Procuramos um majorante eficiente para o expoente de periodicidade numa solução de comprimento mínimo de uma equação (com restrições racionais). Para a conclusão da decidibilidade qualquer majorante eficiente seria suficiente, mas, devido à relação com equações lineares Diofantinas e a técnicas de optimização linear, podemos ser mais precisos.
T e o r e m a 3.14. Seja d > 1 um número natural, ip : A* —> S£ um homomorfismo e c(S) > 2 definido anteriormente. Podemos calcular um número e(c(S),d) e c(S)-2°^
que satisfaça a condição:
Dada uma equação nas palavras x\ ■ ■ ■ xg — xg+i ■ ■ ■ xd de comprimento
notacional d e uma solução a' : Cl —> A* podemos efectivamente encontrar uma solução a : Cl —► A* e uma palavra w G A* tais que as seguintes condições se verifiquem:
1. ipa'(x) = ipcr(x) para todo o x G Cl,
2. w = a(xi ■■■xg) = a(xg+1 ■■■xd),
3. exp(w) < e(c(S).d).
Demonstração. Para g = 0 ou g = d temos exp(w) = 0. Seja 1 < g < d. Testando
todas as palavras de comprimento até \a'(xi • • • xg)\ encontramos uma solução o e uma
palavra w tal que w = a(xi ■ ■ -xg) = a(xg+í ■ • -xd) é de comprimento mínimo entre
todas as soluções o tais que ifa'(x) = cpa(x) para todo o x 6 Cl. Relembramos que
X\ ■ • • Xg = xg+i ■ ■ ■ Xd é equivalente ao sistema:
xl - 2/1, Xg+l = Vg+l,
Vix2 — y 2, yg+1xg+2 = yg+2,
yg-\Xg = yg. yd-iXd = yd,
y g = yd-
Notemos também que exp(w) = exp(a(yg)). Depois de uma eliminação óbvia das
variáveis (xi,xg+1 e yd que é substituída por yg) o sistema é equivalente a um sistema
de d — 2 equações do tipo
xy = z com x.y, z G Cl.
Escolhemos uma palavra primitiva p <E A+ tal que w = upexp(-w^v para alguns u.v e A*.
Consideremos uma equação xy — z do sistema anterior e escrevamos as palavras
a(x),a(y),a(z) nas suas formas normais ^estáveis:
a(x) : (ií0, ri + aic(S),Ui,... ,rk + akc(S).uk), <r(v) : Oo:Si + picÇS)^!,... ,si + 0ic(S),vi),
ttfe1 — tffei rk-i = ífei) C K f c l = Tfci) ^ = % , Si = tmi
A
= ITU'onde os números naturais r$, sÍ7 U,UÍÍ,PÍ e 7, são unicamente determinados por w, c(S)
e a condição 0 < ri: Sj, íj < 0(5*).
Há muitas equações entre as palavras e entre os inteiros. Para k,l >2 temos: «o = wQ, n = ti, ttl = 7li Vi = í üm / + l ) s2 = t-m-l+2-, 02 = 7m/+2,
Não temos majorantes para &, / ou m mas temos |/c + / — m\ < 2. O que acontece exactamente depende da forma normal pestável do produto ukVQ. Como uk,v0 ^ A*p2A* é suficiente distinguir nove casos:
(«avo), ÍP,t,p), (p,t,pv'Q),
(u'kp,t,p), (u'kp,t,pv'Q), (p,0,w',0,p),
(p,0,w',0,pv'0), (u'kp,0,w',0,p), (ukp,0,w\0,pv'o),
onde t G {0.1} e uk, v0, u'k, v'0, w' £ A+. Vamos ver o que acontece em cada um deles:
• Caso (ukvo): Acontece quando uk = pw,v0 = w'p e ukv0 = pww'p com ukv0 G A+ \ (A*p2A*). As formas normais pestáveis de a(x)a(y) e a(z) são:
a(x)a(y) : (..., rk + akc(S), ukv0, sx + pic(S),vl,...)
a{z) : (...,tk + 'ykc(S),wk,tk+i +jk+ic(S),wk+i,...)
e portanto m = k + l. ak = j k e A = 7fc+i
• Caso (p,t,p) com í G {0,1}: Resulta de «& = pw,v0 — w'p com TO' = pt. Se
^fc^o = P2+t-, então a sua forma normal pestável é (p.t.p) e a forma normal
pestável de a(x)a(y) é
{..., UM, rk + akc(S) + sl + (5xc{S) + (2 + t),vu ...).
Temos rk + akc(S) + sx + pic(S) + (2 + t) = rk + sx + (2 + í) + {ak + Pi)c(S) = tk + 7fcc(<S) e também m = A" — 1 + l.
Por hipótese, c(S) > 2. Comorfc,Si < c(S), temos rk+Si + (2+t) < 3c(5). Logo,
poderemos ter 7^ = c + (a^ + /?i) com c G {0,1, 2}. Assim, o caso ukvQ = p2 + í
leva à equação:
lk (ãfc + A ) = c com c G {0.1, 2}
• Caso (p,t,pv'Q) com í G {0,1}: A forma normal pestável de a(x)a(y) é (...,rk + akc(S) +t + l.pv'0.si + 0ic(S),vi,.. .)■
Temos m = k + l e rk + akc(S) +1 + 1 = tk + jkc(S). Como rfc < c(5) e í + 1 < 2
então rk + t + 1 < 2c(S). Logo, teremos ak = j k ou ak + l = ~fk-
Este caso pode acontecer quando, por exemplo, p = aba. uk — abaw e Do = w'ababa com ww' = pl.
• Caso {u'kp,t,p): De modo análogo ao anterior iremos ter ft = jk + 1 ou ft + 1 =
7/fc+i
• Caso (u'kp, t,pv'0): As formas normais pestáveis são:
a(x)a(y) : (..., rk + akc{S),u'kp: t,pv'0, s1 + plc(S),vl....)
a{z) : (... ,tk + ykc(S),wk, tk+1 + yk+ic(S), wk+utk+2 + jk+2c(S), wk+2,...)
obtendo m = k + / + 1, yk = ak, jk + 1 = 0 e 7fc+2 = ft.
Podemos encontrar este caso quando p = aba,uk = ababaw e vQ = w'ababa com ww' = p*.
• Caso (p,0,w',0,p): Pode ser produzido se p tiver uma sobreposição como em
p = ababa. Então teríamos uk = pabab, v0 = abap e portanto ukv0 = ppbap = pabpp e abp = pba. Logo, neste caso particular, a forma normal pestável ukv0 é
(p,0,abp,0,p).
Passando ao caso geral, as formas normais pestáveis são:
a(x)a{y) : (..., 1 + rk + akc{S),w', 1 + 3l + Pic(S),Vl,...) a(z) : (....tk + ~ykc{S).wk.tk+l +-fk+1c{S):wk+l....)
e portanto obtemos k + l = m, tk + jkc(S) = rk+ akc(S) + 1 e tk+l + ~fk+\c(S) = si + Pic(S) + 1. Se rk < c(S) - 1, ou seja, rk + 1 < c(S), então temos ak = >yk.
Caso contrário, rk + 1 = c(S) visto termos rk < c(S) e portanto ak + 1 = 7fc.
Do mesmo modo, se sx < c(S) 1 então ft = jk + l. Caso contrário, temos Pi + 1 =7fe+i
• Caso (p, 0, tt/, 0,pi;ó): A forma normal pestável de a{x)a(y) é:
(...,rf c + afcc(S') + l,tü',0,jwó»si + ftc(S),t>i,.. .)•
Temos m = A + / + 1, rk + 1 + akc(S) = tk + 7fcc(S) e portanto ak = 7fe ou
afc + 1 = 7fc, 7fe+1 = 0 e 7fe+2 = ft.
• Caso (w^p, 0, u/, 0,p): Analogamente ao caso anterior obtemos Si + 1 + ftc(5) = 4+2 + lk+2c(S) e portanto ft = -yk+2 ou ft + 1 = 7^+2, afe = 7^ e 7^+1 = 0.
• Caso (u'kp,O,w',0,pv'o): Uma forma normal pestável deste tipo com u',v',w' e A+ leva a k + 1 = m — 2 e 0 = 7^+2 = 7/t+i:
(..., rk + akc(S), ukp. 0, w', 0,pv'0, Sl + ftc(S),...)
(.. ■,tk+jkc(S),wkAk+1+^k+lc(S)/wk+1.tk+2+-ïk+2c(S).wk+24k+3+-fk+3c(S)....)
Vimos que há várias possibilidades para U^VQ. NO entanto, ocorre sempre o mesmo fenómeno. Em primeiro lugar obtemos um grupo de equações triviais do tipo 7 = 0 que podem ser eliminadas por renomeação, substituindo 7 por a. Todas as equações do tipo 7 = 0 são eliminadas por substituição. Assim, para cada xy = z há no máximo duas equações do tipo 7 = a + 1 ou uma equação do tipo 7 — (a + f3) = c com c G {0,1,2}. Se houver duas equações do tipo 7 = a + 1, então uma delas é eliminada por substituição de 7 por a + 1. Obtemos, para cada equação xy = z, no máximo uma equação não-trivial com o máximo de três variáveis. Procedendo deste modo, nas d — 2 equações temos várias interacções devido à renomeação e substituição. Como exemplo, se em ambas as equações y 1X2 = yi e y2x3 — Vz tivermos a equação
não-trivial 7 = a + 1, então poderemos obter, após as substituições referidas, uma equação do tipo 7 = a + 2 na equação 2/2^3 = Z/3- Assim, cada equação xy = z leva no máximo a uma equação não-trivial com o máximo de três variáveis. O tipo de equação é
ei7 + h - c2a - i 2 - c33 -i3 = c
onde 0 < %\. i2,13 < d — 2, 0 < c < 2, d, c2, c3 G {0,1}. Isto pode ser escrito como
Ci7 — C2<y — C3P = d com \c'\ < 2d — 2.
Os símbolos a i , . . . , a&, /?i,...,/?/, 7 1 , . . . , 7m são vistos como variáveis que percorrem
números naturais. Regressando à solução <r, que é dada pela palavra w, os símbolos « i , . . . . a*,, /?i,...,/?;, 7 1 , . . . , 7m representam valores concretos. Alguns deles poderão
ser zero. Esses são logo eliminados. A razão é: pela observação feita no fim da Secção 3.3.4, sr+ac(-s^ = sr+l3c('S^ para todo o s G S, r > 0 e a, /3 > 1, podemos diminuir
os valores de a, (3 e 7 até 1 pois a imagem de (p não se altera. No entanto, se alguns forem zero, então esse valor não poderá ser mudado visto a observação só se verificar para a.,f3,7 > l e portanto deixaríamos de ter a garantia de não alterar a imagem de ip. Assim sendo, substituímos todos os a, (3 e 7 que tenham valores maiores que zero por 1 + za,l + zp e 1 + z7 respectivamente onde as novas variáveis representam
valores em N. Por exemplo, a equação
7 — a — (3 = c'
com a,j3,7 > 1 é transformada na equação linear Diofantina com variáveis inteiras
za,zp,z1 > 0 como se segue:
zy — za — Z/3 = d + 1 com \d + 1| < 2d — 1.
Juntando todas as equações do tipo xy = z obtemos um sistema de equações lineares que, depois da substituição e eliminação das variáveis, transformar-se-á num sistema com o máximo de d — 2 equações e n variáveis inteiras com n < 3(d — 2). Os valores absolutos dos coeficientes são limitados por 2 e das constantes por 2d — 1. Para cada equação a soma dos quadrados dos coeficientes é limitada por 5. Como exemplo, para o caso a = (3^jeci=C2 = C3 = l obtemos a equação 7 — 2a = d, equação esta onde a soma dos quadrados dos coeficientes é 5. O sistema linear Diofantino é definido por w e a palavra w fornece uma solução inteira não negativa deste sistema.
Reciprocamente, toda a solução em inteiros nãonegativos do sistema produz uma palavra w" e uma solução a" : Q —> A* que satisfaz a condição 2 do teorema. A condição 1 também é satisfeita usando a observação da Secção 3.3.4 já referida nesta demonstração.
Procuremos um majorante para exp(w). Como w foi escolhida de comprimento mini mal, a solução do sistema em inteiros dada por w é uma solução minimal com respeito à ordem parcial de Nn:
(ai,..., an) < (Pi,..., pn) se e só se a, < $ para qualquer 1 < z < n.
Para a = (ai,...,an) e Nn seja ||õ*|| = max{áj|l < i < n}. Procuremos um
majorante para o seguinte valor:
e(d) = max{||a|| | a é solução minimal do sistema de equações lineares Diofantinas
com o máximo de d — 2 equações, 3(d — 2) variáveis, onde o valor absoluto dos coeficientes é limitado por 2, a soma dos quadrados dos coeficientes em cada equação é limitada por 5 e o valor absoluto das constantes é limitado por 2 d 1 } .
Obviamente, há um número finito de sistemas de equações lineares Diofantinas onde o número de equações, variáveis e valor absoluto dos coeficientes e constantes é majorado. L. Dickson [10] diznos que para cada sistema o conjunto de soluções minimais é finito. Em E. Domenjoud e A. Tomás [11] encontramos um algoritmo que calcula estas soluções minimais. Logo, o conjunto dos valores de ||a|| é finito e efectivamente calculavel. Portanto, e(d) é calculável. Como e(d) + d — 1 > a i , . . . , Pi,... para os valores originais antes das considerações acima, obtemos um majorante do expoente de periodicidade.
Uma condição mais precisa é possível. Koscielski e Pacholski [15] mostraram que
e(d) 6 2°^. Logo, podemos ter
exp(w) < 2 + (c(S) 1) + (e(d) + d 1) • c(S) e c(S) ■ 2°(d).
Isto prova o teorema. D
Exemplo 3.15. Sejam c.n > 2 e seja S = TLjcL o grupo cíclico de c elementos.
Fazemos uma restrição racional à variável X\ definida por
LXl - {w e A+\ \w\ = 0 (mod c)}.
O sistema é dado por
( c
Xi = a
x2 = x\
2
A única solução a é a(xi) = ac2 com 1 < i < n. Se transformarmos o sistema numa
simples equação segundo a Proposição 3.3, então obtemos
xi&i • • • xnbiXib2 ■ ■ ■ xnb2 = a% ■ ■ ■ x ^ M 0 ^ • ' ' xlih
onde &!, 62 G A com òi 7^ b2) obtemos exp(w) — c2n _ 1, d = An + 2n + 2c + 4(n — 1) =
10n + 2c 4 e portanto e(c(5), d) € c(5) • 2°( d ).
Exemplo 3.16. Apresentamos uma sucessão de equações em que podemos observar
que o comprimento de uma solução minimal pode ser muito grande embora o expoente de periodicidade seja majorado por uma constante.
Consideremos o sistema de equações nas palavras
xo = a. y0 = 6,
Xi = XiiVii, Vi = yl\xli para 1 < i < n.
A única solução é a palavra de ThueMorse:
&{xn) = abbabaabbaababbabaababbaabbabaab ■ ■ ■ para n > 5.
Temos |o"(xn)| = 2", mas exp(a(xn)) = 2.
Exemplo 3.17. Consideremos a equação com restrições racionais:
axyz — zxay, Lx = a2a*. Ly = {a, b}* \ (a* U b*) e Lz = {a, b}+.
Um homomorfismo adequado ip : {a, b}+ —> S é dado pelo homomorfismo canónico no
semigrupo quociente de {a,b}+ que é apresentado pelas seguintes relações: a2 = a3, b = b2 e ab = ba = aab.
Portanto, S é um semigrupo corn um zero, 0 — ab, e tem quatro elementos: 5 = {a, a2.6.0}.
A constante c(S) = 2 satisfaz a condição sr+c^ = sr+ac^ para quaisquer s E Se, r >
O e a M .
Procuramos uma solução a para a equação axyz — zxay. Façamos a(x) = a2+k com k > 0 para garantirmos que a(x) G Lx. Obtemos a equação aa2+kyz = za2+kay,
isto é, a3+kyz — za3+ky. Como Ly = {a. b}* \ (a* U b*), então a(y) tem pelo menos
um factor a e um factor b. Seja, por exemplo, a(y) = y'baí com í > 0. Obtemos a3+ky'baez = za3+ky'bae. Como z não pode ser a palavra vazia teremos, pela equação
anterior, a(z) = z'bae ficando a3+ky'baez' = z'bala?+ky'. Façamos cr(y') = ar e (j(z') = as com r, s > 0. Assim, a3+karbaeas = asbai+3+kar, ou seja, a3+fc+ròc/+s = asòaí+3+fc+r
ficando 3 + /c + r = s e£ + s = £ + 3 + k + r. Logo, s = 3 + k + r. Temos, por exemplo, fazendo k = 0, r = 0, s = 3 e £ = 2, a solução
A palavra primitiva a é tal que w = a(axyz) = a(zxay) = uaexp(-w^v para alguns u, v G A*. Sejam a, j3, 7 e 5 variáveis inteiras e r.s e t palavras descritas pelas formas
normais a-estáveis:
r : (a, 2a, a),
s : (ba, 2/5, a), t : (a. 1 + 27, aba. 25, a).
De modo a obter um sistema de equações lineares Diofantinas escrevemos arst como uma sequência de formas normais a-estáveis:
((a), (a, 2a, a). (6a, 2/3, a), (a, 1 + 27, aba, 25, a)). A forma normal a-estável resultante é:
(a, 2a + 1, aba, 2/5 + 3 + 27, aba, 25, a).
Consideremos agora o membro da direita trás. Temos a sequência ((a, 1 + 27, aba, 28, a), (a, 2a, a), (a), (ba, 2/5, a)) cuja forma normal a-estável resultante é:
(a, 27 + 1, aba, 26 + 2a + 3. aba, 2/5, a). Obtemos o sistema linear Diofantino:
2a + 1 = 27 + 1
2/9+ 27+ 3 = 2a + 25 + 3 & 28 = 2/5
Temos
a-(x) = a2+2a, a(y) = ba2+2^ e a(z) = a3+2aba2+2f3 V a , / 5 > 0
que produz soluções da equação que satisfazem as restrições racionais.
Nesta secção majoramos o expoente de periodicidade numa solução de comprimento mínimo. Assim, dada uma equação ela possui solução se e só se tiver uma solução cujo expoente de periodicidade não é superior ao valor calculado. No entanto, no Exemplo 3.16 observamos que existem palavras cujo expoente de periodicidade é baixo mas cujo comprimento poderá ser arbitrariamente grande. Assim, se construíssemos um algoritmo que gerasse palavras cujo expoente de periodicidade fosse menor ou igual ao nosso majorante e testássemos se a palavra era solução da equação, não teríamos a garantia que o algoritmo parasse. Portanto, este majorante por si só não fornece um majorante para o comprimento de uma solução minimal nem resolve o problema da decidibilidade.
7