2 Le tableur est pratique pour les calculs
2.1
2.1 Tableau d’amortissement
Lorsqu’on emprunte un capital, il faut évidemment le rembourser avec des intérêts en sus.
La somme des deux montants est partagée en n mensualités(2) identiques calculées par la formule (18.4).
Chaque mensualité est donc composée d’une part de capital et d’une part d’intérêts. Dans la première mensualité, la part d’intérêts est maximale, puisque calculée sur le montant total emprunté. Dans la seconde mensualité, la part d’intérêts est moindre, puisque calculée sur le montant emprunté diminué de la part de capital déjà remboursée lors de la première mensualité ; et en conséquence, la part de capital est plus élevée. Et ainsi de suite. On rembourse donc de moins en moins d’intérêts et de plus en plus de capital.
Avec un tableur, il est aisé de calculer le tableau (dit d’amortissement) dans lequel on trouve, pour chaque période, la part d’intérêts et la part de capital (appelée amortissement), ainsi que le capital restant dû.
Un tableau d’amortissement comporte autant de lignes qu’il y a de périodes de remboursement.
Pour les explications, ce n’est pas le montant emprunté ni sa durée qui importe. Pour éviter un tableau trop long, imaginons un crédit fictif de 2000 eremboursable en une année avec un TAEG de 2,70 %. Ce sont les premières données à mettre en place dans la feuille de calculs.
A B
Utilisées uniquement en mode d’adressage absolu dans la suite des calculs, les cellules B1, B2, B4 etB5 seront nommées respectivement montant, mois, tm etmens.
La cellule B4est calculée avec la formule (18.5) ; la celluleB5quant à elle peut être calculée soit avec la formule (18.4), soit avec la fonction financière VPM(taux;durée;montant)qui fournit un résultat négatif (car débit) ; on choisira la formule VPM(tm;mois;montant)avec les noms de cellules qui ont été choisis.
Dans un premier temps, nous construirons la table d’amortissement à partir du raisonnement ad’hoc, puis, dans un second temps, nous reproduirons certains calculs au moyen de deux fonctions financières dédiées.
La figure ci-après montre le tableau terminé ; les titres de colonnes ne nécessitent pas d’expli-cations particulières.
Dans notre situation il y a 12 périodes (1 à 12). On ajoutera la période fictive 0 pour initialiser la série de calculs des soldes restant dûs, mais ce n’est pas choquant. Les périodes doivent être des nombres naturels (pour les deux fonctions financières qui seront utilisées par la suite) ; s’il s’avère nécessaire de les coupler à une date par exemple, il faut ajouter une colonne supplémentaire.
• E8 : le montant emprunté (=montant) ;
• plage B9:B20 : les mensualités, toutes identiques (=mens) ;
• C9 : les intérêts de la première période, calculés sur la capital restant dû pour cette période, (=E8*tm), formule copiable jusqu’en C20;
• D9 : la partie capital de la première période, différence entre la mensualité et les intérêts (=B9 C9), formule copiable jusqu’en D20;
• E9 : capital restant dû après le premier versement, différence entre le capital restant dû précédent et le capital amorti de cette période (=E8 D9), formule copiable jusqu’enE20.
Une fois compris le principe des calculs, on peut utiliser deux fonctions permettant de calculer directement, pour une période donnée (c’est pour ces fonctions que la période doit être un entier), la partie intérêts et la partie capital ; il s’agit respectivement des fonctions
INTPER(taux;période;durée;montant) et PRINCPER(taux;période;durée;montant).
• G9 : (=INTPER(tm;A9;mois;montant)), copiable jusqu’en G20;
• H9 : (=PRINCPER(tm;A9;mois;montant)), copiable jusqu’en H20.
Nous avons ici laissé le format d’affichage par défaut, à savoir un nombre rouge entre parenthèses signifiant un nombre négatif (débit), un arrondi à deux décimales et le suffixe e. Si cela est gênant, il suffit de faire précéder les deux fonctions par le signe .
Remarques
Pour une durée plus longue, il suffit de prolonger le tableau avec le nombre de périodes approprié.
Si les remboursements sont annuels, semestriels, ou autre, ce sont les mêmes formules, il faut simplement veiller à utiliser le taux périodique correct.
Pour un autre montant et/ou un autre taux, il suffit de modifier respectivement les cellules B1 et/ou B3.
L’utilisation d’un taux mensuel proportionnel ⇣T AEG
12
⌘ en lieu et place de la formule (18.5) donne les résultats suivants :
Et pour terminer, un graphique où sont représentés simultanément la part d’intérêts et la part de capital remboursées mensuellement pour le même capital emprunté de 2000e pendant une année, avec un TAEG de 15%.
Note technique : si on choisit un taux trop petit, il devient difficile de distinguer la part d’intérêts dont la proportion devient trop petite par rapport à celle du capital. Voilà pour le choix de la valeur 15%.
Tableur, LATEX
Chapitre 19
Stéganographie, une partie de cache-cache avec des 0 et des 1
Résumé.Une petite recherche dans notre navigateur préféré, et on trouve rapidement le rensei-gnement cherché : la stéganographie est l’art de dissimuler un message dans un autre message, celui-ci pouvant être un texte, une image, un son. Cela se passe toujours en deux étapes : le codage, puis évidemment le décodage. L’informatique est d’un grand secours pour les nombreux calculs, en ce qui concerne les fichiers de type image ou son, d’autant plus que ceux-ci sont codés dans un langage que nous n’utilisons pas quotidiennement, le langage binaire.
On expliquera dans cet article une méthode parmi d’autres, la méthode LSB —Least Signifi-cant Bits(1)—, que l’on appliquera à des images simplissimes afin de ne pas entrer dans de la programmation sophistiquée. On touchera donc au calcul binaire pour la méthode, au langage Ruby et au tableur Microsoft Excel(2) pour les calculs, et à LATEX pour les images d’applica-tion, qui ne seront composées chacune que de quatre carrés, que l’on pourrait assimiler à quatre pixels. Le passage de 4 pixels à quelques millions de pixels n’est qu’une question de temps. . .
1
1 Langage binaire
Le langage binaire ne comporte que deux « mots » de vocabulaire, 0 et 1 , appelés bit en informatique.
L’écriture décimale d’un nombre (en base 10) consiste à le décomposer en somme de puissances de 10 et à noter successivement les coefficients de ces puissances ; ainsi 5437 signifie 5⇥103+ 4⇥102+3⇥101+7⇥100. Si on travaille avec plusieurs bases simultanément, on peut écrire (5437)10 pour éviter les confusions.
Avec le même raisonnement, l’écriture binaire d’un nombre (en base 2) consiste à le décomposer en somme de puissances de 2 et à noter successivement les coefficients de ces puissances ; ainsi 11010 signifie 1⇥24+1⇥23+0⇥22+1⇥21+0⇥20, ce qui vaut 26, en base 10.
On a donc (26)10= (11010)2.
En pratique, une information numérique est souvent (en tout cas dans le contexte qui nous intéresse) codée sur 8 bits, ce qu’on appelle unbyte en anglais, unoctet en français. Ainsi, le plus petit nombre codé sur un octet vaut(00000000)2= (0)10 et le plus grand vaut (11111111)2= (255)10.
Dans un octet, par exemple 1 1 0 1 0 1 0 1 , les bits à gauche sont appelés bits
1. Bits de moindre importance
2. Toutes les fonctions nécessaires n’existent pas (encore) dansOpenOffice Calc.
de poids fort et ceux à droite sont appelés bits de poids faible. En effet, les bits à gauche sont les coefficients des plus fortes puissances de 2 (27,26,25) tandis que les bits à droite sont les coefficients des plus faibles puissances de 2 (20,21,22). Notons qu’il n’y a pas de loi qui fixe la frontière entre les bits de poids fort et les bits de poids faible, mais la qualité des résultats que nous obtiendrons vont dépendre de cette frontière fictive.