3.5 Effets du second ordre
3.5.1 Taille finie de source
C’est l’effet le plus significatif sur les courbes de lumière. Si l’on considère une source géante de dix rayons solaires dans le bulbe galactique, son rayon normalisé
ρ = ΘΘ∗
E vaut dans le cadre de notre exemple :
ρ = Θ∗
ΘE ∼ 6µas
0.7mas ∼ 0.01 (3.49)
Si Uo ≤ 0.01, alors la lentille résout spatialement la source ! Cela vaut également pour des étoiles plus petites. Si l’on prend le même exemple pour une étoile de rayon solaire, alors le paramètre d’impact minimal sera environ de 0.001, ce qui n’est pas inenvisageable. Dans le cas du Bulbe Galactique, on peut considérer que le rayon normalisé des sources est compris entre [0.0001,0.05], un interval partant des étoiles M aux plus grosses géantes. Le fait de considérer une source résolue implique des modifications dans les courbes de lumière. Witt & Mao (1994) sont les premiers à décrypter ce phénomène. La carte d’amplification autour de la lentille est à symé- trie circulaire et le gradient d’amplification est d’autant plus fort qu’on s’approche de la lentille, jusqu’à la singularité centrale. Ainsi, plus la source s’approche de la lentille, plus l’amplification varie rapidement. Cette hétérogénéité va expliquer la phénomonélogie résumée sur la Figure 3.18. Lorsque la source est à une distance significative, disons inférieure à 10ρ (Gould 2004) pour une variation non négligeable de la magnification, une partie de cette source est plus proche et est donc plus am- plifiée. Evidemment, la partie plus lointaine sera alors moins amplifiée. Cependant la moyenne spatiale de ces amplifications sera plus grande que pour le cas ponctuel. Inversement, si la source passe sur la lentille à une distance de ρ4 par exemple, seule- ment une faible surface de la source sera plus proche de lentille et donc plus amplifiée. Dans ce cas, l’amplification moyenne sera alors inférieure au cas ponctuel. La tran- sistion entre les deux cas s’effectuent pour un paramètre d’impact Uo ∼ ρ2 (Witt & Mao 1994). Cela est résumé sur la Figure 3.17. Mathématiquement, l’amplification totale de la source de brillance de surface constante AES est alors la moyenne des amplifications de chaque partie discrétisée :
Figure 3.17 – Dans les deux schémas, l’étoile source est en jaune, la lentille est représentée par le point noir. Le disque de rayon Uo représente les parties de la
source qui sont plus amplififées que le centre de celle-ci (en rouge). Pour le cas a), la source est relativement éloignée de la lentille. Cependant, une grand part de cette source est plus amplifiée que son centre, les effets de taille finie engendreront une plus grande amplification que le cas source ponctuelle. Dans le cas b), c’est l’inverse qui se produit. Une grande part de la source est moins amplifiée que le centre.
AES = Z 2π 0 Z ρ 0 A(U (r, φ))δrδφ (3.50)
On peut également voir l’amplification comme le rapport de l’aire des images, voir Figure 3.5, et l’aire de la source. L’expression complète de l’amplification est alors donnée par (Witt & Mao 1994) :
AES(z|ρ) = 1 π E π 2, k (z + 1)p4z2+ ρ2(z − 1)2 2ρ −F π 2, k (z − 1) ρ 4 +ρ22(z2− 1) p 4z2+ ρ2(z − 1)2 +Π π 2, n, k 2(z − 1)2 ρ(z + 1) 1 + ρ2 p 4 + ρ2(z − 1)2 (3.51)
avec z = Uρ, E, F et Π les intégrales elliptiques de première, seconde et troisième type définies par Gradshteyn & Ryzhik (1980) et :
n = 4z
(z + 1)2 ; k =
s
4n
4 + ρ2(z − 1)2 (3.52)
Cette formule étant relativement complexe, Gould (1994) émet alors l’idée que l’hy- pothèse d’une source ponctuelle se brise uniquement si la source est très proche de
la lentille, comme expliqué ci-dessus. La borne maximale vue ci-dessus étant de 0.05, cela signifie que l’on peut utiliser l’approximation A(U ) → U1. Dans ce cas, on obtient une formulation simplifiée au premier ordre en ρ (Gould 1994; Yoo et al. 2004):
AES(U |ρ) = A(U )Bo(z) (3.53) avec Bo(z) = 4 πzE(k, z) ; k = min( 1 z, 1) (3.54)
Attention, ici E est l’intégrale elliptique incomplète de second type introduite dans Gradshteyn & Ryzhik (1965). L’ effet de taille finie est représenté sur la Figure 3.18.
Figure 3.18 – Courbes d’amplification pour Uo = 0.001, tE = 30.0, to = 0.0 et
ρ = 0.01. Chaque courbe représente l’amplification pour différentes longueurs d’onde λ, la courbe verte est pour une source de brillance de surface uniforme. On voit
clairement les effets décrits dans le texte : l’amplification est augmentée à l’approche du pic tandis que l’amplification maximale est diminuée. La courbe en pointillé est pour une source ponctuelle. Très loin du maximum d’amplification, l’effet de taille finie est clairement négligeable.
Mais si l’on considère une source étendue résolue, il faut alors tenir compte de l’assombrissement centre-bord des sources (“limb darkening” en anglais). Autrement dit, la méthode du microlensing permet d’étudier le profil de brillance des atmo- sphères stellaires pour des étoiles situées à vingt-quatre mille années-lumière ! On voit ici la puissance du télescope spatial que sont les lentilles gravitationnelles. Ce- pendant, il ne faut pas espérer une trop grande précision dans cette mesure. Ainsi, nous nous contenterons d’une approximation linéaire pour décrire ce phénomène : la loi de Milne (Russell 1912; Milne 1921; An et al. 2002; Yoo et al. 2004):
Iλ= Fλ πΘ2 ∗ 1 − Γλ 1 −3 2cos φ (3.55)
Dans le cas des lentilles simples, Yoo et al. (2004) démontre que l’effet centre-bord peut s’écrire analytiquement à l’aide d’intégrale elliptique sous cette forme :
Ald(U |ρ) = A(U )[B0(z) − ΓλB1(z)] (3.57)
avec z = uρ et B0 et B1 des intégrales elliptiques de première et seconde espèces. En utilisant des tables pour ces deux variables, l’effet sur l’amplification de différentes longueurs d’onde est visible sur la Figure 3.18. On peut voir clairement que l’am- plification au pic est d’autant plus forte que la bande photométrique est dans les grandes longueurs d’onde. L’étude des effets de taille finie permet ainsi de connaître ΘE = Θ∗ρ et donc de contraindre la distance et la masse de la lentille, les mesures
photométriques pour différentes longueurs d’onde permettant, grâce à des relations tirées d’études interférométriques sur la brillance de surface et de couleur des sources (Groenewegen 2004; Kervella & Fouqué 2008), une mesure du rayon angulaire des source Θ∗. Ce type d’étude est détaillée dans le Chapitre 5. Les coefficients d’assom-
brissement centre-bord permettent également d’analyser les paramètres stellaires fondamentaux des étoiles sources et de les comparer aux données spectroscopiques. Bensby et al. (2009, 2010b,a, 2011, 2013) développe ainsi une étude très détaillée du Bulbe Galactique, difficilement accessible par d’autres méthodes. Néanmoins, il est assez rare de détecter ces effets. Une dizaine d’évènements par an seulement pré- sentent ces signatures dans le cas des lentilles simples. Le paramètre ρ est donc très peu utilisé pour les analyser. Il est cependant obligatoire de le prendre en compte dans le cas des lentilles multiples, le passage près d’une caustique entrainant les mêmes effets décrit précédemment. Un exemple est visible sur la Figure 3.19. Ce point est capital pour la modélisation des évènements. Le calcul de l’amplification d’une source ponctuelle est très rapide mais très lente pour une source résolue, à cause des singularités induites par les caustiques et la prise en compte de l’assom- brissement centre-bord. Nous verrons cela plus en détail dans le Chapitre 4.
Figure 3.19 – La figure de gauche expose la géométrie du problème. Les couleurs sont les mêmes que les figures précédente, le point vert représentant la taille finie de la source. Uo vaut 0.1, to est nul, tE vaut trente jours, s et q sont égaux à
un, α vaut −1.0, ρ est égal à 0.01 et Γ vaut 0.5. L’effet sur l’amplification lors du franchissement de caustique est visible sur la figure de droite, la figure du dessous étant un agrandissement. La courbe en rouge prend en compte les effets de taille finie. L’effet est similaire au cas lentille simple.
Commu vu sur la Figure 3.19, les effets de taille finie diminuent fortement les effets du franchissement de caustique (Han & Kim 2009). Il est possible de quantifier cet effet en calulant le ratio entre la taille de source et la largeur de la caustique centrale ω, dans le cas planétaire (Dominik 1999; Bozza 2000; Chung et al. 2005; Dong et al. 2009a):
ω = 4q s2 f or s 1 4qd2 f or s 1 q 27 16 q |s−1| f ors ∼ 1