Système de transitions pour une requête élémentaire nonatomique

nonatomique

Considéronsmaintenant leasplusgénéral,elui d'unerequêteélémentaire

non-atomique/

C i =

^/axis

⁰ _i

^::

σ _i ⁰

^[

L ⁰ _i

^℄[

F i

^{℄,ontenantunltrenonloal[}

F i

^{℄. Unetelle}

requête peutêtre éritesouslaforme

/

C _i = step ⁰ _i

^[

step ¹ _i

^[

step ² _i

^[

. . .

^[

step ^k(i) _i

^℄

. . .

^℄,

pour un ertain entier naturel

k(i)

^{, où haque étape}

step ^p _i =

^axis

^p _i

^::

σ ^p _i

^[

L ^p _i

^{℄, pour}

0 ≤ p ≤ k(i)

^{,estatomique(.àd.,[}

L ^p _i

^{℄neontientauunaxede}navigation). Pour tout

0 ≤ p ≤ k(i)

^{,ondénitd'abordunsystèmede}transitions

S _i ^p

^{appeléSTS(single}

steptransitionsystem),orrespondantà l'étape

step ^p _i

^{. L'ETS}

S _i

orrespondantà la requêteélémentaire/

C _i

^{estalorsdéniommeune}onaténationdesSTSs

S _i ^p

^,pour

0 ≤ p ≤ k(i)

^.

Pour tout

p ∈ {0, . . . , k(i)}

^{, notons par}

α ip

^{la donnée}

σ ^p _i

^[

L ^p _i

^{℄, et par}

α ip

^son

omplémentaire

σ ^p _i

^[

L ^p _i

^{℄. Laonstrution duSTS}

S _i ^p

^{dépenddurlejouéparl'étape}

deloalisation

step ^p _i =

^axis

^p _i

^::

σ _i ^p

^[

L ^p _i

^℄orrespondante. Il yatroistypesd'étapesde loalisation :

•

^/

step ⁰ _i

^[

Cetteétape orrespond à la partie de navigation de la requête élémentaire /

C i

^,

qui est suivie par un ltre nonloal [

F _i

^{℄. L'ensemble des états du STS}

S _i ⁰

orrespondant est

States ⁰ _i = {init ⁰ _i , f ail _i ⁰ , ok _i ⁰ [−]},

etson ensemble des transitions est obtenu à partir de lauses

t1 − t6

^{de la}

Se-tion3.2, enremplaçant lesétats

init _i

^,

f ail _i

^,

ok _i

respetivement par

init ⁰ _i

^,

f ail _i ⁰

^,

ok _i ⁰ [−]

^.

•

^[

step ^p _i

^[

Danse as

p ∈ {1, . . . , k(i) − 1}

^{,etette étape orrespondà unltre nonloal}

suiviparunautreltrenonloal. L'ensembledesétatsduSTS

S _i ^p

orrespondant est

States ^p _i = { init ^p _i [−], f ail ^p _i [−], f ail _i ^p [⊥], ok _i ^p [−]} ,

etl'ensemble de ses transitions est obtenu à partir de lauses

t1 − t6

^{de la}

Se-tion3.2, enremplaçant :

dansleslauses

t1

^et

t2

^lesétats

init i

^,

f ail i

^,

ok i

respetivementpar

init ^p _i [−]

^,

f ail _i ^p [⊥]

^,

ok ^p _i [−]

^,

dansles lauses

t3 − t6

^{les états}

init _i

^,

f ail _i

^,

ok _i

respetivement par

init ^p _i [−]

^,

f ail _i ^p [−]

^,

ok ^p _i [−]

^.

•

^[

step ^k(i) _i

^℄

Cette étape orrespond au dernier ltre nonloal [

step ^k(i) _i

^{℄ de la requête}

élé-mentaire /

C _i

^{onsidérée. L'ensemble desétats duSTS}

S _i ^k(i)

^{estdéni par:}

States ^k(i) _i = {init ^k(i) _i [−], f ail _i ^k(i) [−], f ail ^k(i) _i [⊥], ok _i ^k(i) [⊤]},

etelui de sestransitionsestobtenu àpartir delauses

t1 − t6

^{delaSetion 3.2,}

enremplaçant :

dansleslauses

t1−t2

^,lesétats

init _i

^,

f ail _i

^,

ok _i

respetivementpar

init ^k(i) _i [−]

^,

f ail _i ^k(i) [⊥]

^,

ok _i ^k(i) [⊤]

^,

dansleslauses

t3−t6

^,lesétats

init _i

^,

f ail _i

^,

ok _i

respetivementpar

init ^k(i) _i [−]

^,

f ail _i ^k(i) [−]

^,

ok _i ^k(i) [⊤]

^.

Lestransitions du STS

S _i ⁰

^{servent à trouverdesn÷uds} potentiellement séletionnés par /

C ₁

^/

. . .

^/

C _i

^{,.àd.,desn÷uds}

v

^,telsque

t(v) | = σ ⁰ _i

^[

L ⁰ _i

^{℄,ettelsqu'ilexisteun}

n÷ud

u

^{séletionné par la partie /}

C ₁

^/

. . .

^/

C _i−1

satisfaisant

u

^dir-axis

⁰ _i v

^{. Le rle}

dessystèmes

S ^p _i

^,pour

1 ≤ p ≤ k(i)

^{,estparsuitedevalider esséletions}potentielles de

S _i ⁰

^{: parmi des n÷uds} séletionnés par

S _i ⁰

^ils retiendront seulement eux pour lesquels leltre[

F _i

^{℄s'évalue envrai.}

Aprèsavoironstruitlessystèmes

S _i ^p

^pour

0 ≤ p ≤ k(i)

^{,onpeut dénirl'ETS}

S _i

orrespondant à la requête élémentaire /

C i =

^/

step ⁰ _i

^[

step ¹ _i

^[

step ² _i

^[

. . .

^[

step ^k(i) _i

^℄

. . .

^℄

quiontientunltrenonloal[

F i

^℄=[

step ¹ _i

^[

step ² _i

^[

. . .

^[

step ^k(i) _i

^℄

. . .

^{℄. L'ensembledes}

états de eETS

S _i

^{est dénipar :}

States i ={init ⁰ _i , f ail ⁰ _i } ∪

k(i) [

p=1

init ^p _i [γ], f ail ^p _i [γ] | γ ∈ {−, ⊥, ⊤} ∪

{ok _i ^k(i) [⊤]} ∪

k(i)−1

[

p=0

ok _i ^p [γ ] | γ ∈ {−, ⊥, ⊤} ,

etsonensemble destransitions estl'union desensembles destransitions de tousles

S _i ^p

^,pour

0 ≤ p ≤ k(i)

^.

Étant donné un doument

t

^{, on dénit le run d'un tel ETS}

S i

^sur

t

^omme

une fontion

M _i : N odes _t → P(States i )

^{,qui estonforme ave les}transitions de

S _i

^,

et ave les transitions

1 − 11

^{données plus bas. Avant de présenter les} transitions

1−11

^,nousintroduisonsquelquesnotations. Ononsidèreunelogiqueàtroisvaleurs

{1, 0, ω}

^{, telles que}

0 < ω < 1

^{, où le symbole}

ω

^{représente la valeur indénie. On}

pose :

1 = 0

^,

0 = 1

^,

ω = ω

^{. Pour tout}

p ∈ {0, . . . , k(i)}

^{, on dénit ensuite un}

prédiatunaire

Ω ^p _i

^{,pouvantavoirtroisvaleurs}

1

^,

0

^,ou

ω

^{. Ceprédiatvaêtreévalué}

réursivement,à haque n÷ud

u

^dudoument

t

^{,de lafaçon suivante :}

•

^{Casoù Fin-axis}

^p _i (u)

^{estvrai :}

Ω ^p _i (u) = 1

^ssi

M i (u)

^{ontient un étatde laforme}

q _i ^p [⊤]

^,

Ω ^p _i (u) = 0

^ssi

M _i (u)

^{ontient un étatde laforme}

q _i ^p [⊥]

^,

Ω ^p _i (u) = ω

^ailleurs.

•

^{Casoù Fin-axis}

^p _i (u)

^{estfaux :}

Ω ^p _i (u) = Sup _v {Ω ^p _i (v) | u

^dir-axis

^p _i v}

Voiilestransitionsquidoiventêtresatisfaitesparlerun

M _i

^{. Lesymbole}

v

^représente

un n÷ud du doument

t

^,

p ∈ {0, . . . , k(i)}

^{, la notation}

hs, vi

^{est utilisée pour dire}

quel'état

s

^{estdansl'ensemble}

M _i (v)

^,et

q ∈ {init, f ail, ok}

^:

1. règlede passage entre

S _i−1

^et

S _i

^:

hinit ⁰ _i , vi ← v = Root t

^,si

i = 1

^,

hinit ⁰ _i , vi ← hok i−1 , vi

^,si

i > 1

2. règlede passage entre

S _i ^p

^et

S _i ^p+1

^:

hinit ^p+1 _i [−], vi ← hok _i ^p [−], vi

^,si

p ≤ k(i) − 1

3. règlede propagation de

[⊤]

^{toutaulong duhemin traversé par}

S i

^:

hq _i ^p [⊤], vi ← hq _i ^p [−], vi, Ω ^p _i (v)

^,pour

p ≥ 1

4. signalerau système

S _i ^p−1

^quel'étape

step ^p _i

^{estsatisfaite en}

v

^:

hok _i ^p−1 [⊤], vi ← hok _i ^p−1 [−], vi, hinit ^p _i [⊤], vi

5. validation dénitive delaséletion potentielle en

v

^:

hok i , vi ← hok ⁰ _i [⊤], vi

6. ontinuerlerun

M _i

^{à partird'unn÷ud}

v

^{séletionné :}

hinit ⁰ _i , vi ← hok i , vi

^{, siaxis}

i 6∈ {

^{self, hild, parent}

}

7. l'étape

step ^p _i

^{n'est pasvalidéesurla branhe ourante:}

h f ail ^p _i [⊥], v i ← h f ail _i ^p [−], v i

^{, Fin-axis}

^p _i (v)

^,si

p ≥ 1

8. règlede propagation de

[⊥]

^{toutaulong duhemin traversé par}

S _i

^:

hq _i ^p [⊥], vi ← hq _i ^p [−], vi, Ω ^p _i (v)

^,si

p ≥ 1

9. signalerau système

S _i ^p−1

^,quel'étape

step ^p _i

^{n'est passatisfaiteen}

v

^:

hok _i ^p−1 [⊥], vi ← hok _i ^p−1 [−], vi, hinit ^p _i [⊥], vi

^,siaxis

^p−1 _i ∈ {

^{self,hild,parent}

}

10. sil'étape

step ^p _i

^{n'est passatisfaite aun÷ud}

v

^{,alors poursuivreave}

step ^p−1 _i

^:

hinit ^p−1 _i [−], vi ← hok _i ^p−1 [−], vi, hinit ^p _i [⊥], vi

^,siaxis

^p−1 _i 6∈ {

^{self,hild,parent}

}

11. ontinuerlerun

M _i

^{àpartird'unn÷ud}

v

^{oùlaséletion}potentielleétaitrejetée:

h init ⁰ _i , v i ← h ok _i ⁰ [⊥], v i

^,siaxis

i 6∈ {

^{self, hild, parent}

}

^.

Remarquons que le systèmeEST orrespondant à une requête élémentaire

non-atomique estdéterministe (ommedansleasd'un ETSpourune requête

élémen-taireatomique). Lerledurun

M _i

^du

S _i

^surundoument

t

^,estdeséletionnertout n÷ud

u

^de

t

^{où : le test}

σ _i ⁰

^[

L ⁰ _i

^{℄ est validé par la donnée}

t(u)

^{, et le ltre [}

F i

^{℄ est}

satisfaiten

u

^.

Le run

M _i

^{ommene par assigner l'état}

init ⁰ _i

^(lause

1

^{) à tous les n÷uds}

v _i−1

qui ont été séletionnés par le système

S _i−1

^{(.àd., qui répondent à la requête}

/

C ₁

^/

. . .

^/

C _i−1

^).

Ensuite, grâe aux transitions

t1 − t6

^{de STS}

S _i ⁰

^{, il ontinue suivant les hemins}

dénis par axis

0 i

^{. Il assigne : l'état}

f ail ⁰ _i

^{aux n÷uds où la donnée ne valide pas}

σ _i ⁰

^[

L ⁰ _i

^{℄,etl'état}

ok ⁰ _i [−]

^{aupremier n÷ud}

v ⁰ _i

^{(surhaquehemin)où letest}

σ ⁰ _i

^[

L ⁰ _i

^℄

est validé par

t(v ⁰ _i )

^{. Chaun de es n÷uds}

v _i ⁰

^est potentiellement séletionné, etil seraséletionnéultérieurementparlerun

M _i

^{,sietseulementsileltre[}

F _i

^℄s'évalue

en vrai en

v _i ⁰

^.

Pour vérierlasatisfation du ltre [

F _i

^{℄ en}

v _i ⁰

^{,le run}

M _i

^{utilise les} transitions des STS

S _i ^p

^,pour

1 ≤ p ≤ k(i)

^{. Pour}

0 ≤ p ≤ k(i)−1

^{,dénotonspar}

v ^p _i

^{toutn÷udauquel}

le run du

S _i

^{a assigné l'état}

ok _i ^p [−]

^{. Le run}

M _i

^{ontinue, en utilisant la lause}

2

^,

etajoutel'état

init ^p+1 _i

^àl'ensemble

M _i (v _i ^p )

^{. Ensuite iltraverse ledoument suivant}

les heminsdénis par axis

p+1

i

^{, en utilisant les} transitions

t1 − t6

^{du STS}

S _i ^p+1

^{. Il}

assigne:

•

^l'état

f ail ^p+1 _i [−]

^{àhaque n÷udoù ladonnéene valide pas}

σ ^p+1 _i

^[

L ^p+1 _i

^℄,

•

^si

p + 1 < k(i)

^{, l'état}

ok _i ^p+1 [−]

^{au premier n÷ud renontré sur haque hemin,}

oùladonnée valide

σ _i ^p+1

^[

L ^p+1 _i

^℄,

•

^si

p + 1 = k(i)

^,l'état

ok ^k(i) _i [⊤]

^{aupremiern÷udrenontrésurhaquehemin,où}

ladonnéevalide

σ ^k(i) _i

^[

L ^k(i) _i

^℄.

Notons,queleltre [

step ^p+1 _i

^{℄ n'estpassatisfaitau n÷ud}

v ^p _i

^{sietseulement sipour}

tout n÷ud

w

^{tel que}

v ^p _i

^axis

^p+1 _i w

^{,la donnée en}

w

^{ne valide pas}

σ _i ^p+1

^[

L ^p+1 _i

^{℄. Dans}

e as, et si en plus axis

p

i 6∈ {

^{self, hild, parent}

}

^{, le run}

M _i

^{utilise les lauses}

7, 8

^et

10

^(ave

p := p + 1

^{),et assignel'état}

init ^p _i [−]

^{au n÷ud}

v _i ^p

^{. Par suite,le run}

M _i

^{peutontinuerlareherhe d'autresn÷uds où ladonnéevalide}

σ ^p _i

^[

L ^p _i

^℄.

•

^{Une séletion} potentielle de

v ⁰ _i

^{validée :}

Sil'état

ok ^k(i) _i [⊤]

^{estatteintparlerun}

M _i

^,leslauses

3

^,

4

^{sontutiliséespourpropager}

le symbole de validation

[⊤]

^{à tout n÷ud}

u

^{traversé par}

M _i

^{. En} partiulier, l'état

ok _i ⁰ [⊤]

^{est ajoutéà l'ensemble}

M i (v _i ⁰ )

^{,etgrâe àlalause}

5

^l'état séletionnant

ok i

estatteint au n÷ud

v _i ⁰

⁽

ok _i ∈ M _i (v _i ⁰ )

^).

•

^{Une séletion} potentielle de

v ⁰ _i

^{rejetée :}

Laséletion potentielle dun÷ud

v _i ⁰

^{nepeutpasêtre validée,sileltre[}

F i

^{℄ s'évalue}

enfaux en

v _i ⁰

^{. Danseas,lesymboled'éhe}

[⊥]

^{estpropagéenutilisant leslauses}

7

9

^{. En} partiulier, l'état

ok ⁰ _i [⊥]

^{estajouté à l'ensemble}

M _i (v ⁰ _i )

^{,et par onséquent}

len÷ud

v _i ⁰

^{ne peutpasêtre}séletionné.

Après avoir validé ou rejeté la séletion potentielle du n÷ud

v ⁰ _i

^{, et si en plus}

axis

i 6∈ {

^{self, hild, parent}

}

^{, les lauses}

6

^et

11

^{permettent de poursuivre le}

run

M i

^{à partirde}

v _i ⁰

^{,pourreherherd'autresn÷udsrépondantà/}

C ₁

^/

. . .

^/

C i

^{. On}

illustrel'évaluationd'unerequêteélémentairenonatomiquedansl'exemplequisuit.

Exemple 3.1. Ils'agitd'évaluerlarequête

Q =

/desendant::

a

^[anestor::

b

^℄sur

ledoument

t

^{représentésur laFigure 3.1. Lesn÷udsde}

t

^{sontdénotésparleurs}

po-ε b

a a c a

Root

2 1

12 11

Figure3.1. undoumentXML

t

sitions. LaFigure3.2représente lerun

M ₁

^duETS

S ₁

^{,quiévalue larequête}

élémen-taire /

C ₁ =

/desendant::

a

^[anestor::

b

^{℄. Tout d'abord, on onsidère l'étape de}

navigation de /

C ₁

^{, .àd.,}

step ⁰ ₁ =

desendant::

a

^{. En ommençant par la raine}

tive

Root _t

^de

t

^{, le run}

M _i

^{parourt le doument}

t

^{du hautvers le bas (en suivant}

l'axe desendant), onformémentà la résolution lausale suivante :

hinit ⁰ ₁ , Rooti ← hok ₁ ⁰ [−], 2i ← hf ail ₁ ⁰ , εi

^(3.1)

hf ail ₁ ⁰ , εi ← hinit ⁰ ₁ , Rooti hok ₁ ⁰ [−], 11i ← hf ail ₁ ⁰ , 1i

^(3.2)

hf ail ₁ ⁰ , 1i ← hf ail ₁ ⁰ , εi hok ₁ ⁰ [−], 12i ← hf ail ₁ ⁰ , 1i.

^(3.3)

Les états représentés sur la Figure 3.2 à gauhe, sont alors assignés aux n÷uds de

t

^{. L'état}

ok ⁰ ₁ [−]

^{aux n÷uds}

2

^,

11

^,

12

^{signie que es n÷uds sont} potentiellement séletionnés,etpourvalider ou rejeter leur séletion ilfaut évaluer l'étape [

step ¹ ₁

^℄

=

[anestor::

b

^{℄, pour voir s'ils ont un anêtre}

b

^. L'évaluation de ette étape est représentée sur la Figure 3.2 à droite. Tout d'abord, la lause

hinit ¹ ₁ [−], ui ← hok ₁ ⁰ [−], ui

^(3.4)

fail

Figure3.2. Évaluationde/desendant::

a

^[anestor::

b

^℄sur

t

est utilisée, aux n÷uds

u = 2, 11, 12

^{. Ensuite, le run}

M _i

^{utilise les} transitions suiv-antes du STS

S ₁ ¹

^:

hf ail ¹ ₁ [−], 1i ← hinit ¹ ₁ [−], 11i, hok ₁ ¹ [⊤], εi ← hf ail ¹ ₁ [−], 1i,

^(3.5)

hf ail ¹ ₁ [−], 1i ← hinit ¹ ₁ [−], 12i, hok ₁ ¹ [⊤], εi ← hinit ¹ ₁ [−], 2i,

^(3.6)

Maintenant, en utilisant la lause

3

^{de la dénition du run,}

M i

^{propage le symbole}

[⊤]

(satisfation de ltre [

step ¹ ₁

^℄

=

^[anestor::

b

^{℄) à partir de}

ε

^{aux n÷uds}

1

^,

2

^{, et}

ensuite à partir de

1

^au

11

^et

12

^. Finalement, grâe à la lause :

hok ₁ , ui ← hok ⁰ ₁ [⊤], ui,

^(3.7)

l'état séletionnant

ok ₁

^{est assigné aux n÷uds}

u = 11

^,

12

^et

2

^{, qui onstituent la}

REPONSE à

Q

^sur

t

^.

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