8 L’effet du couplage avec les phonons 119
10.6 Annexe F: Relation entre les fonctions d’autocorrélation intra- et extra-
10.6.1 Système en transmission
Le
champ
entre dans la cavité par le miroirM1,
tandis que l’on observe lechamp
transmis par le miroir
M2.
Nous traitons deux cas dusystème
en transmission.Dans le
premier
cas(système en
transmission1)
le taux de transmission(t1
=~203BA1)
du miroirM1est négligeable
devant le taux de transmission(t2
=~203BA2)
du deuxième miroirM
2
.
Dans ce cas ladissipation
de la cavité 03BA est dueprincipalement
à la transmission du miroirM2(03BA ~ 03BA2).
Dans le second cas(système
en transmission2)
le taux detransmission t2 du miroir
M2
estnégligable
devant le taux de transmissiont1 du
pre-mier miroirM1.
Dans ce cas ladissipation
de la cavité 03BA est dueprincipalement
à latransmission du miroir
M1 (03BA
~03BA1).
Parailleurs,
il faut mentionner que notre étude de la fonction d’autocorrélation pour le cas non-linéaire(chapitre 6)
se limite ausystème
Fig.
85: Système en transmission10.6.1.1
Système
en transmission 1Dans ce cas la
dissipation
de la cavité 03BA est dueprincipalement
à la transmission du miroirM2 (03BA
~03BA2)
Fig.
86: Champs entrant sortant couplés par le miroir M2Ceci nous
permet
d’écrire une relation d’entrée-sortie liant leschamps
intra- etextracavité :
Cette
expression
nous donne deux relations : lapremière indique
que lechamp
moyen extracavité est
proportionnel
auchamp
moyen intracavité :et la seconde nous
permet d’exprimer
les fluctuations duchamp
intracavité en fonction des fluctuations duchamp
extracavité et des fluctuations entrante Cin. Les fluctuationsC
in sont ici les fluctuations du vide
qui
sontpartiellement
réfléchies etpartiellement
transmises pour le
miroir M2.
La transmission du miroirM1
étant trèsfaible,
on sup-posera que seul lechamp
moyen 03B5entre,
la transmission des fluctuations associées étantd’apiès
les relations(10.7)
et(10.21)
de l’annexeA,
la fonction d’autocorrélations’exprime
en fonction des fonctions de covariancesCaa
etCa~a .
Pour déterminer unerelation entre la fonction d’autocorrélation intra- et extracavité il est donc nécessaire de déterminer des
expressions
liant les fonctions de covariances intra- et extracavités. Relation entre les fonctions de covariance intra- et extracavité Nous cher-chons dans cettepartie
à déterminer les covariances extracavitéC
out
aa (t),Couta~a(t)
etCoutaa~(t)
définies par :Calcul de la fonction de covariance extracavité
Couta~a (t)
: Nous com-mençons par le calcul de la fonction de covariance extracavitéCouta~a (t) .
Les relations(10.85)
et(10.86)
nous donnent :L’expression
del’opérateur
de fluctuation duchamp
03B4a dans le cas dusystème
linéaire
(relation(4.51)du chapitre 4)
s’écrit :Dans le cas
général
et dans la limite de lalinéarisation,
03B4a a pourexpression
dansDans
l’espace
destemps, l’expression
de 03B4a se traduit par :Notons bien que
l’expression
de 03B4a dans le cas linéairerejoint l’expression
du casgénéral
pourT3
= 0 etT4
= 0.Maintenant,
nous cherchons à calculer le deuxième terme del’expression (10.89):
Comme Cin est une fluctuation entrante du
champ photonique,
elle a unspectre
blancet par suite elle vérifie les
équations
suivantes :L ’utilisation des relations
(10.95)
et(10.39) ,
en considérant que les forces desfluctu-ations
photonique
etexcitonique
sont décolérées l’un del’autre,
nous conduit à : Le troisième terme del’expression (10.89)
se calcule d’une manière similaire et nousEn considérant que les forces des fluctuations
photonique
etexcitonique
sont dé-colérés l’un de l’autre et en utilisant lesexpression (10.95)
et(10.39)
on trouve :Les relations
(10.95)et (10.46)
nous donnent :ce
qui
revient à dire :Calcul de la covariance extracavité
Coutaa(t)
: Si onrapporte l’équation
(10.85)
dansl’expression
de(10.87)
on obtient :le
quatrième
terme estnul,
et lesexpressions
du deuxième et du troisième termepar
conséquent l’expression (10.102)
devient :soit
équivalente
à :Dans
l’espace
deFourier,
cette relation devient :et dans
l’espace
deLaplace
cette relation s’écrit :Calcul de la covariance extracavité
Coutaa~ (t)
: Si onrapporte l’équation
(10.85)
dansl’expression
de(10.88)
on obtient :Les
expressions
du deuxième et du troisième terme del’équation (10.102)
deviennentCompte
tenu des relations(10.95),(10.96), (10.39), (10.46)
et du fait que les forces desfluctuations
photonique
etexcitonique
sont décolérées l’un de l’autre nous trouvons :par
conséquent, l’expression (10.102)
devient :ce
qui
s’écrit aussi :Dans
l’espace
de Fourier cette relation devient :Relation entre les fonctions d’autocorrélation intra- et extracavité : Pour le cas
linéaire,
lesexpressions
liant les fonctions intra- et extracavité s’écrivent :Dans ce cas et en utilisant la relation
(10.84)
on trouve :Nous avons démontré ici que les fonctions d’autocorrélation intra- et extracavité sont
identiques
pour le cas linéaire dans unsystème
en transmission.Dans le cas
général,
lesmanipulations algébriques
desexpressions (10.108), (10.101),
(10.84)
et(10.21)
nous donnent :ceci nous
permet
d’aboutir à la relationgénérale
suivante liant les fonctions d’autocorrélation intra et extracavité pour unsystème
en transmission :10.6.1.2
Système
en transmission 2Dans ce cas le taux de transmission
(t2
=) ~203BA2
du miroirM2
estnégligable
devant le taux de transmission(t1
=~203BA1) du
deuxième miroirM1.
Ladissipation
de la cavité03BA est due
principalement
à la transmission du miroirM2 (03BA ~ 03BA2) .
Fig. 87: Champs entrant sortant couplés par le miroir M2
cette
expression
nous donne deuxrelations,
lapremière indique
que lechamp
moyen extracavité est
proportionnel
auchamp
moyen intracavité :et la seconde nous traduit les fluctuations du
champ
intracavité en fonction des fluc-tuation duchamp
extracavité et de la fluctuation entrante par le miroirM2 :
d’après
les relations(10.7)
et(10.21)
de l’annexeA,
la fonction d’autocorrélations’exprime
en fonction des fonctions de covariancesCaa
etCa~a .
Pour déterminer unerelation entre la fonction d’autocorrélation intra- et extracavité il est donc nécessaire de déterminer des
expressions
liant les fonctions de covariances intra- et extracavités. Relation entre les fonctions de covariance intra- et extracavitéCalcul de la fonction de covariance extracavité
Couta~a (t)
: Nouscom-mençons par le calcul de la fonction de covariance extracavité
Couta~a (t).
Les relations(10.130)
et(10.86)
nous donnent :L’expression
del’opérateur
de fluctuation duchamp
03B4a dans le casgénéral
et dans la limite de la linéarisation(relation(10.92)) :
L ’utilisation des relations
(10.134)
et(10.39)
et en considérant que les forces des fluctuationsphotonique
etexcitonique
sont décolérés l’un del’autre,
nous conduit à : Lequatrième
terme del’expression (10.131)
se calcule d’une manière similaire et nousobtenons :
En considérant que les forces des fluctuations
photonique
etexcitonique
sontdé-colérés l’un de l’autre et en utilisant les
expression (10.134)
et(10.39)
on trouve :Les relations
(10.134)et (10.46)
nous donnent :ce
qui
revient à dire :Calcul de la covariance extracavité
Coutaa (t)
: Si onrapporte l’équation
(10.130)
dansl’expression
de(10.87)
on obtient :Les
expressions
du deuxième et duquatrième
terme del’équation (10.141)
deviennentCompte
tenu des relations(10.134),(10.135), (10.39), (10.46)
et du fait que les forces desfluctuations
photonique
etexcitonique
sont décolérées l’un del’autre,
nous trouvons :par
conséquent l’expression (10.141)
devient :soit
équivalente
à :Calcul de la covariance extracavité
Coutaa~(t)
: Si onrapporte l’équation
(10.130)
dansl’expression
de(10.88)
on obtient :Une démarche similaire au calcul de
( Coutaa (t)
etCouta~a(t))
nous conduit à la relationDans ce cas et en utilisant la relation
(10.129)
on trouve :et par
conséquent l’équation (10.7) (pour
le caslinéaire)
ou bien(10.21) (pour
le cas nonlinéaire)
nous donne :ceci revient à dire :
Nous avons démontré ici que les fonctions d’autocorrélation intra- et extracavité sont