert´ıveis (mod 3) e nas congruˆencias em (2.9) k ≡ 0(mod 3), portanto
x2− 1 ≡ 0 (mod 33) se e s´o se x ≡ ±1 (mod 33).
O sistema (2.19) d´a ent˜ao lugar aos sistemas seguintes, que podem ser resolvidos uti- lizando, por exemplo, o Teorema Chinˆes do Resto 2.5.2, como vimos atr´as.
(S1) x ≡ 1 (mod 22) x ≡ 1 (mod 33) (S2) x ≡ 1 (mod 22) x ≡ −1 (mod 33) (S3) x ≡ −1 (mod 22) x ≡ 1 (mod 33) (S4) x ≡ −1 (mod 22) x ≡ −1 (mod 33)
De um modo geral, as solu¸c˜oes da congruˆencia (2.18) s˜ao dadas pela f´ormula x ≡ 3 · 33· (±1) + 7 · 22· (±1) ≡ ±81 ± 28 (mod 108)
onde as combina¸c˜oes de sinal s˜ao todas as poss´ıveis.
Resolvendo detalhadamente (S1): de acordo com a demonstra¸c˜ao de 2.5.2, com (2.16) e (2.17) tem-se m1 = 22, m01 = 33 e (m01)∗ ≡ −1 (mod 22) e tamb´em m2 =
33, m02= 22 e (m20)∗ ≡ 7 (mod 33). Segue-se que as solu¸c˜oes de (S1) s˜ao dadas por
2.6
Exerc´ıcios
1. Mostre que a congruˆencia y2 − x2− 2 ≡ 0 (mod 4) n˜ao tem solu¸c˜oes e conclua
que a equa¸c˜ao Diofantina y2− x2− 2 = 0 tamb´em as n˜ao tem.
2. Utilize congruˆencias m´odulo 4 para mostrar que se y2 = x3+ 2, ent˜ao x e y s˜ao ambos ´ımpares.
3. Seja f (x) = 11x3 + 15x2 + 9x − 2. Determine o resto da divis˜ao de f (a) por b para os pares (a, b) seguintes: (2,7), (6,7), (97,11).
4. Mostre que se p ´e primo, qualquer sequˆencia de p−1 n´umeros inteiros consecutivos que n˜ao inclui m´ultiplos de p ´e um sistema reduzido de res´ıduos (mod p).
5. Calcule φ(n) para n ≤ 28.
6. Mostre que se p ´e primo e n ∈ N, ent˜ao φ(pn) = pn− pn−1.
7. Resolva as congruˆencias: (a) 3x ≡ 1 (mod 5); (b) 3x ≡ 9 (mod 5); (c) 3x ≡ 9 (mod 24); (d) 5x ≡ 15 (mod 12); (e) x2+ 1 ≡ 0 (mod 4); (f) x3+ 2x + 1 ≡ 0 (mod 7); (g) x5+ x4+ x3+ x2+ x ≡ −1 (mod 5).
8. Determine os inversos (mod 18) de todos os inteiros que os tˆem. 9. Qual o inverso de 1975 (mod 2001)?
10. Mostre que uma quarta potˆencia ´e congruente com 0 ou 1 (mod 5). 11. Resolva as congruˆencias
(a) 2x + 3y ≡ 5 (mod 7); (b) x2+ y2− 5y ≡ 2 (mod 9).
12. Seja ak10k+ ak−110k−1+ · · · + a110 + a0 a express˜ao decimal do n´umero natural
n = akak−1· · · a1a0 (0 ≤ ai ≤ 9, 0 ≤ i ≤ k, a0 6= 0).
(a) Mostre que 11 | n se e s´o se 11 |Pk
i=0(−1)iai;
13. Mostre que se k for ´ımpar, 112k+ 192k ´e divis´ıvel por 241.
14. Resolva os sistemas de congruˆencias (a) 2x + 7y ≡ 2 (mod 5) 3x + 6y ≡ 2 (mod 7) ; (b) 9x + 3y ≡ 3 (mod 10) 15x + 2y ≡ 4 (mod 15) ; (c) 2x + 7y ≡ 2 (mod 5) 3x − y ≡ 11 (mod 5) .
15. Verifique se as seguintes congruˆencias tˆem ou n˜ao solu¸c˜ao e, no caso afirmativo, resolva-as.
(a) x2≡ −1 (mod 17); (b) x2≡ −1 (mod 43); (c) x2≡ −1 (mod 65).
16. Mostre o rec´ıproco do Teorema de Wilson:
Se m ∈ N \ {1} e (m − 1)! ≡ −1 (mod m), ent˜ao m ´e primo.
(Sugest˜ao: Observe que se m > 4 e m n˜ao ´e primo ent˜ao (m − 1)! ≡ 0 (mod m).) 17. Mostre que a equa¸c˜ao Diofantina x2+ 1 = 23y n˜ao tem solu¸c˜oes inteiras.
18. Seja p um n´umero primo. Mostre que (a + b)p ≡ ap+ bp (mod p).
19. Suponha que p ´e um primo ´ımpar. Mostre que
(a) (p−1)/2 Y i=1 (2i)2 ≡ (−1)(p+1)/2 (mod p), (b) (p−1)/2 Y i=1 (2i − 1)2 ≡ (p−1)/2 Y i=1 (2i)2 (mod p).
20. Reduza o mais poss´ıvel o grau dos polin´omios nas seguintes congruˆencias e resolva- as.
(a) 2x17+ 3x2+ 1 ≡ 0 (mod 5); (b) x10+ 2x5+ 1 ≡ 0 (mod 5);
(c) 3x23+ 2x20+ 4x17− x6+ x5− 3x3+ 2x + 1 ≡ 0 (mod 5).
21. Factorize (mod 11) de duas maneiras distintas os polin´omios f (x) seguintes, ob- servando que em cada caso f (a) ≡ 0 (mod 11).
(a) f (x) = x2+ 10x + 3, a = 6;
(b) f (x) = x3− x2+ x + 10, a = 1;
(c) f (x) = x3− 6x2− 2x + 20, a = −3.
22. Factorize (mod 13) o polin´omio f (x) = x4− 6x3− 3x2− 7x + 2 com pelo menos
dois factores de primeiro grau.
23. Mostre que o polin´omio x3+ 3x2+ 2x + 2 n˜ao pode ser factorizado (mod 5). 24. Resolva a congruˆencia xpα ≡ b (mod p) sabendo que p ´e primo e α ≥ 1. 25. Resolva os seguintes sistemas de congruˆencias
(a) x ≡ 3 (mod 7) x ≡ 2 (mod 6) x ≡ 1 (mod 5) (b) x ≡ 5 (mod 2) x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 2 (mod 5) (c) 3x ≡ 1 (mod 10) 4x ≡ 2 (mod 7) (d) 3x ≡ 2 (mod 4) 2x ≡ 7 (mod 15) 4x ≡ −1 (mod 7)
26. (a) Suponha que m, n ∈ N e que d = mdc(m, n). Mostre que o sistema de congruˆencias
x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n)
tem solu¸c˜ao se e s´o se a ≡ b (mod d) e que, nesse caso, a solu¸c˜ao ´e ´unica (mod mmc(m, n)).
(b) Determine se cada um dos seguintes sistemas de congruˆencias tem solu¸c˜ao e, em caso afirmativo, resolva-o.
i. x ≡ 5 (mod 6) x ≡ 7 (mod 10) ii. x ≡ 1 (mod 6) x ≡ 8 (mod 15) 27. Resolva as congruˆencias:
(a) x13≡ x (mod 1365); (b) x17≡ x (mod 4080).
28. Resolva as seguintes congruˆencias (a) x2+ x + 1 ≡ 0 (mod 8); (b) x3+ x2+ 1 ≡ 0 (mod 24);
(c) x4+ x2+ 1 ≡ 0 (mod 250). 29. Resolva a congruˆencia
4x4+ 9x3− 5x2− 21x + 61 ≡ 0 (mod 1125).
Nota: Pretende-se que este seja um exerc´ıcio de revis˜ao dos v´arios temas tratados sobre congruˆencias polinomiais.
30. Resolva a congruˆencia x50+ x12≡ 2 (mod 75).
31. Mostre que 5n3+ 7n5 ≡ 0 (mod 12), para qualquer inteiro n.
32. Determine todos os n´umeros inteiros cuja divis˜ao inteira por 8 e por 7 d´a respec- tiva e simultˆaneamente resto 6 e resto 5.
33. Um Coronel ap´os ter sido destacado para comandar um regimento do Ex´ercito quis saber por quantos efectivos esse regimento era formado, com esse objectivo mandou-os dispor sucessivamente em colunas de:
37 indiv´ıduos, tendo sobrado um indiv´ıduo; 32 indiv´ıduos, tendo sobrado 4 indiv´ıduos; 27 indiv´ıduos, tendo sobrado um indiv´ıduo.
Sabendo que um regimento tem menos de 10 000 efectivos, determine quantas pessoas constitu´ıam esse regimento.
34. Um casal resolveu ir fazer uma viagem `a volta do mundo. Sabendo que partiram no dia 1 de Mar¸co de um ano bissexto num domingo, que chegaram no dia 6 de Mar¸co, segunda-feira e que demoraram menos de 4 anos, determine quantos dias demorou a viagem usando o teorema chinˆes do resto.
Res´ıduos quadr´aticos
3.1
Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo, vamos estudar a resolubilidade de congruˆencias polinomiais de segundo grau
uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) (2 < m 6 |u)
Repare-se que a condi¸c˜ao 2 < m 6 |u evita que o grau do polin´omio no primeiro membro des¸ca. Vamos ver como se pode reduzir este estudo a congruˆencias da forma
x2 ≡ a (mod p) (p primo maior que 2 & p 6 |a) (3.1) Comecemos por observar que, fazendo a = v2− 4uw, x = 2uy + v, as solu¸c˜oes da congruˆencia inicial se encontram entre as da congruˆencia
x2≡ a (mod 4um), (3.2)
as quais s˜ao solu¸c˜oes do sistema ( x2≡ a (mod pαi i ) 1 ≤ i ≤ k se 4um = pα1 1 · · · p αk
k em representa¸c˜ao can´onica, resolvendo-se cada uma das con-
gruˆencias a partir da inicial x2 ≡ a (mod p). Na verdade, se m 6 |4u2, as solu¸c˜oes
pretendidas podem encontrar-se entre as da congruˆencia
x2 ≡ a (mod m), (3.3)
potencialmente com menos solu¸c˜oes.
Uma outra forma de considerar o problema consiste em observar que, se m ´e primo, o inverso (2u)∗ existe (mod m), ∆ := u2− vw e z2 ≡ ∆ (mod m), ent˜ao
uy2 + vy + w ≡ 0 (mod m) ⇔ u ≡ (−v ± z)(2u)∗ (mod m). Organizemos o estudo.