où T et D représentent la trace et le déterminant du jacobien fonctionnel J et P, le produit des valeurs propres prises deux à deux. En utilisant le même raison-nement que précédemment, on vérifie, à partir des équations (1.10) que les trois valeurs propres ne peuvent être simultanément “ rapides ”. De même, deux valeurs propres ne peuvent être simultanément “ rapides ”. Ceci permet de montrer que si l’une des trois valeurs propres est “ rapide ”, i.e. d’ordreO(ε−1), les deux autres sont nécessairement “ lentes ”, i.e., d’ordreO(ε0). Ainsi, le système différentiel défini par (1.8) est bien un (SDAL-R). Il a été mis en évidence dans Rossetto et al.[1998] qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice jaco-bienne fonctionnelle de rang npossède une et une seule valeur propre “ rapide ” est qu’une et une seule de ses lignes ou de ses colonnes possède un facteur multi-plicatifε−1. On peut donc étendre ce raisonnement à la dimensionnet démontrer que le système différentiel défini par (1.2) est bien un (SDAL-R)
1.3 Système dynamique considéré comme autonome lent-rapide
Il a été constaté numériquement qu’un système dynamique défini sous les mêmes conditions que (1.1) ne comportant aucun petit paramètre multiplicatif dans l’une des composantes de son champ de vecteurs vitesse et n’ayant par consé-quent pas d’approximation singulière, peut être considéré comme lent-rapide si sa matrice jacobienne fonctionnelle possède au moins une valeur propre grande et négative sur un large domaine de l’espace des phases. C’est le cas du modèle d’E.N. Lorenz [1963] qui sera étudié au chapitre 6. On peut néanmoins remar-quer, sans perte de généralités, qu’il n’existe que peu de système dynamiques chaotiques qui ne soient lents-rapides. Une base théorique est apportée à cette constatation par la structuration de l’attracteur grâce à la notion de variété sin-gulìère.
Chapitre 2
Nouvelle approche de la variété lente de systèmes dynamiques
Les méthodes développées dans ce chapitre consistent à appliquer le forma-lisme de la Mécanique du Point et celui de la Géométrie Différentielle à l’étude d’un système dynamique. Le formalisme de laMécanique du Pointva fournir une interprétation du comportement descourbes trajectoires, intégrales d’un (SDAL-R) ou d’un (SDACCL-(SDAL-R), durant les différentes phases de leurs mouvements en termes de variablescinématiques: vitesse et accélération. Ces variables vont per-mettre d’une part, de discriminer les domaines lents et rapides de l’espace des phases et d’autre part, d’introduire de nouvelles variétés utilisant l’accélération dont l’importance pour l’évolution de la dynamique de ces systèmes sera mise en évidence. L’utilisation des propriétés du formalisme de laGéométrie Différen-tielle, plus particulièrement celles deplan osculateur, decourbureet de torsion, va permettre de déterminer directement l’équation analytique de lavariété lentede (SDAL-R) ou de (SDACCL-R) et de caractériser sonattractivité, i.e., sa stabilité.
2.1 Fonctions vectorielles cinématiques
Puisque cette approche consiste à utiliser le formalisme de la Mécanique du Point, il importe tout d’abord de rappeler les définitions des variables cinéma-tiques nécessaires à son développement. Ainsi, on peut assimiler l’intégrale du système (1.1) ou (1.2) aux coordonnées, i.e., à la position d’un point M à l’instant t. Cette courbe intégrale définie par la fonction vectorielle X~ (t) de la variable scalairetreprésente latrajectoiredu point M.
2.1. Fonctions vectorielles cinématiques 27
2.1.1 Vecteur vitesse instantanée
Puisque la fonction vectorielle X~ (t) de la variable scalaire t représente la trajectoiredu point M, la différentielle totale de X~ (t)est la fonction vectorielle
−
→V (t)de la variable scalairetqui représente le vecteur vitesse instantanée du point M à l’instantt. On note :
−
→V (t) = d ~X dt =−→
ℑ ³ X~´
(2.1) Le vecteur vitesse instantanée−→V (t)est tangent en tout point à latrajectoire.
2.1.2 Vecteur accélération instantanée
Puisque la fonction vectorielle−→
V (t)de la variable scalairetreprésente le vec-teur vitesse du point M, la différentielle totale de−→V (t)est la fonction vectorielle
−
→γ (t) de la variable scalaire t qui représente le vecteur accélération instantanée du point M à l’instantt. On note :
−
→γ (t) = d−→V
dt (2.2)
Les composantes fi du vecteur vitesse étant supposées continues, de classe C∞sur E et à valeurs dansR, il est possible de calculer la différentielle totale du champ de vecteurs vitesse défini par (1.1) ou (1.2). En utilisant la dérivation des fonctions composées, une dérivée au sens de Fréchet apparaît :
d−→V
dt = d−→ ℑ d ~X
d ~X
dt (2.3)
En remarquant que dd ~−→Xℑ représente la matrice jacobienne fonctionnelle J du système (1.1) ou (1.2), et tenant compte des équations (2.1) et (2.2), on obtient la relation suivante dont le rôle est très important :
−
→γ =J−→V (2.4)
2.1.3 Le repère de Frénet
En utilisant le repère de Frénet [1852], i.e., un repère mobile construit à partir de la courbe trajectoire X~ (t) orienté dans la direction du mouvement du point courant M, on peut définir−→τ le vecteur unitaire tangent à lacourbe trajectoireen M,−→ν le vecteur normal, i.e., la normale principale en M dirigée vers l’intérieur de la concavité de la courbe et β~le vecteur unitaire binormal à la courbe trajectoire
2.1. Fonctions vectorielles cinématiques 28
en M de sorte que le trièdre ³
−
→τ ,−→ν , ~β´
soit direct. Puisque le vecteur vitesse instantanée −→V (t) est tangent en tout point M à la courbe trajectoire, on peut construire le vecteur unitaire tangent1ainsi :
− De la même manière, on peut construire le vecteur unitaire binormal :
β~ = et le vecteur unitaire :
~ν =β~∧~τ = ~τ˙
où le vecteur−→V ⊥ représente le vecteur normal au vecteur vitesse instantanée
−
→V (t)dirigé vers l’intérieur de la concavité de lacourbe trajectoireet où le point
“·” représente la dérivée par rapport au temps. Ainsi, les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération instantanée−→γ (t)s’écrivent :
γτ = −→γ ·−→ En remarquant que la variation de la norme du vecteur vitesse instantanée
−
→V (t)peut s’écrire :
1Dans tout ce mémoire la norme euclidinne est définie sur l’espace des phases par :
°
2.1. Fonctions vectorielles cinématiques 29 Et en comparant avec les équations (2.9) et (2.11) on déduit que
d
En tenant compte de l’équation (2.8) et en utilisant les définitions du pro-duit scalaire et du propro-duit vectoriel, les expressions, des composantes, tangen-tielle (2.9) et normale (2.10), du vecteur accélération instantanée −→γ (t) peuvent finalement s’écrire :
En utilisant, l’identité de Lagrange:
°
on retrouve facilement la norme du vecteur accélération instantanée−→γ (t).
k−→γk2 =γτ2+γν2 =