2.6 Equivalence entre les différentes expressions des variétés lentes
2.6.1 Approximation singulière et approximations successives . 48
→V .
La méthode des approximations successives (Rossetto [1986]) a produit des approximations d’ordres supérieurs de l’équation de lavariété lenteassociée à un (SDAL-R).
L’approximation du système linéaire tangent(Rossettoet al.[1998]) exprimait l’équation de lavariété lenteassociée à un (SDAL-R) à partir des valeurs propres de la matrice jacobienne fonctionnelle de sonsystème linéaire tangent.
Laméthode du plan osculateurprésentée dans ce mémoire fournit l’expression de l’équation de lavariété lenteassociée à un (SDAL-R) à partir de trois variables cinématiques: position, vitesse et accélération.
L’approximation singulière de l’accélérationégalement présentée dans ce mé-moire a permis de fournir l’approximation d’ordre un en ε de l’équation de la variété lenteassociée à un (SDAL-R).
2.6.1 Approximation singulière et approximations successives
La méthode desapproximations successives consiste à rechercher unevariété sur laquelle la vitesse est lente, i.e., où x˙ est d’ordreO(ε0). Dans ce casf1
³X~´ est au moins d’ordre O(ε1). La première itération s’effectue en écrivant que la différentielle totale def1
³X~´
est égale à zéro. On obtient alors l’approximation d’ordre un enεde l’équation de lavariété lentedéfinie par l’approximation singu-lière Andronov [1966] d’ordre zéro enε. Puisque la dérivée par rapport au temps def1
³X~´
, i.e., dex˙ est égale àx, on retrouve l’approximation singulière de l’ac-¨ célération. Et on démontre ainsi l’identité de ces deux méthodes pour la première itération. La seconde s’obtient en dérivant par rapport au temps l’équation obtenue avec la première. En identifiant le résultat avec...
x = 0, i.e., avec l’approximation singulière de la sur-accélération, on obtient l’approximation d’ordre deux en ε de l’équation de lavariété lentedéfinie par l’approximation singulière Andronov [1966] d’ordre zéro enε, et on démontre l’identité de ces deux méthodes pour la
2.6. Equivalence entre les différentes expressions des variétés lentes 49 seconde itération. En utilisant un raisonnement par récurrence on peut alors dé-montrer à l’ordre n, correspondant à celui de la dérivation, l’identité de ces deux méthodes.
2.6.2 Méthode du plan osculateur et approximation singulière
Dans le paragraphe précédent (2.5.) il a été démontré que l’équation de la va-riété associée à l’approximation singulière du vecteur accélération instantanée
−
→γ d’un (SDAL-R) constituait l’approximation d’ordre un en ε de l’équation de lavariété lenteobtenue par laméthode du plan osculateur. De la même manière il est possible d’établir que l’équation de la variété associée à l’approximation singulière du vecteur sur-accélération instantanée −→γ. d’un (SDAL-R) représente l’approximation d’ordre deux en ε de l’équation de la variété lente obtenue par laméthode du plan osculateur. Comme précédemment, on peut démontrer en uti-lisant un raisonnement par récurrence, que l’ordre de l’approximation augmente avec l’ordre de la dérivation, et que l’on peut “ approcher ” l’équation de lavariété lenteobtenue par laméthode du plan osculateurpar celle de l’approximation sin-gulière de l’accélération, c’est-à-dire, celle desapproximations successives (Ros-setto [1986]).
2.6.3 Approximation du système linéaire tangent et méthode du plan osculateur
On étudie maintenant l’équivalence entre laméthode du plan osculateur déve-loppée dans ce mémoire, et celle de l’approximation du système linéaire tangent (Rossettoet al.[1998]). Au préalable, il est important de remarquer que ces deux méthodes s’appuient sur le développement limité du champ de vecteurs vitesse
−
→V constituant le (SDAL-R). Mais si la première est basée sur un développement limité temporel, pour la seconde il s’agit d’un développement limité spatial. En effet, la méthode de l’approximation du système linéaire tangentutilise le principe de linéarisation qui consiste en un développement limité de Taylor au voisinage d’un point X~0 de E du membre de droite des équations formant le (SDAL-R) défini par (1.2).
d ~X dt =−→
ℑε³ X~´
En supposant que le jacobien fonctionnel J, évalué en ce point très proche de X, possède une valeur propre “ rapide ”, et que les termes non-linéaires sont~ négligeables devant les termes linéaires, i.e., vérifient unecondition de partie non-linéaire(Ramdani [1999]), on a :
2.6. Equivalence entre les différentes expressions des variétés lentes 50
où le premier membre de ce développement −→ ℑ ³
X~0
´
= d ~dtX0 représente la vitesse au pointX~0et le second la matrice jacobienne fonctionnelle évaluée en ce même point. En posant :
δ ~X =X~ −X~0 et d−→
le (SDAL-R) peut être “ approximé ” par le système linéaire tangent défini par :
dδ ~X
dt =J³ X~0
´δ ~X (2.45)
L’approximation du système linéaire tangentconsiste à considérer qu’au voi-sinage de lavariété lenteet pendant des durées infinitésimalesδt=t−t0, l’inté-graleδ ~X(t)dusystème linéaire tangent(2.45) se comporte comme le champ de vecteurs vitesse−→V (t)du (SDAL-R) défini par (1.2).
δ ~X
δt (t)−−−→δt
→0
−
→V (t) (2.46)
L’équation de lavariété lentedusystème linéaire tangent (2.45) obtenue par laméthode du plan osculateurdonne d’après la condition de coplanarité (2.22) de la Proposition 2.1 :
δ ~X·³
δX~˙ ∧δX~¨´
= 0
qui peut encore s’écrire en divisant parδt3 : δ ~X
= 0, en divisant l’expression (2.45) par δt, on retrouve lorsqueδt→0, l’équation (2.4) :−→γ =J−→V .
2.6. Equivalence entre les différentes expressions des variétés lentes 51 L’expression (2.47) s’écrit alors :
−
→V ·³
~γ∧~γ˙´
= 0 (2.48)
Or, d’après la Proposition 2.2 cette équation représente le lieu des points où latorsions’annule i.e., où leplan osculateurest stationnaire et constitue l’enve-loppe des courbes ou des surfaces définissant lesvariétés lentesde (SDAL-R) ou de (SDACCL-R) de dimension deux ou trois. Ceci démontre que lorsqueδt→0, le (SDAL-R) et lesystème linéaire tangent (2.45) ont le même plan osculateur et que, par conséquent, leurvariétés lentesse confondent.
Laméthode du plan osculateur, quant à elle, utilise le développement limité de la fonction vectorielleX~ (t)de la variable scalairet:
X~ (t+δt) =X~ (t) + d ~X(t) L’expression (2.49) peut encore s’écrire, compte tenu des définitions énoncées au paragraphe 2.1. :
X~ (t+δt)−X~ (t) =−→V (t)δt+−→γ (t)δt2 où l’on retrouve l’expression du plan osculateur. De plus, si l’on suppose que
£d
dt, δt¤
= 0, en dérivant par rapport au temps l’expression (2.50), on obtient lorsqueδt→0:
2.6. Equivalence entre les différentes expressions des variétés lentes 52
Or, d’après (2.4),−→γ =J−→V , d’où l’on obtient : δX~˙ =J−→V δt+d−→γ
dt (t)δt2 2! +O¡
δt3¢
(2.53) Lorsqueδt→0, le membre de droite de cette équation se réduit à :J−→V δt.
De plus, d’après (2.50),δ ~X ≈−→V δt. Ainsi l’équation (2.53) s’écrit :
δX~˙ ≈Jδ ~X (2.54)
Soit finalement,
dδ ~X
dt ≈Jδ ~X
On retrouve bien l’expression (2.45), i.e., l’approximation du système linéaire tangent. Les deux méthodes sont par conséquent équivalentes.
Remarque :Justification des méthodes employées
Ce travail a pour objectif la détermination de lavariété lentede tout système dynamique là où elle existe, i.e., là où la condition de partie non-linéaire est véri-fiée. La méthode consiste à construire cette variété lente à partir d’une succession de plans tangents, les plans osculateurs. Or, la démonstration précédente conclut à l’équivalence entre la méthode du plan osculateur et celle de l’approximation du système linéaire tangent, mais elle permet également d’affirmer que lavariété lenteest localement tangente au plan osculateur.
Chapitre 3
Etude géométrique des systèmes dynamiques
Ce chapitre a pour but d’introduire deux nouvelles variétés : la variété uni-forme et la variété singulière. La première associée à la variété lente ou bien à l’approximation singulière de l’accélération va permettre de réaliser des pièges pour lescourbes trajectoires, intégrales de (SDAL-R). La seconde proposera une description géométrique de la structure de l’attracteur généré par un système dy-namique.