A.3.1
Théorie de LLD
La théorie de LLD, et donc son adaptation dans le modèle à deux couches, se fondent sur le fait que la courbure du ménisque dynamique tend "rapidement" vers une constante, c’est à dire que le ménisque dynamique est de taille négligeable devant le ménisque statique, qui n’est alors pas perturbé. Si l’on considère par exemple que la zone du ménisque dynamique est telle que la courbure du profil est comprise entre 1% (frontière avec le film plan) et 99 % (frontière avec le ménisque statique) de sa valeur asymptotique, son épaisseur maximale YLLDdyn (adimensionnée) vaut dans le cadre de la théorie de LLD 20 environ. Soit en grandeurs dimensionnelles :
edynLLD = YLLDdyneLLD ≈ 20 aCa2/3
Si l’on suppose que la théorie de LLD n’est justifiée que lorsque edynLLD < a (a étant la taille typique du ménisque statique), on déduit des précédentes relations une épaisseur de liquide déposée maximale (pour les huiles silicones utilisées) emax
LLD = a/20 = 74 µm
(correspondant à un nombre capillaire d’environ 0,01), en accord avec les résultats expéri- mentaux.
La théorie de LLD suppose de plus que la longueur du ménisque statique est très grande devant son épaisseur. Or, en variables adimensionnées, cette longueurs vaut LdynLLD ≈ 8,5, soit en variables dimensionnelles
lLLDdyn = LdynLLDeLLDCa−1/3 ≈ 8,5 aCa1/3
lLLDdyn > edynLLD impose par exemple Ca1/3 < 8,5/20 soit Ca < 0,08, ce qui est une condition
à peu près équivalente à celle déterminée au paragraphe précédant.
A.3.2
Modèle à deux couches
Pour vérifier ces mêmes hypothèses dans le cadre du modèle à deux couches, nous avons calculé Ydyn et Ldyn pour différentes valeurs de h
p (1 µm, 10 µm, 100 µm), de α (1, 10,
100, 1000) et des nombres capillaires tels que el soit compris entre 0,01 µm et 100 µm.
Ydyn et Ldyn ne sont pas universels comme dans la théorie de LLD, pour laquelle ils valent
respectivement 20 et 8,5. Néanmoins la figure A.5 nous enseigne que, dans la gamme de paramètres étudiée, Ydyn et Ldyn s’éloignent très peu de ces valeurs (et de manière significative uniquement pour de faibles épaisseurs déposées).
On en déduit que la théorie développée est valable dans la même gamme d’épaisseurs que la théorie de LLD, soit pour les liquides utilisés lorsque el< 80 µm. Il est à noter que
A.3. TAILLE DU MÉNISQUE DYNAMIQUE 151 0,01 1 100 15 20 25 el(µ m) Ydy n 0,01 1 100 5 10 15 el(µ m) Ldy n
Figure A.5 – Épaisseur Ydyn et longueur Ldyn (variables adimensionnées) du ménisque dynamique dans le modèle à deux couches, en fonction de l’épaisseur libre déposée el. La
calcul a été effectué pour différentes valeurs de hp (1 µm (◦), 10 µm () et 100 µm (+))
et de α (1, 10, 100, 1000). Les traits horizontaux représentent la valeur attendue dans le cadre de la théorie de LLD.
Annexe B
Mesure de la rigidité des racloirs
Sommaire
B.1 Forme d’une plaque soumise à son propre poids. . . 153 B.1.1 Équation de la forme du racloir . . . 153 B.1.2 Conditions aux limites . . . 154 B.2 Méthode pour les racloirs les moins rigides . . . 155 B.2.1 Principe de la mesure . . . 155 B.2.2 Précision et limites . . . 155 B.3 Méthode pour les racloirs plus rigides . . . 156
B.1
Forme d’une plaque soumise à son propre poids.
Les équations régissant la forme de plaques de rigidité B soumises à une force extérieure ~
fext son déterminées dans la partie 4.2.2, page 68. Elles sont rappelées ici par commodité
(les notations sont celles de la figure B.1) :
Γ = EI dθ ds (B.1) d ~F ds =− ~fext (B.2) dΓ ds = ( ~F × ~t). ~uz (B.3)
B.1.1
Équation de la forme du racloir
La mesure de la rigidité des racloirs utilisés se base sur l’observation de leur forme lors- qu’ils se courbent sous l’effet de leur propre poids. Cette forme est ensuite comparée à la forme attendue, ce qui permet de déduire la valeur de B. La mesure nécessite ainsi de cal- culer la forme prise par une poutre dans le champ de gravité. Dans ce cas, la force extérieur
~
fext vaut ρbh ~g. L’intégration de l’équation (B.2) fournit alors (la constante d’intégration
est déterminée en imposant que ~F s’annule en bout de plaque) :
~
F = −ρbhs ~g + ~Cte = ρbh (L− s) ~g 153
154 ANNEXE B. MESURE DE LA RIGIDITÉ DES RACLOIRS
Figure B.1 – Notations utilisées pourexprimer l’équilibre mécanique d’une poutre. ~F (s) et Γ(s) sont la force et le couple exercés en un point de la poutre par la portion de poutre située "à sa droite".
De même, l’équation (B.3) devient : dΓ
ds = ρbhg (L− s) sin θ Cette dernière équation se combine avec B.1 :
d2θ
ds2 =
ρbhg
EI (L− s) sin θ
En adimensionnant la variable s par L (la nouvelle variable ˜s varie alors entre 0 et 1), on peut écrire l’équation régissant la forme de la poutre sous la forme suivante :
d2θ
d˜s2 = ∆ (1− ˜s) sin θ (B.4)
Le nombre sans dimension ∆ = ρbhgLEI 3 =
L Lc
3
compare l’effet de la gravité à la rigidité de la plaque. Lcest la longueur typique de racloir à partir de laquelle la gravité se fait sentir,
qui augmente avec la rigidité de la plaque et diminue avec sa densité. Lorsque L Lc,
l’élasticité domine et la plaque plaque est droite (lorsque ∆ 1, le membre de droite de l’équation (B.4) est faible). Au contraire, lorsque L Lc, la plaque est largement déformée
par son propre poids. En introduisant la masse surfacique ρs de la poutre et sa rigidité par
unité de largeur B, on récrit ∆ sous la forme : ∆ = ρsgL3
B .
B.1.2
Conditions aux limites
L’équation (B.4) nécessite deux conditions aux limites pour être résolue. Dans les cas qui nous préoccupent ici, le racloir est encastré à une extrémité, ce qui fournit une condition sur l’angle initial θ(0). De plus, la plaque ne possède pas de courbure naturelle, donc
dθ
d˜s(˜s = 1) = 0 (qui sert de deuxième condition d’intégration).
Le fait que les conditions aux limites ne soient pas spécifiées à la même extrémité de la poutre complique un peu la résolution de l’équation. En pratique, l’intégration est effectuée (numériquement) à partir de ˜s = 1, en imposant dθd˜s = 0, et une valeur arbitraire de l’angle θ(1). On recherche alors par une méthode de tir la valeur θ(1) satisfaisant la condition aux limites à l’extrémité encastrée. Parfois, deux solutions sont possibles, on choisit alors celle de plus faible énergie. On arrive ainsi à trouver la forme prise par le racloir en fonction du paramètre ∆.