Les systèmes retardés (ou à "délai") appartiennent à une catégorie de systèmes décrits par des équations différentielles fonctionnelles (FDEs) qui sont de dimensions infinies, au contraire des équations différentielles ordinaires (ODEs). Les systèmes à retard sont de grand intérêt, dû notamment à leur caractère appliqué. En effet, de nombreux procédés sont concernés par ce genre d’effet dans une large gamme de domaines, comme en biologie, chimie, économie, mécanique, visco-élasticité, phy- sique, physiologie, en dynamique de population, en télécommunications (stabilité des système de contrôle du réseau, réseau de communication haute vitesse, ...), ou encore en ingénierie par exemple, voir un rapport détaillé en [Richard 2003] et réfé- rences internes. Ainsi en optique, l’exemple le plus commun est le laser à réinjection optique (ou laser à "feedback"), voir par exemple en [Erneux 2010b].
1.3.1 Systèmes à retard optique
1.3.1.1 Laser à réinjection optique
Le laser à réinjection optique a été largement étudié de par la richesse de sa dyna- mique, notamment en [Huyet 1997,Vaschenko 1998], dont on reporte l’observation de bistabilité [Lang 1980], d’oscillation et de chaos (voir en références internes). On observe aussi un régime appelé fluctuations de basse fréquence (pour "low frequency fluctuations" ou LFF) [Vaschenko 1998,Huyet 1998] pour des taux de rétroaction modérés et proche du seuil laser. Ce phénomène est caractérisé par l’apparence d’apériodicité, de réduction rapide de l’intensité émise suivie d’une lente récupé- ration. Le temps moyen entre de telles diminutions d’intensité est bien plus long que les temps caractéristiques du système lui-même. Une approximation liée à la limite des faibles taux de rétroaction conduit au célèbre modèle de Lang-Kobayashi, [Lang 1980] une référence citée environ 1500 fois du fait de sa grande simplicité. Le modèle consiste en l’addition d’un terme linéaire de réinjection dans l’équation du champs électrique, noté E(t − τ) dans le cas d’un champs électrique E et d’un re- tard à la réinjection τ . Un tel modèle est également utilisé pour décrire les exemples précédents, et peut être écrit en considérant une réflectivité du miroir de rétroaction
rétroaction, la position de points fixes, pour le laser à réinjection optique, localisés sur une ellipse pour un taux de réinjection donné. Les conditions d’interférences constructives et destructives entre le champs du laser et le champs réinjecté par la cavité de rétroaction (dans le cas d’un résonateur passif), ainsi que la présence de gain, sont les sources de l’apparition d’une telle structure. Chaque point fixe est défini par une inversion de population constante ainsi qu’une émission monochroma- tique. Une généralisation de ce dernier modèle peut être trouvée en [Giudici 1999a], celle-ci est dérivable en prenant une limite de réflectivité des miroirs tendant vers 1. Ainsi, une généralisation, vers l’influence des tours de cavité précédents (E(t − 2τ), E(t−3τ), ...) y est donnée avec le calcul de leurs coefficients, associés aux réflectivités des miroirs. Le laser à réinjection optique sélective en fréquence, dont des études de la dynamique peuvent être trouvées en [Giudici 1999b,Badii 2003], exhibe de nom- breuses dynamiques similaires comme l’accrochage à une fréquence lointaine de celle du laser seul, ou la présence de bistabilité. Il a été également démontré l’existence de solitons de cavité transverses dissipatifs, dans le cas de lasers possédant une exten- sion spatiale, comme effectué expérimentalement en [Scroggie 2009,McIntyre 2011], ou théoriquement en [Tanguy 2008], ainsi que de "vortex" en [Paulau 2010]. 1.3.1.2 Analogie espace/temps
D’autres systèmes à retard ont également été étudiés, principalement composés de rétroaction opto-électronique, comme en [Larger 2013], où il a été observé des états "chimère" (ou "chimera state"), qui montrent la coexistence dans un système spatio-temporel de solutions cohérentes et incohérentes, ou en d’autres termes pour des oscillateurs, de la coexistence de solutions synchronisées avec des solutions asyn- chrones. Le modèle de Kuramoto initialement développé en [Kuramoto 1984], pour décrire la synchronisation de N oscillateurs couplés supposant un couplage non- local de taille finie, prédit ces phénomènes (cas de systèmes spatialement étendus). Celui-ci tient compte d’un faible couplage entre oscillateurs, d’oscillateurs presque identiques, ainsi que du fait que l’interaction dépend de manière sinusoïdale de la différence de phase d’une paire d’oscillateurs, et s’écrit :
dθi dt = ωi+ K N N X j=1 sin(θj− θi) , i = 1, ..., N (1.6)
où K et ωi représentent respectivement le taux de couplage, et la fréquence in-
trinsèque du ieme oscillateur. Notons que ce modèle non-linéaire est soluble exac-
tement dans la limite d’un nombre infini d’oscillateur (N → ∞). Il a été montré que ce modèle décrit bien plus de systèmes que son concepteur ne l’avait prévu, comme en neuroscience [Cumin 2007,Breakspear 2010] ou encore pour décrire l’évo- lution dynamique de réseaux couplés de jonction de Josephson [Strogatz 2003]. En [Larger 2013], un terme couplant spatialement les oscillateurs est considéré, duquel les auteurs tirent une correspondance avec un système à retard. Si le temps de re- tard, référé précédemment comme τ , est suffisamment grand comparé aux temps
Figure 1.13: Accrochage de fronts à la modulation d’un des deux états d’une bistabilité (issue de [Marino 2014]). (a),(b) : Diagrammes spatio-temporelle (x, ξ) = (σ, n). (c) : Trace temporelle associée au panneau (b).
caractéristiques du système, on parle de système à long temps de retard (ou "long- delayed feedback"). Il a été démontré rigoureusement l’équivalence de tels systèmes à des systèmes spatialement étendus, lors de la proximité d’une bifurcation de Hopf [Giacomelli 1996,Wolfrum 2006]. Ceci permet l’interprétation de ces systèmes sui- vant deux temps différents, écrit comme t = ξτ + x, où ξ et x sont respectivement la variable de temps discrète, et la variable de pseudo-espace (avec 0 ≤ x < τ). Une re- présentation spatio-temporelle est ainsi initiée en [Arecchi 1992], et illustrée en Sec-
tion 3.2.2.3 (page96), dans le cas considéré d’un laser avec injection et rétroaction
optique. Bien qu’une équivalence analytique n’ait pas encore été développée dans le cadre d’une bifurcation sous-critique, des travaux numériques montrent que la présence d’une bistabilité implique une dynamique de front, dans la représentation spatio-temporelle juste citée [Giacomelli 2012]. De tels fronts connectent les deux différents états stables de deux différentes conditions de phase dans le quasi-espace. Ils montrent que le système est hors de l’équilibre, dans un état transitoire, par leurs mouvements dans ce dernier exemple, qui entraîne la disparition totale d’un état ou de l’autre en fonction de leurs stabilités respectives, par accroissement de l’état le plus stable. L’addition d’une faible modulation dans le signal renvoyé de manière opto-électronique, mène à l’arrêt de la dynamique des fronts qui sont capturés par la modulation [Marino 2014] (visible en Figure1.13). Ainsi, plusieurs tailles de struc- tures localisées, correspondant à une excursion sur un état d’intensité supérieur, sont démontrés. De plus la forme des deux états (homogène/modulé) se retrouve sur les traces temporelles. Les auteurs démontrent même, par l’accroche d’un seul des deux fronts composant la structure pour certaines fréquences de modulation, l’existence de deux structures d’accrochage différentes (fonction de la fréquence de modula- tion), une pour chaque front. Ceci est dû aux différentes vitesses naturelles des deux fronts. Il peut également être démontré, dans le cadre de systèmes spatiaux, que l’accrochage de ces fronts à la modulation se fait via une bifurcation nœud-selle sur leur vitesse, et que le taux de croissance de l’aire qu’ils occupent varient comme la racine de la distance au point de décrochage [Haudin 2010]. Ceci rappelle fortement
utilisé.
1.3.1.3 Systèmes excitables "à retard"
Différents précurseurs de l’étude que nous menons viennent avec le couplage de différentes unités excitables effectué notamment en [Yacomotti 2002,Kelleher 2010a, Coomans 2011], respectivement pour des excitabilités obtenues par deux lasers à rétroaction optique, à injection optique et en anneaux bi-directionnel couplés décrit en Section 1.2.2 (page 21). Dans tous les cas un régime de "régénération" de la réponse excitable (respectivement une large déplétion dans l’intensité, un tour de phase relatif entre le laser et la forçante et un pulse d’intensité (vers le haut ou le bas) est identifié. Toutefois l’analogie entre systèmes spatialement étendus et systèmes à retard a été laissée de côté afin de décrire le système, en particulier en [Kelleher 2010a], très proche du cas que nous étudierons, dont la dynamique de base observée pourrait correspondre exactement à celle d’un simple système excitable avec l’addition d’une boucle de rétroaction à retard, ce que nous démontrerons par la suite. Ajoutons que coupler spatialement des systèmes excitables peut mener à la formation de structure similaire aux ondes excitables décrites en Figure 1.9, comme il a été analysé en [Osipov 2007].
Nos analyses nous mèneront à démontrer un lien entre un système excitable spatialement étendu et un système excitables à retard. Ceci nous permet d’envi- sager l’utilisation en réseau de tels systèmes pour observer les structures spatiales excitables vues précédemment en Section 1.2.1.1 (page 15), comme les ondes exci- tables, ... Aussi la possibilité d’ajouter une longue boucle de rétroaction à retard aux deux autres systèmes excitables précédemment cités pourra être envisagée, afin d’obtenir des fonctionnalités de mémorisation. Ainsi, dans le cas d’un système ex- citable construit sur la base d’un laser à rétroaction optique [Yacomotti 2002], cela reviendrait à considérer deux boucles de rétroaction, fait qui a été considéré très récemment en [Yanchuk 2014] où l’observation de structures spatiales décrites pré- cédemment a été effectuée dans les deux "quasi-espaces" définis par chacune des cavités de rétroaction. Une analyse théorique y est même donnée permettant de ré- duire les deux termes de rétroaction vers deux termes de quasi-espace pour chacune des boucles auquel s’ajoute un terme de couplage entre les deux.