Le C 2 Tag, support des équipotentielles du motif « idéal »

Nous définissons un motif plan que nous appellerons C²Tag : il s’agit d’un ensemble de couronnes circulairesnoires centrées sur un fond blanc (illustré sur la figure 5.8). Par couronne circulaire, nous désignons une région du plan comprise entre deux cercles concentriques. Nous supposerons que le cercle externe a un rayon unitaire.

FIGURE5.8: Un C²Tag composé de 4 couronnes.

On considère une photographie « virtuelle » du C²Tag en se plaçant sous les mêmes hypothèses géométriques et photométriques que pour le motif idéal. Nous désignons par IHle champ scalaire associé à la fonction de niveau de gris de cette photographie, dépendant de la même homographie H que dans le cas du motif idéal, et par ∇I_Hle champ de gradients dérivé de I_H. Il est à noter que les cercles d’un C²Tag sont des équipotentielles du champ scalaire α et leurs images par H sont des équipotentielles du champ scalaire α_H. Il s’ensuit qu’en tout point ¯u ∈ R² les gradients des deux champs vectoriels ∇α_Het ∇I_Hsont colinéaires c.-à-d. ∇α_H(¯u) ∼ ∇I_H(¯u). Pour déterminer l’image du centre des cercles du motif idéal, nous avons proposé de « suivre » les chemins donnés par les lignes de champ de ∇α_H. L’idée est ici de construire des chemins déduits de ∇I_Hqui soient des approximations « raisonnables » des lignes de champ de ∇αH.

Le C²Tag n’utilise qu’un certain nombre de cercles du motif idéal à partir d’un albédo « bi-naire », c.-à-d. noir et blanc. Ceci permet d’introduire un fort contraste dans la photographie as-surant une mesure fiable de la direction des gradients calculés aux points de contour, et d’apporter de la discriminance via le nombre et/ou les épaisseurs relatives des couronnes. D’autre part, la présence de couronnes rend le motif assimilable à un code-barres circulaire, ce qui lui confère les capacités d’encodage de ce type de dispositif.

5.4 LA SOLUTION PROPOSÉE:LE MOTIFC²TAG 111

Approximation des lignes de champ. Une ligne de champ de α_Hs’écrit analytiquement :

φ(t) = ¯u0+ Z t t0 dt = ¯u0+ Z t t0 ∇α_H(φ(t)) k∇α_H(φ(t))k₂^{dt (5.5)}

où l’on rappelle que ∇α_H(φ(t)) est parallèle à dt et où dt = kdtk2. Deux résultats importants en découlent qui sont les briques de base de notre approche. À partir d’une subdivision régulière de l’arc en n points u0, u₁, ..., u_n−1, l’intégrale 5.5 peut être calculée comme la somme de Riemann suivante φ(t) = ¯u₀+ lim ∆r→0 n−1 X i=0 ∇I_H(¯u_i) k∇I_H(¯ui)k2 ∆r (5.6) où ∆r = ^t−t0

n et où u_i est le point de l’arc d’abscisse curviligne t₀ + i∆r. L’intérêt d’une telle expression est de définir la ligne de champ comme l’enchaînement de « courbes infinitésimales » , segments de droites de même longueur ∆r = k¯u_i+1− ¯u_ik_{2et colinéaires à ∇IH}(¯u_i). Dans notre cas, les points ¯uine sont pas régulièrement espacés le long de l’abscisse curviligne. Ils sont pris successivement sur les « ellipses de contour » (qui sont les équipotentielles de IH), lieux des points sur lesquels l’information de direction du gradient est disponible et fiable grâce à un fort contraste. L’idée est d’introduire un nombre important de couronnes induisant une valeur ∆r suffisamment faible pour garantir une bonne approximation des lignes de champ (illustrée sur la figure 5.9).

Encodage de la structure euclidienne Nous représentons par c (le vecteur de) l’image du centre et par ¯c le vecteur de coordonnées cartésiennes pixéliques de telle façon que c ∼ [¯c^>, 1]^>. Lors de la construction des lignes de champ à partir du motif C²Tag, il est possible de s’approcher du point recherché c sans jamais l’atteindre. Nous allons voir qu’il est toutefois possible de contourner le problème. La structure euclidienne encodée par l’image d’un C²Tag correspond à la donnée de l’image de la paire de points cycliques du plan de support du C²Tag, ou de façon équivalente, au couple formé par l’image d’un cercle du plan et l’image de son centre. Or, le centre d’un cercle peut être considéré comme un cercle (dégénéré) de rayon nul, formé par la paire de droites isotropes passant par celui-ci, cf. définition 22 de la section 3.4.1. On peut donc définir la paire de points cycliques comme la (double) paire de points issue de l’intersection du cercle (de rayon unitaire par exemple) et du cercle de rayon nul. Notre idée est d’utiliser le fait que la paire de points cycliques est aussi la double paire de points issue de l’intersection du cercle et d’un autre cercle concentrique d’un certain rayon non nul [Kim 2005]. On peut donc remplacer l’image du cercle de rayon nul (c.-à-d. du centre) par l’image du cercle de rayon minimum. Cela va nous pemettre de faire converger les lignes de champ vers c en mesurant le nombre d’intersections de celles-ci avec l’image du cercle de rayon minimum, sachant que cette ellipse est intersectée par l’ensemble des lignes de champ¹puisqu’elle constitue un contour fermé contenant c.

Par la suite, nous appelerons ellipse externe, que nous noterons Q₁ ou simplement Q l’image du cercle de rayon maximum (c.-à-d. unitaire) et ellipse interne, que nous noterons Q2N l’image du cercle de rayon minimum.

1. Cette propriété peut également être prouvée à partir de la loi de conservation du flux telle qu’énoncée par l’équa-tion (5.8).

FIGURE5.9: Évaluation qualitative des approximations des lignes de champ construites à partir des lignes de

champ exactes. Il s’agit des images d’un motif constitué de 8 cercles concentriques (contours des 4 couronnes) de rayons régulièrement espacés entre 0.25 et 1. Les courbes vertes représentent les ellipsesCi,i = 1..8, images des cercles de rayons décroissants. Les angles entre le plan de support et le plan image de la caméra valent 0˚, 30˚, 60˚ et 70˚ (de la gauche vers la droite et de haut en bas, respectivement). Les lignes rouges représentent les lignes de champ de∇αH. Les lignes bleues sont les approximations des lignes de champ, constituées d’enchaînements de segments de droites. Chacun de ces segments a pour extrémités un couple de points(ui, ui+1) ∈ Ci× Ci+1et est dirigé orthogonalement àCiau pointui.

5.4 LA SOLUTION PROPOSÉE:LE MOTIFC²TAG 113

FIGURE5.10: Diagramme de flux du système de détection.