Les équations du problème intégrant une paire de points cycliques 82

La proposition suivante met en évidence les contraintes linéaires sur Q^∗_∞ apportées par la droite L(˜I) (l’exposant « ± » est omis dans ce qui suit, ˜I faisant référence indifféremment à ˜I⁺ou ˜_I−).

Proposition 29 Une droite L intersecte la conique absolue Ω∞si et seulement si, parL il passe deux plans distincts deP_n^∗(C), représentés par Π0etΠ1, vérifiant :

Π₀^>Q^∗_∞Π₀= 0, (4.15)

Π₀^>Q^∗_∞Π₁= 0. (4.16)

D’un point de vue géométrique, l’équation (4.15) signifie qu’un des deux plans doit être tangent àΩ∞, c.-à-d. un plan (complexe) deQ^∗_∞, et l’équation (4.16) signifie que l’autre plan (complexe ou réel) doit être conjugué au premier par rapport àQ^∗_∞.

4.3 AUTOCALIBRAGE DANS L’ESPACE PROJECTIF DUAL 83

Preuve. Soient Π0 et Π1 deux plans arbitraires distincts passant par L. L’ensemble des plans passant par L peut être représenté par les combinaisons linéaires

Π(u) = Π₀+ uΠ₁,

où le scalaire u ∈ C ∪ {∞} est une variable avec la convention Π(∞) = Π1. Par L il passe en général deux plans tangents à Ω∞, c.-à-d. deux plans de Q^∗_∞, dont les vecteurs s’écrivent sous la forme Π(u_j)_j=1,2, où les scalaires u₁ et u₂ désignent les solutions pour u de l’équation quadratique

Π(u)^>Q^∗_∞Π(u) = 0. (4.17)

La droite L intersecte Ω∞si et seulement siles deux plans tangents du cas général coïncident, c.-à-d. si et seulement si l’équation (4.17) a une solution double u1 = u₂. Une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une solution double est que le discriminant du membre de gauche de (4.17) soit nul, ce qui s’exprime par

(Π₀^>Q^∗_∞Π₁)²− (Π₀^>Q^∗_∞Π₀)(Π₁^>Q^∗_∞Π₁) = 0. (4.18)

(⇒) Supposons que L intersecte Ω∞; l’équation (4.16) est vérifiée pour toute paire (Π0,Π1) de plans passant par L. Elle est donc vérifiée, en particulier si Π0 est le (double) plan tangent à Ω∞ (dont le paramètre est u₁ = u₂ = 0). Dans (4.18), le fait que Π₀^>Q^∗_∞Π₀ = 0 implique que Π₀^>Q^∗_∞Π1= 0. (⇐) Soient deux plans distincts Π0et Π1passant par L et vérifiant (4.15,4.16). L’equation (4.18) étant alors aussi vérifiée, il s’ensuit que L est une droite qui intersecte Ω∞.

(a) (b)

FIGURE4.3: Preuve de la proposition 29. (a) Par une droiteL, il passe deux plansΠ(u1)etΠ(u2) (combi-naisons linéaires deΠ0etΠ1), qui sont tangents à la conique absolueΩ∞. (b) LorsqueLintersecteΩ∞,

u1= u2etΠ(u1)etΠ(u2)sont confondus.

La proposition 29 nous apprend la chose suivante : en intersectant la conique absolue, L(˜I) ap-porte les deux contraintes complexes (4.15,4.16) sur Q^∗_∞, c.-à-d. quatre équations linéaires réelles obtenues en annulant les parties réelle et imaginaire des contraintes, à condition de pouvoir déter-miner deux plans Π0et Π1passant par L(˜I) et conformes à la proposition 29.

Proposition 30 Sous l’hypothèse (H⁰), le plan de Q^∗_∞ passant par L(˜I), noté Π0 et vérifiant (4.15), est le plan complexe dont le vecteur

Π₀= P^>    ψ1ψ3 ψ₂ψ₃ −(ψ2 1+ ψ₂²)    (4.19) ne dépend que de ˜I = (ψ1, ψ2, ψ3)^>.

Preuve. Le plan de Q^∗_∞passant par L(˜I) est le plan tangent à Ω∞au point cyclique ayant pour image ˜I. Il peut être obtenu en rétroprojetant la droite T du plan des pixels, tangente à l’image ω de Ω∞en ˜I, et est de la forme Π0 = P^>T. Cela se vérifie facilement en substituant PQ^∗_∞P^>par ω^∗ dans (4.14). Nous avons mentionné le fait que T dépend de l’image ω de la conique absolue, et que ω est apparemment inconnue. Néanmoins, il existe une façon de contourner cette difficulté. D’une part, sous les hypothèses (H⁰), le point à l’infini de la droite T tangente à ω en ˜I est donné par p∞= L^∞× T, où L∞= (0, 0, 1)^>représente la droite à l’infini du plan image. Il est ensuite aisé de vérifier que p∞∼ [L^∞]_×^˜I. En effet,

p∞= [L^∞]_×T = [L^∞]_×ω˜I =    0 −1 0 1 0 0 0 0 0       (f )² 0 0 0 (f )² 0 0 0 1    ˜_I ∼    0 −1 0 1 0 0 0 0 0    ˜ I = [L^∞]_×^˜I.

D’autre part, puisque T contient les points p∞et ˜I, nous pouvons définir

T =  [L^∞]_×^˜I  × ˜I =    ψ1ψ3 ψ2ψ3 −(ψ2 1+ ψ₂²)   .

Enfin, le fait que Π0 = P^>T termine la preuve.

Un cas dégénéré se produit lorsque ˜I = (1, ±i, 0)^>, c.-à-d. lorsque le plan 3D du support est parallèle au plan image.

La proposition 29 nous renseigne également sur le fait qu’il existe une contrainte indépendante additionnelle sur Q^∗_∞ sous la forme de l’équation (4.16) où Π₁ est un plan contenant L(˜I) et conjugué à Π0 = P^>T par rapport à Q^∗_∞, c.-à-d. contenant la paire de points cycliques 3D.

4.3 AUTOCALIBRAGE DANS L’ESPACE PROJECTIF DUAL 85

Proposition 31 Par L(˜I), il passe un plan réel Π1 ∈ Q/ ^∗_∞, défini par

Π₁ = P^>(˜I⁺× ˜I⁻). (4.20)

qui est conjugué au plan Π₁ de la proposition 30 par rapport à Q^∗_∞. Ce plan correspond à la rétroprojection de la ligne de fuite du plan contenant la paire de points cycliques.

Preuve. Si le plan Π0de la proposition 30 est un plan de Q^∗_∞, alors son conjugué ¯Π0par rapport à Q^∗_∞ est aussi un plan de Q^∗_∞. Si Π1 est un plan réel qui est conjugué à Π0 par rapport à Q^∗_∞ alors il est aussi conjugué à ¯Π0. Le plan Π1 contient alors nécessairement les pôles de Π0 et

¯

Π0 par rapport à Q^∗_∞, qui sont les deux points cycliques conjugués formant la paire associée a une famille de plans parallèles. Le plan Π₁ contient aussi nécessairement les images de ces deux points cycliques, notés ˜I⁺ et ˜I⁻ par cohérence avec les notations précédentes, et coïncide donc avec la rétroprojection de la droite réelle contenant ces images, c.-à-d. de la ligne de fuite de la famille de plans. Le plan Π₁passe par le centre de la caméra et la ligne de fuite, il est donc réel.

FIGURE4.4: Interprétation géométrique des équations pour l’autocalibrage intégrant les points cycliques. Voir

le texte pour plus de détails.

Au total, nous venons de montrer que, dans le cas général, les quatre équations apportées par les contraintes (4.15,4.16) sont linéairement indépendantes respectivement à Q^∗_∞.

4.3.3 Équations de base revisitées

Nous pouvons légitimement nous demander s’il existe un lien entre les contraintes intégrant des points cycliques (4.15,4.16) et les contraintes « de base » (4.10,4.11) de l’autocalibrage. Afin d’établir ce lien, notre idée est de revisiter les équations (4.10,4.11) en les complexifiant dans un premier temps afin d’obtenir les équations algébriques équivalentes (où les indices sont omis)

(a ± ib)^>Q^∗_∞(a ± ib) = 0 (4.21)

où i² = −1. Les équations obtenues (4.21,4.22) peuvent ainsi être, dans un second temps, réécrites de la manière suivante :

(P^>(1, ±i, 0)^>)^>Q^∗_∞(P^>(1, ±i, 0)^>) = 0 (4.23) (P^>(1, ±i, 0)^>)^>Q^∗_∞(P^>(0, 0, 1)^>) = 0 (4.24)

On voit alors que, dans le cas où ˜I^± ∼ (1, ±i, 0)^>, la tangente à ω en ˜I^±dans le plan des pixels s’écrit

˜

T^±= ω˜I^±∼ (1, ±i, 0)^>,

et la ligne de fuite s’écrit

˜_I+× ˜I⁻= (0, 0, 1)^>.

Les équation de base (4.23,4.24) ainsi réécrites

(P^>T^˜±)^>Q^∗_∞(P^>T^˜±) = 0 (4.25) (P^>T^˜±)^>Q^∗_∞(P^>(0, 0, 1)^>) = 0 (4.26)

sont des équations intégrant des points cycliques (4.15,4.16) puisque les plans Π = P^>T^˜± et q = P^>(˜I⁺× ˜I⁻) (qui est le plan c dont le vecteur est la troisième ligne de P dans l’équation (4.6) ) sont deux plans qui vérifient la proposition 29 et se calculent selon les propositions 30 (cas dégénéré) et 31. La différence est que, dans les équations de base, le vecteur ˜I^± ne représente pas l’image d’une paire de points cycliques mais la paire de points cycliques du plan projectif des pixels et le vecteur (˜I⁺× ˜I−) ne représente pas la ligne de fuite d’un plan mais la droite à l’infini du plan projectif des pixels, ceci à la condition que la représentation du plan projectif des pixels soit euclidienne, ce qui est le cas sous l’hypothèse (H’).

Les équations de base d’autocalibrage peuvent à présent être interprétées comme suit. Sous l’hypothèse (H) ou son équivalent (H⁰) , elles expriment le fait que les droites absolues, obtenues par rétroprojection des points cycliques du plan projectif des pixels intersectent la conique absolue. Ceci correspond exactement au même paradigme que celui des approches proposées par Ponce et al.[Ponce 2005, Ronda 2008] qui ont introduit le complexe quadratique (de droites) absolu pour l’autocalibrage de caméra, excepté que ce dernier peut également être utilisé dans le cas d’une caméra aux pixels carrés et de point principal inconnu. Le problème se formule naturellement dans P5(R), c.-à-d. l’espace des droites aux coordonnées de Plücker, mais requiert des algorithmes d’optimisation sophistiqués.